1、第八章 专题拓展 方案设计与决策 对应学生用书起始页码 页 题型特点 方案设计型问题是指根据问题所提供的信息，运用学过的 知识和方法进行设计和操作，然后通过分析、计算、证明等，确定 出最佳方案的一类数学问题方案设计型问题涉及生产生活的各 个方面，如：测量、购物、生产配料、汽车调配、图形拼接等，应用 非常广泛，题目一般较长，做题时要认真读题，理解题意，选择合 适的数学模型解决问题 命题规律 一般要用到方程、不等式、函数、解直角三角形、概率和统计 等知识，以及转化、数形结合、分类讨论等数学思想，该类型题主 要考查学生对数学知识的应用能力和创新能力，这也是新课程 所要求的核心内容之一 对应学生用书起
2、始页码 页 题型一 利用方程（组）、不等式（组）进行方案设计 解题时可以根据题中蕴含的相等或不等关系，列出方程 （组）或不等式（组），通过解方程（组）或不等式（组），并结合题 意确定方案，通过计算不同的方案的盈利情况，确定最优的方案 例 （ 浙江温州， 分）某旅行团 人在景区 游 玩，他们由成人、少年和儿童组成已知儿童 人，成人比少年多 人 （）求该旅行团中成人与少年分别是多少人； （）因时间充裕，该团准备让成人和少年（至少各 名）带 领 名儿童去另一景区 游玩景区 的门票价格为 元 张，成人全票，少年 折，儿童 折，一名成人可以免费携带一名 儿童 若由成人 人和少年 人带队，则所需门票的总费
3、用是 多少元？ 若剩余经费只有 元可用于购票，在不超额的前提 下，最多可以安排成人和少年共多少人带队？ 求所有满足条件 的方案，并指出哪种方案购票费用最少 解析 （）设该旅行团中成人 人，少年 人，根据题意， 得 ， ， 解得 ， 答：该旅行团中成人 人，少年 人 （） 成人 人可免费带 名儿童， 所需门票的总费用为 （ ） （元） 设可以安排成人 人、少年 人带队，则 ， 当 时， 当 时， ， ， 最大值，此时 ，费用为 元 当 时， ， ， 最大值，此时 ，费用为 元 当 时， ，即成人门票至少需要 元， 不合题意，舍去 当 时， 当 时， ， ， 最大值，此时 ，费用为 元 当 时，
4、， ， 最大值，此时 ，不合题意，舍去 当 时，同理，不合题意，舍去 综上所述，最多可以安排成人和少年共 人带队，有三个 方案：成人 人，少年 人；成人 人，少年 人；成人 人，少 年 人其中当成人 人，少年 人时购票费用最少 好题精练 （ 黑龙江齐齐哈尔， 分）某抗战纪念馆馆长找到大学 生团干部小张，联系青年志愿者在周日参与活动，活动累计 个小时的工作时间，需要每名男生工作 个小时，每名女生工 作 个小时，小张可以安排学生参加活动的方案共有（ ） 种 种 种 种 答案 设安排 名男生， 名女生，则 ， ， 为 非负整数，可得 ，举例验证可得当 时，当 时，当 时，所以可以安排 名女生， 名男
5、生； 名女生， 名男生； 名女生参加活动，所以方案共有 种，故 选 （ 湖北武汉， 分）某公司为奖励在趣味运动会上取得 好成绩的员工，计划购买甲、乙两种奖品共 件，其中甲种奖 品每件 元，乙种奖品每件 元 （）如果购买甲、乙两种奖品共花费了 元，求甲、乙两种奖 品各购买了多少件； （）如果购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的 倍，总 花费不超过 元，求该公司有哪几种 不同的购买方案 解析 （）设购买甲种奖品 件，则购买乙种奖品（）件， 由题意得 （） ， 解得 ， 答：购买甲种奖品 件，乙种奖品 件 （）设购买甲种奖品 件，则购买乙种奖品（）件， 由题意得， ， （）， 解得 ， 为整数，
6、或 当 时，；当 时， 答：该公司有两种不同的购买方案方案一：购买甲种奖品 件，购买乙种奖品 件；方案二：购买甲种奖品 件，购买乙种 奖品 件 题型二 利用函数进行方案设计 在确定最优方案时，我们也可以用函数的增减性来确定 例 （ 河南， 分）学校计划为“我和我的祖国”演 讲比赛购买奖品已知购买 个 奖品和 个 奖品共需 元；购买 个 奖品和 个 奖品共需 元 （）求 ， 两种奖品的单价； （）学校准备购买 ， 两种奖品共 个，且 奖品的数量 不少于 奖品数量的 请设计出最省钱的购买方案，并说明 理由 解析 （）设 奖品的单价为 元， 奖品的单价为 元， （ 分） 根据题意，得 ， 解得 ，
