1、栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 中考数学 3.2 一次函数 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 考点一 一次函数的图象与性质 A组 2019年全国中考题组 1.(2019陕西,4,3分)若正比例函数y=-2x的图象经过点(a-1,4),则a的值为 ( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 答案答案 A 把点(a-1,4)代入y=-2x,得-2(a-1)=4,解得a=-1,故选A. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 2.(2019天津,16,3分)直线y=2x-1与x轴交点坐标为 . 答案答案 1 ,0 2 解析解析 令y=0,得x= ,所以直线y=2x-1与x轴交点坐标为 . 1 2 1 ,0 2
2、栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 3.(2019四川成都,13,4分)已知一次函数y=(k-3)x+1的图象经过第一、二、四象限,则k的取值范围是 . 答案答案 k0,b0 B.k0,b0.把(-5,3)代入函数解析式得,k=- 30, 小明选择方式一游泳次数比较多. (3)设方式一与方式二的总费用的差为y元. 则y=(5x+100)-9x,即y=-4x+100. 当y=0时,即-4x+100=0,得x=25. 当x=25时,小明选择这两种方式一样合算. -425时,y300时,y与x的函数关系式; (2)广场上甲、乙两种花卉的种植面积共1 200 m2,若甲种花卉的种植面积不少于200 m2,
3、且不超过乙种花卉 种植面积的2倍,那么应该怎样分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使种植总费用最少?最少总费用为多少 元? 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)当0x300时,y=130x; 当x300时,y=80x+15 000. (2)甲种花卉的种植面积为x m2, 则乙种花卉的种植面积为(1 200-x)m2, 200x800. 设甲、乙两种花卉的种植总费用为w元. 当200x300时,w=130x+100(1 200-x)=30x+120 000, 当x=200时,wmin=126 000. 当3000 B.k0 C.k0,且b0时,y1,y2的图象与y轴的交点均在y轴的正半轴
4、上,与x轴的交点均在x轴的负半轴上,故A正确. 当a0,b0;a1的解集为x1.故选D. 方法指导方法指导 根据一次函数图象经过的点的坐标,描点画出图象,利用图象法求不等式的解集. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 4.(2018陕西,7,3分)若直线l1经过点(0,4),l2经过点(3,2),且l1与l2关于x轴对称,则l1与l2的交点坐标为 ( ) A.(2,0) B.(-2,0) C.(6,0) D.(-6,0) 答案答案 A 直线l1经过点(0,4),且l1与l2关于x轴对称,又点(0,4)关于x轴对称的点为(0,-4),直线l2经过点(3, 2),点(0,-4),设直线l2的解析式为y
5、=kx+b(k0),把(0,-4)和(3,2)代入y=kx+b,得 解得 直线l2 的解析式为y=2x-4. l1与l2关于x轴对称,l1与l2的交点即为l1,l2与x轴的交点,令2x-4=0,解得x=2,所以l1与l2的交点坐标为(2,0).故 选A. 4, 32, b kb 4, 2, b k 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 5.(2017陕西,7,3分)如图,已知直线l1:y=-2x+4与直线l2:y=kx+b(k0)在第一象限交于点M.若直线l2与x轴的交 点为A(-2,0),则k的取值范围是 ( ) A.-2x-3,解得xy2. (8分) 5 3 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 8.
