1、第八章 专题拓展 阅读理解型 对应学生用书起始页码 页 题型特点 阅读理解型问题一般篇幅较长，题中提供的阅读材料内容丰 富，有与数学有关的知识拓展及应用的阅读，也有与其他学科相关 的阅读，问题构思新颖，题材多变，集阅读、理解、应用于一体，一般包 括情境阅读、定义“新概念”阅读、数学知识拓展阅读等 命题规律 主要考查学生对数学知识的理解和应用，以及收集和处理 信息的能力，选材广泛，信息量大，灵活性高，试题的形式多样 对应学生用书起始页码 页 题型一 展现思维或解题过程的阅读理解题 解答阅读理解题的关键在于阅读，核心在于理解，目的是应 用通过阅读，理解材料中所提供的知识要点、数学思想，进而找 到解
2、题的方法，解决实际问题 该类题常常给出试题的解法，从题型上看，有展示全貌，留 空补缺的；有说明解题理由的；有要求先归纳规律再解决问题 的，题目多样，重点考查学生严密的逻辑推理能力，如演绎推理、 类比推理 例 （ 贵州贵阳， 分）如图，在 中，以下 是小亮探索 与 之间关系的方法： ， ， ， ， 根据你掌握的三角函数知识，在图的锐角 中，探索 ， ， 之间的关系，并写出探索过程 解析 如图 ，过点 作 边上的高 ， 图 在 中， ，在 中， ， ， ， ， 同理，如图 ，过点 作 边上的高 ， 图 在 中， ，在 中， ， ， ， ， 综上， 好题精练 （ 河北， 分）求证：菱形的两条对角线互
3、相垂直 如图，四边形 是菱形，对角线 ， 交于点 求证： 以下是打乱的证明过程： 又 ， ，即 四边形 是菱形， 证明步骤正确的顺序是（ ） 答案 证明过程应为： 四边形 是菱形， ，又 ， ，即 故证明步骤正确的顺序是，故选 （ 北京， 分）如图， 是 ( 与弦 所围成的图形的外 部的一定点， 是 ( 上一动点，连接 交弦 于点 小腾根据学习函数的经验，对线段 ， 的长度之间的 关系进行了探究 下面是小腾的探究过程，请补充完整： （）对于点 在 ( 上的不同位置，画图、测量，得到了线段 ， ， 的长度的几组值，如下表： 位置 位置 位置 位置 位置 位置 位置 位置 在 ， 的长度这三个量中
4、，确定 的长度是 自变量， 的长度和 的长度都是这个自变 量的函数； （）在同一平面直角坐标系 中，画出（）中所确定的函数 的图象； （）结合函数图象，解决问题：当 时， 的长度约为 解析 （）， 由函数定义可知，当自变量确定时，函数值随之唯一确定，观察 表格中的画圈处可知 ， 的长度都不是自变量，所以 的长度是自变量， 的长度是 长度的函数 （） （）当 时， 的长度约为 或 观察表格中的位置 和位置 即可得出结论： 本题第一问考查了对函数定义的理解，除了两 个变量，还要关注“随之唯一确定”这一层关系 题型二 数字类“新概念”“新运算”阅读理解题 命题者给定一个陌生的定义或公式或方法，让学生
5、去解决 新问题，这类考题能考查解题者的自学能力和阅读理解能力，能 考查解题者接收、加工和利用信息的能力解决该类题的关键是 认真阅读题目，并正确理解引进的新知识 例 （ 重庆 卷， 分）道德经中的“道生一，一 生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征在数的学习过程 中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然 数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等现在我们来研究另一 种特殊的自然数 “纯数” 定义：对于自然数 ，在计算 （）（）时，各数位都 不产生进位，则称这个自然数 为“纯数” 例如： 是“纯数”，因为计算 时，各数位都不产 生进位； 不是“纯数”，因为计算 时，个位产生了进位
6、 （）判断 和 是不是“纯数”，请说明理由； （）求出不大于 的“纯数”的个数 解析 （） 不是“纯数”， 是“纯数”（ 分） 理由如下： 在计算 时，个位 ，产生了 进位， 不是“纯数” 在计算 时，个位 ，十位 ，百位 ，千位 ，它们都没有产生进位， 是“纯数”（ 分） （）当“纯数” 为一位数时，（）（） ， 故 ，即在一位数的自然数中，“纯数”有 个 当“纯数” 为两位数时，设 （其中 ， ，且 ， 为自然数）， 则 （）（） 此时 ， 应满足的条件分别为 ，即 ，； ，即 ， （个）， 在两位数的自然数中，“纯数”有 个 ，不产生进位， 是“纯数” （个） 故在不大于 的自然数中“纯