7、所以 奖品的单价为 元， 奖品的单价为 元 （ 分） （）设购买 奖品 个，则购买 奖品（） 个，共需 元， 根据题意，得 （） （ 分） ， 当 取最小值时， 有最小值 由 （），解得 而 为正整数， 当 时， 取得最小值，此时 所以当购买 奖品 个， 奖品 个时最省钱（ 分） 例 （ 陕西， 分）经过一年多的精准帮扶，小明 家的网络商店（简称网店）将红枣、小米等优质土特产迅速销往 全国小明家网店中红枣和小米这两种商品的相关信息如下表： 商品红枣小米 规格 袋 袋 成本（元 袋） 售价（元 袋） 根据上表提供的信息，解答下列问题： （）已知今年前五个月，小明家网店销售上表中规格的红枣 和小米
8、共 ，获得利润 万元，求这前五个月小明家网 店销售这种规格的红枣多少袋； （）根据之前的销售情况，估计今年 月到 月这后五个 月，小明家网店还能销售上表中规格的红枣和小米共 ， 其中，这种规格的红枣的销售量不低于 假设这后五个月， 销售这种规格的红枣为 （），销售这种规格的红枣和小米获得 的总利润为 （元），求出 与 之间的函数关系式，并求这后五 个月，小明家网店销售这种规格的红枣和小米至少获得总利润 多少元 解析 （）设这前五个月小明家网店销售这种规格的红枣 袋，则销售这种规格的小米 袋，根据题意，得 （）（） ， 解得 这前五个月小明家网店销售这种规格的红枣 袋 （ 分） （）根据题意，得
9、 （）（） 与 之间的函数关系式为 （ 分） ， 的值随 值的增大而增大 ， 当 时， 最小，为 这后五个月，小明家网店销售这种规格的红枣和小米至 少获得总利润为 元（ 分） （）设这前五个月小明家网店销售这种规格 的红枣 袋，根据“销售题表中规格的红枣和小米共 ， 获得利润 万元”列出方程求解即可；（）这后五个月，销售这 种规格的红枣为 （），列出 与 之间的函数关系式，利用一 次函数的增减性及 的取值范围求出最值 本题考查了一次函数的应用，读懂题目信 息，确定自变量的取值范围，列出函数关系式是解题的关键 好题精练 （ 内蒙古包头， 分） 某广告公司设计一幅周长为 米的矩形广告牌，广告设计费
10、为每平方米 元，设矩形 一边长为 米，面积为 平方米 （）求 与 之间的函数关系式，并写出自变量 的取值范围； （）设计费能达到 元吗？ 为什么？ （）当 是多少时，设计费最多？ 最多是多少元？ 解析 （） 矩形的周长为 米，一边长为 米， 该边的邻边长为（）米， （） 其中，（ 分） （）能理由如下： 设计费为每平方米 元， 当设计费为 元时，面积为 （平方米）， 令，解得 ，满足 ， 设计费能达到 元（ 分） （） （） ， 当 时， 取得最大值，且 （元） 当 时，设计费最多，最多是 元（ 分） （ 天津， 分）甲、乙两个批发店销售同一种苹果在甲 批发店，无论一次购买数量是多少，价格均为
11、 元 在乙批 发店，一次购买数量不超过 时，价格为 元 ；一次购买 数量超过 时，其中有 的价格仍为 元 ，超出 部分的价格为 元 设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为 （） （）根据题意填表： 一次购买数量 甲批发店花费 元 乙批发店花费 元 （）设在甲批发店花费 元，在乙批发店花费 元，分别求 ，关于 的函数解析式； （）根据题意填空： 若小王在甲批发店和在乙批发店一次购买苹果的数量 相同，且花费相同，则他在同一个批发店一次购买苹果的 数量为 ； 若小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为 ， 则他在甲、乙两个批发店中的 批发店购买花 费少； 若小王在同一个批发店一次购买苹果花费了 元，
12、则 他在甲、乙两个批发店中的 批发店购买数量多 第八章 专题拓展 解析 （）由题意可得， 在甲批发店购买 苹果需要付款 元； 在甲批发店购买 苹果需要付款 元 在乙批发店购买 苹果需要付款 元； 在乙批发店购买 苹果需要付款 （） 元 （）由题意可得 （）， ， （） ， （）若 ，解得 ，不合题意，舍去， 若 ，解得 ， 故他在同一个批发店一次购买苹果的数量为 购买甲批发店的 苹果需要花费 元， 购买乙批发店的 苹果需要花费 元， 故在乙批发店购买花费少 在甲批发店：，即 ， 在乙批发店：，即 ， 故在甲批发店购买数量多 （ 湖北武汉， 分）用 块 型钢板可制成 块 型钢 板和 块 型钢板；