6、(2019辽宁大连,24,11分)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=- x+3与x轴,y轴分别相交于点A,B,点C在射 线BO上,点D在射线BA上,且BD= OC,以CO,CD为邻边作COED.设点C的坐标为(0,m),COED在x轴下方 部分的面积为S. (1)求线段AB的长; (2)求S关于m的函数解析式,并直接写出自变量m的取值范围. 3 4 5 3 (备用图) 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)在y=- x+3中,当x=0时,y=3,OB=3; 当y=0时,- x+3=0,解得x=4,OA=4. AB= = =5. (2)当 m3时,如图1,设DE与x轴交点为M,作
7、DFOB,垂足为F,则CFD=90. 在RtAOB中,sinABO= = ,cosABO= = . 图1 点C的坐标为(0,m),OC=m. 在RtBDF中,DF=BDsinABO= m = m,BF=BD cosABO= m =m, 3 4 3 4 22 OAOB 22 43 3 2 OA AB 4 5 OB AB 3 5 5 3 4 5 4 3 5 3 3 5 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 CF=BF+OC-OB=2m-3. SCFD= CF DF= (2m-3) m= m2-2m, 四边形COED是平行四边形, CD=OE,OCD=OEM,DEOC. EMO=BOA=CFD=90,CF
8、DEMO. S=SEMO=SCFD= m2-2m. 当0-1 B.x2 D.x0时,图象在x轴上方,此时x-1, 则关于x的不等式kx+b0的解集是x-1,故选A. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 2.(2018贵州铜仁沿河4月模拟,9)已知直线y=kx+b,若k+b=-5,kb=6,那么该直线不经过 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案答案 A k+b=-5,kb=6,k2 B.x-1 D.x100)张门票,则甲单位购买了(400-a)张门票, 根据题意得0.06a+4+10+0.02(400-a)=27.2, 解得a=130,400-a=270. 答:甲、乙
9、两单位购买门票分别为270张和130张. 10010, 20016, kb kb 0.06, 4, k b 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 9.(2018福建福州福清模拟,23)某商场欲购进果汁饮料和碳酸饮料共50箱,果汁饮料每箱进价为55元,售价为 63元;碳酸饮料每箱进价为36元,售价为42元.设购进果汁饮料x箱(x为正整数),且所购进的两种饮料能全部 卖出,获得的总利润为W元(注:总利润=总售价-总进价). (1)设商场购进碳酸饮料y箱,直接写出y与x之间的函数关系式; (2)求总利润W关于x的函数关系式; (3)如果购进两种饮料的总费用不超过2 000元,那么该商场如何进货才能获利最多
10、?并求出最大利润. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)y与x之间的函数关系式为y=50-x. (2)W=(63-55)x+(42-36)(50-x),整理得W=2x+300. (3)根据题意,得55x+36(50-x)2 000, 整理得19x200,x10 , x为正整数,x的最大值为10. 易知W随着x的增大而增大, 当x=10时,W取得最大值,最大值为320. 故该商场购进果汁饮料10箱,碳酸饮料40箱时,获利最多,最大利润为320元. 10 19 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 一、选择题一、选择题(每小题3分,共12分) 45分钟 60分 1.(2019上海浦东新区二模
11、,3)直线y=2x-7不经过 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案答案 B y=2x-7中,k=20,b=-7- 时,-2x+225时,y1=7+0.6(x-25)=0.6x-8, 故y1与x的函数关系式为y1= 当0x50时,y2=10; 当x50时,y2=10+3(x-50)=3x-140, 故y2与x的函数关系式为y2= (3)当x60时,A种收费方式省钱.理由如下: 7(025), 0.68(25). x xx 10(050), 3140(50). x xx 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 当0.6x-83x-140时,5060时,A种收费方式省钱. 栏
12、目引栏目引 栏目索引栏目索引 9.(2018江西南昌调研,19)某市风景区门票价格如图所示,现有甲、乙两个旅行团队,计划在“十一”黄金周 期间到该景点游玩.两团队游客人数之和为120,甲团队人数不超过50,乙团队人数为x,且x100.如果甲、乙 两团队分别购买门票,两团队购票费用之和为W元. (1)求W与x的关系式,并说明两队联合购票比分别购票最多可节省多少元; (2)“十一”黄金周之后,该风景区对门票价格做了如下调整:人数不超过50时,门票价格不变;人数超过50但 不超过100时,每张门票降价a元;人数超过100时,每张门票降价2a元.若甲、乙两个旅行团队“十一”黄金 周之后去游玩,两队联合