7、数”的个数是 （ 分） 好题精练 （ 重庆 卷， 分）对任意一个四位数 ，如果千位与 十位上的数字之和为 ，百位与个位上的数字之和也为 ，则 称 为“极数” （）请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是 的倍数，请说明理由； （）如果一个正整数 是另一个正整数 的平方，则称正整数 是完全平方数若四位数 为“极数”，记 （） 求 满足 （）是完全平方数的所有 解析 （） ， ， （ 分） 任意一个“极数”是 的倍数理由：设任意一个“极数” 的 千位数字为 ，百位数字为 （其中 ，且 ， 为整数），则十位上的数字为 ，个位上的数字为 则这 个数可以表示为 （） 第八章 专题拓展 化简，
8、得 （） ，且 ， 为整数， 为整数 任意一个“极数”都是 的倍数（ 分） （）由（）可知，设任意一个“极数” 的千位数字为 ，百位数 字为 （其中 ，且 ， 为整数），则“极数” 可表示为 （） （） （） （ 分） ， （） （）为完全平方数且 （）是 的倍数， （） 或 或 或 （ 分） 当 （） 时，得 ，解得 ， 此时， 当 （） 时，得 ，解得 ， 此时， 当 （） 时，得 ，解得 ， 此时， 当 （） 时，得 ，解得 ， 此时， 综上，满足条件的 为 ， ， ， （ 分） 题型三 图形类“新定义”阅读理解题 分析和提取材料与图形中的信息，选择合理的几何性质，对 数据进行加工、提炼
9、和应用，该类型题主要考查学生的阅读理解 能力和识图能力 例 （ 河北， 分）如图，若 是正数 ，直线 ： 与 轴交于点 ；直线 ： 与 轴交于点 ；抛物线 ： 的顶点为 ，且 与 轴右交点为 （）若 ，求 的值，并求此时 的对称轴与 的交点 坐标； （）当点 在 下方时，求点 与 距离的最大值； （）设 ，点（，），（，），（，）分别在 ， 和 上，且 是 ，的平均数，求点（，）与点 间的距离； （）在 和 所围成的封闭图形的边界上 ，把横、纵坐标都 是整数的点称为“美点”，分别直接 写出 和 时 “美点”的个数 解析 （）当 时， （，） ，（，）， （） （ 分） 的方程为 的对称轴为 当
10、 时， 的对称轴与 的交点坐标为（，）（ 分） （） () ， 的顶点 的坐标为 ， () （ 分） 点 在 下方， 与 的距离为 （） 点 与 距离的最大值为 （ 分） （）由题意得 ，即 ， 得 （ ） 解得 或 但 ，取 （ 分） 对于 ，当 时，即 （） 解得 ， ， 右交点 的坐标为（，） 点（，）与点 间的距离为 () （ 分） （） ； （ 分） 详解：如图， 与 的交点坐标满足：，得交点 （，），（，） 当 为整数时，而 也是整数， 对应的 和 均为整数 当 和 时，对应的“美点”各只有一个 从 到 共有 个整数，每个整数 都对应两个 “美点”， 此时“美点”个数为 把 代入，
11、求得“美点” 个数为 当 不是整数时，但 是整数， 不是整数，即边界 （）上没有“美点”；而在边界 （ ）上，满足 是整数才有“美点”对于 ， 应是从 到 的偶数， 此时“美点”的个数为 例 （ 北京， 分）对于平面直角坐标系 中的 图形 ，给出如下定义： 为图形 上任意一点， 为图形 上任意一点，如果 ， 两点间的距离有最小值，那么称这个最小 值为图形 ， 间的“闭距离”，记作 （，） 已知点 （，），（，），（，） （）求 （点 ，）； （）记函数 （，）的图象为图形 若 （， ） ，直接写出 的取值范围； （） 的圆心为 （，），半径为 若 （，） ， 直接写出 的取值范围 解析 （）如
12、图 ，点 到 上的点的距离的最小值为 ，即（点，） 图 （） 的取值范围为 且 提示：如图 ，（）的图象经过原点，在 范 围内，函数图象为线段 当 （，）的图象经过（，）时， 此时 （，） ； 当 （，）的图象经过（，）时， 此时 （，） ， 且 （） 的取值范围为 或 或 提示： 与 的位置关系分三种情况，如图 在 的左侧时，（，） ， 此时 ； 在 的内部时，（，） ， 此时 ； 在 的右侧时，（，） ， 此时 综上所述， 或 或 图 解决本题的关键是要从点到点的距离中发 现点到直线的距离和平行线间的距离 好题精练 （ 四川成都， 分）设双曲线 （）与直线 交于 ， 两点（点 在第三象限）