13、用 块 型钢板可制成 块 型钢板和 块 型钢板现准备购买 、 型钢板共 块，并全部加工成 、 型钢板要求 型钢板不少于 块， 型钢板不少于 块，设购买 型钢板 块（ 为整数） （）求 、 型钢板的购买方案共有多少种； （）出售 型钢板每块利润为 元， 型钢板每块利润为 元若将 、 型钢板全部出售，请你设计获利最大的购 买方案 解析 （）依题意，得 （）， （） 解得 ， 为整数， ， 答：， 型钢板的购买方案共有 种 （）设全部出售后共获利 元依题意，得 （）（）， 即 ， 随 的增大而减小， 当 时， 的最大值是 答：获利最大的购买方案是购买 型钢板 块， 型钢板 块 题型三 图形问题中的方
14、案设计 此类问题主要有图形的分割与拼接、线路、测量等问题，考 查动手操作能力与空间想象能力，大多数具有一定的开放性，要 求学生多角度、多层次地探索，以展示思维的灵活性、发散性、创 新性 例 （ 吉林， 分）图，图均为 的正方形 网格，每个小正方形的顶点称为格点在图中已画出线段 ， 在图中已画出线段 ，其中 ， 均为格点按下列要求 画图： （）在图中，以 为对角线画一个菱形 ，且 ， 为 格点； （）在图中，以 为对角线画一个对边不相等的四边形 ，且 ， 为格点， 解析 答案不唯一，以下答案供参考 （） （ 分） （） （ 分） （） 点 ，点 标注的位置互换不扣分； （）点，点 标注的位置互换
15、不扣分 例 （ 陕西， 分）问题提出 （）如图，已知，试确定一点 ，使得以 、 为 顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形 问题探究 （）如图，在矩形 中， ， 若要在该矩形 中作出一个面积最大的，且使 ，求满足条件的 点 到点 的距离 问题解决 （）如图，有一座塔 ，按规划，要以塔 为对称中心，建 一个面积尽可能大的形状为平行四边形的景区 根据实际 情况，要求顶点 是定点，点 到塔 的距离为 ， 那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形 景区 ？ 若可以，求出满足要求的 的最大面积；若 不可以，请说明理由（塔 的占地面积忽略不计） 解析 （）如图， 即为所求（只要作出符合条
16、件 的一个平行四边形即可）（ 分） 图 （）如图， 图 ， 取 的中点 ，则 以点 为圆心， 长为半径作， 一定与 相交 于 、两点， 连接 、 ，点 不能在矩形外， 的顶点 在 ( 或 ( 上 显然，当顶点 在 或 位置时， 的面积最大 （ 分） 作 ，垂足为 ，则 由对称性，得 （ 分） （）可以，如图，连接 为 的对称中心， ， 作 的外接圆，则点 在优弧 ( 上取 ( 的中点 ，连接、，则 ，且 为正三角形 连接 并延长，经过点 至 ，使 ，连接 、 图 ， 四边形 为菱形，且（ 分） 作 ，垂足为 ，连接 ， 则 （ 分） （ 分） 菱形 （） 符合要求的 的最大面积为 （ 分） 好
17、题精练 （ 江西， 分）下图由 根完全相同的小棒拼接而成， 请你再添 根与前面完全相同的小棒，拼接后的图形恰好有 个菱形的方法共有（ ） 种 种 种 种 答案 原图中已有 个菱形，添加的 根小棒只要能和原 有的小棒组成唯一菱形即可共有 种添加方法，具体如下： （ 浙江温州， 分）如图，在 的方格纸 中，请 按要求画图，且所画格点三角形与格点四边形的顶点均不与点 ， 重合 （）在图 中画一个格点，使点 ， 分别落在边 ， ， 上，且； （）在图 中画一个格点四边形 ，使点 ， 分别 落在边 ， 上，且 图 图 解析 （）画法不唯一，如图 或图 等 图 图 （）画法不唯一，如图 或图 等 图 图 （ 湖北武汉， 分）如图是由边长为 的小正方形构成 的网格，每个小正方形的顶点叫做格点四边形 的顶点 在格点上，点 是边 与网格线的交点请选择适当的格点， 用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不 要求说明理由 （）如图 ，过点 画线段 ，使 ，且 ； （）如图 ，在边 上画一点 ，使； （）如图 ，过点 画线段 ，使 ，且 图 图 解析 （）如图 （）如图 （）如图 （画法不唯一） 图 图