13、购票比分别购买最多可节省3 400元,求a的值. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)由题意知,乙团队的人数x满足70x100. W=80(120-x)+70x=-10x+9 600. -100,W随x的增大而减小. 当x=70时,W有最大值,最大值为8 900. 两队联合购票费用为60120=7 200(元), 两队联合购票比分别购票最多可节约8 900-7 200=1 700(元). (2)由题意,得W=80(120-x)+(70-a)x=-(10+a)x+9 600. 当x=70时,W有最大值,最大值为-(10+a)70+9 600=-70a+8 900. 两队联合购票费用是
14、(60-2a)120=(-240a+7 200)元. 根据题意,列方程为(-70a+8 900)-(-240a+7 200)=3 400, 解得a=10. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 10.(2017江西萍乡模拟,18)如图1,某商场有一双向运行的自动扶梯,扶梯上行和下行的速度保持不变且相 同,甲、乙两人同时站上了此扶梯的上行和下行端,甲站上行扶梯的同时又以0.8 m/s的速度往上跑,乙站下 行扶梯后则站立不动随扶梯下行,两人在途中相遇,甲到达扶梯顶端后立即乘坐下行扶梯,同时以0.8 m/s的 速度往下跑,而乙到达底端后则在原地等候甲.图2中线段OB、AB分别表示甲、乙两人在乘坐扶梯过程中
15、, 离扶梯底端的距离y(m)与所用时间x(s)之间的部分函数关系的图象,结合图象解答下列问题: (1)点B的坐标是 ; (2)求AB所在直线的函数关系式; (3)乙到达扶梯底端后,还需等待多长时间,甲才到达扶梯底端? 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)设扶梯上行和下行的速度均为a m/s, 则7.5(2a+0.8)=30,解得a=1.6, 7.5(a+0.8)=7.5(1.6+0.8)=7.52.4=18, 则点B的坐标是(7.5,18). 故答案为(7.5,18). (2)设直线AB的函数关系式为y=kx+b(k0), 将(0,30),(7.5,18)代入, 得 解得 故AB所
16、在直线的函数关系式为y=-1.6x+30. (3)由题意得302(1.6+0.8)-301.6 =602.4-18.75 =6.25(s). 30, 7.518, b kb 1.6, 30. k b 故乙到达扶梯底端后,还需等待6.25 s,甲才到达扶梯底端. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 思路分析思路分析 (1)可设扶梯上行和下行的速度均为a m/s,根据相遇时路程和为30 m,可列方程为7.5(2a+0.8)=30, 求得扶梯上行和下行的速度,从而求解; (2)设出一次函数的一般形式,将A、B两点坐标代入求得直线AB的函数关系式; (3)分别求得甲、乙两人所花的时间,相减即可求解. 栏目
17、引栏目引 栏目索引栏目索引 11.(2017吉林长春模拟,22)甲、乙两辆汽车沿同一路线从A地前往B地,甲以a千米/时的速度匀速行驶,途中 出现故障后停车维修,修好后以2a千米/时的速度继续行驶;乙在甲出发2小时后匀速前往B地,设甲、乙两车 与A地的距离为s(千米),甲车离开A地的时间为t(小时),s与t之间的函数图象如图所示. (1)求a和b的值; (2)求两车在途中相遇时t的值; (3)当两车相距60千米时,求t的值. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)a= =50,b=5.5- =4. (2)设乙车与A地的距离s乙(千米)与甲车离开A地的时间t(小时)之间的函数关系式为s乙
18、=kt+m(k0), 将(2,0)、(5,300)代入得, 解得 s乙=100t-200(2t5). 当s乙=100t-200=150时,t=3.5. 答:两车在途中相遇时t的值为3.5. (3)当0t3时,s甲=50t; 当3t4时,s甲=150; 当4t5.5时,s甲=150+250(t-4)=100t-250. s甲= 150 3 300 150 2 50 02, 3005, km km 100, 200, k m 50 (03), 150(34), 100250(45.5). tt t tt 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 令|s甲-s乙|=60, 有50t=60(0t2), |50t
19、-100t+200|=60(2t3), |150-100t+200|=60(3t4), |100t-250-100t+200|=60(4t5), 300-(100t-250)=60(5t5.5), 由上述得,t= 或t= , 即当两车相距60千米时,t= 或 . 6 5 14 5 6 5 14 5 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 1.(2019辽宁沈阳和平模拟,23)如图,在平面直角坐标系中,已知直线AB:y= x+4交x轴于点A,交y轴于点B.直 线CD:y=- x-2与直线AB相交于点M,交x轴于点C,交y轴于点D. (1)写出点M的坐标; (2)若点P是射线AB上的一个动点,设点P的横坐