13、，将双曲线在第一象限的一 支沿射线 的方向平移，使其经过点 ，将双曲线在第三象限 的一支沿射线 的方向平移，使其经过点 ，平移后的两条曲 线相交于 ， 两点，此时我们称平移后的两条曲线所围部分 （如图中阴影部分）为双曲线的“眸”， 为双曲线的“眸径”， 当双曲线 （）的眸径为 时， 的值为 答案 解析 如图所示，以 为边，作矩形 交双曲线在第一 象限的一支于点 ，点 ，联立得 ， ， 得 ， ， 点坐标为（ ， ）， 点坐标为（ ， ） ， ， 由双曲线的对称性，得 的坐标为 ， 点平移到 点与 点平移到 点的距离相同， 点向右平 移 个单位，向上平移 个单位得到点 ， 点 的坐标 为 ， ，
14、 点 在反比例函数 的图象上， ，代入得 ，解得 以 为边，作矩形 交双曲线在第一象 限的一支于点 ，点 ，联立直线 及双曲线解析式得方程 组，即可求出点 ，点 的坐标，由 的长度以及对称性可得 点 的坐标，根据平移的性质得 ，求出点 的坐标，代 入 ，得出关于 的方程，解之得 值 本题考查了反比例函数与一次函数的图象交 点问题、反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质，难点是 点的坐标的确定，关键是根据平移的性质判断 ，由 ， 两点的坐标确定平移方向和平移距离是突破点，再把点 进行相同的平移可以求出点 的坐标 （ 北京， 分）在 中， 分别是 两边的 中点，如果 ( 上的所有点都在 的内部或
15、边上，则称 ( 为 的中内弧例如，下图中 ( 是 的一条中内弧 （）如图，在 中， ， 分别是 ， 的 中点画出 的最长的中内弧 ( ，并直接写出此时 ( 的长； （）在平面直角坐标系中，已知点 （，），（，），（，）， （）在 中， 分别是 ， 的中点 若 ，求 的中内弧 ( 所在圆的圆心 的纵坐 第八章 专题拓展 标的取值范围； 若在 中存在一条中内弧 ( ，使得 ( 所在圆的圆 心 在 的内部或边上，直接写出 的取值范围 解析 （） 的最长的中内弧 ( ，如图 ( 的长为 （）当 时，点 （，） 取 的中点 （，），则四边形 为正方形 ( （除端点外）在线段 的上方， 当 ( 所在圆与
16、相切时，圆心 是正方形 的 中心 点 ， () 结合图形，可得点 的纵坐标 ( （除端点外）在线段 的下方， 当 ( 所在圆与 相切时，圆心 是线段 的中点 点 ， () 结合图形，可得点 的纵坐标 综上所述，圆心 的纵坐标 的取值范围是 或 的取值范围是 (提示：如图 ，当 ( （除端点外）在线段 上方，即 与 相切时，易证，可求得 ，结合图 象可知 ；如图 ，当 ( （除端点外）在线段 下方，即 与 相切时，易证，可求得 ，设 与 交于点 ， ，进而在 中可求 ，结合图象可知 综上， 的取值范围是 ) 图 图 （ 山西， 分） 阅读以下材料，并按要求完成相应的 任务： 图 图 莱昂哈德欧拉
17、（ ）是瑞士数学 家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要 常数、公式和定理下面就是欧拉发现的一个 定理：在 中， 和 分别为外接圆和内 切圆的半径， 和 分别为其外心和内心，则 如图 ， 和 分别是 的 外接圆和内切圆， 与 相切于 点 ，设 的半径为 ， 的半径 为 ，外心 （三角形三边垂直平分 线的交点）与内心 （三角形三条角 平分线的交点）之间的距离 ， 则有 下面是该定理的证明过程（部分）： 延长 交 于点 ，过点 作 的直径 ，连接 ， ，（同弧所对的圆周角相等）， 如图 ，在图 （隐去 ，）的基础 上作 的直径 ，连接 ， ， 是 的直径， 与 相切于点 ， （同弧所对的圆周角
18、相等）， 任务：（）观察发现：， （用含 ， 的代数 式表示）； （）请判断 和 的数量关系，并说明理由； （）请观察式子和式子，并利用任务（）（）的结论，按照 上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分； （）应用：若 的外接圆的半径为 ，内切圆的半径为 ，则 的外心与内心之间的距离为 解析 （）（ 分） （）（ 分） 理由如下： 点 是 的内心， ，（ 分） ， ， ， （ 分） （ 分） （）证明：由（）知 ， 又 ， （ 分） （）（） （ 分） （） （ 分） （）根据线段的差易得 ；（）根据点 是 的内心，推出 ， ，进而根 据外角知识及圆周角定理得到，即可得到 ；（）利用任务（）（）的结论得出 ，进而得 出 ；（）运用（）中推出的公式计算得解