20、标是x,PDC的面积是S,求S与x之间的函数关系式; (3)当S=54时,平面直角坐标系内是否存在点E,使以点B,E,P,D为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接 写出所有符合条件的点E的坐标;若不存在,说明理由. 5 3 1 3 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)直线y= x+4交x轴于点A,交y轴于点B, 点A ,点B(0,4). 直线y=- x-2交x轴于点C,交y轴于点D, 点C(-6,0),点D(0,-2). 直线CD:y=- x-2与直线AB相交于点M, 由 解得 点M的坐标为(-3,-1). (2)若点P在线段AB上,如图,过点P作QGx轴,交y轴于点G,过点D
21、作DFx轴,过点C作QFy轴,交QG于 点Q,交DF于点F,连接PC,PD. 5 3 12 ,0 5 1 3 1 3 1 2, 3 5 4, 3 yx yx 3, 1, x y 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 点P , S=6 - (x+6) - 26+ x =18+6x. 若点P在线段AB的延长线上,如图,过点P作QPx轴,PGy轴,过点D作FGx轴,交PG于点G,过点C作QF y轴,交QP于点Q,交FG于点F,连接PC,PD. 5 ,4 3 xx 12 0 5 x 5 6 3 x 1 2 5 4 3 x 1 2 1 2 5 6 3 x 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 点P , S=(x+6
22、) - x - 62- (x+6) =18+6x. 综上所述,S=18+6x . (3)存在点E满足题中条件,所有符合条件的点E的坐标为(6,8),(6,20),(-6,-12). 详解:当S=54时,18+6x=54, x=6, 点P(6,14). B(0,4),D(0,-2),BD=6. 若四边形BDEP是平行四边形,则BDPE,BD=PE=6, 点P(6,14),点E(6,8); 若四边形BDPE是平行四边形,则BDPE,BD=PE=6, 5 ,4 3 xx 12 5 x 5 6 3 x 1 2 5 6 3 x 1 2 1 2 5 4 3 x 12 5 x 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引
23、 点P(6,14),点E(6,20); 若四边形BEDP是平行四边形,设BD与EP的交点为N,则BN=DN,EN=PN, 设点E(x,y), B(0,4),D(0,-2),P(6,14), = , = ,x=-6,y=-12, 点E(-6,-12). 综上所述,存在点E满足题中条件,所有符合条件的点E的坐标为(6,8),(6,20),(-6,-12). 6 2 x00 2 24 2 14 2 y 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 2.(2017湖北咸宁赤壁模拟,23)阅读理解:如图1,在等腰ABC中,AB=AC,AC边上的高为h,点M为底边BC上任 意一点,点M到腰AB、AC的距离分别为h1、h
24、2,连接AM,利用SABC=SABM+SACM可以得出结论:h=h1+h2. 类比探究:如图2,当点M在BC的延长线上时,猜想h、h1、h2之间的数量关系,并证明你的结论. 拓展应用:如图3,在平面直角坐标系中,有两条直线l1:y= x+3,l2:y=-3x+3,若l2上一点M到l1的距离是1,试运用 “阅读理解”和“类比探究”中获得的结论,求出点M的坐标. 图1 图2 图3 3 4 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 类比探究:猜想h=h1-h2. 证明:SABC= AC BD= AC h, SABM= AB ME= AB h1, SACM= AC MF= AC h2, 又SABC=S
25、ABM-SACM, AC h= AB h1- AC h2. AB=AC, h=h1-h2. 拓展应用:在y= x+3中, 令x=0,得y=3; 令y=0,得x=-4, 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 4 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 则A(-4,0),B(0,3), 同理求得C(1,0), 则OA=4,OB=3,AC=5, 所以AB= =5, 所以AB=AC, 即ABC为等腰三角形. 设点M的坐标为(x,y). 当点M在BC边上时, 由“阅读理解”可得OB=3=1+y,则y=3-1=2, 把y=2代入y=-3x+3中,求得x= , M ; 当点M在线段CB的延长线上时, 22 OAOB 1 3 1 ,2 3 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 由“类比探究”可得OB=3=y-1,则y=3+1=4, 把y=4代入y=-3x+3中,求得x=- , M ; 当点M在线段BC的延长线上时,不符合题意. 综上,点M的坐标为 或 . 1 3 1 ,4 3 1 ,2 3 1 ,4 3
