1、 年中考 年模拟 中考数学 二次函数的综合应用 对应学生用书起始页码 页 考点一 抛物线与距离、面积、角度 直角坐标系中两点之间的距离 如图，（）线段 轴时， ； （）线段 轴时， ； （）当线段不平行于坐标轴时，常过线段的端点作坐标轴的 平行线，转化为（）（）两种情况，利用勾股定理求线段长 （ ） （ ） 图形的面积 （）如图 ，当三角形的底边平行于坐标轴，或者在坐标轴 上时， 轴时，作 轴，交 于 ，垂足为 ， ； 轴时，作 轴，交 于 ，垂足为 ， （）用割补法转化为（）的情况求三角形面积如图 ，作 轴，交 于 ，垂足为 ，过 作 于 ，过 作 于 ，则 （） （ ）（ ） 如图 ，作
2、轴，交 于 ，垂足为 ，过 作 于 ，过 作 于 ，则 （ ） （ ）（ ） 如图 ，过三角形的顶点作坐标轴的平行线，构成矩形，则 矩形 （）求四边形和多边形的面积时，可以作坐标轴的平行线， 割补为三角形、矩形等来解 直角坐标系中的“距离和最短”问题 如图，作点 关于直线 的对称点 ，连接 交直线 于点 ，则 最短，解答时，可以先求出直线 的解析式，再求 出点 的坐标 有关角的问题，可以构造直角三角形，利用锐角三角函数 求值；或者构造全等（或相似）三角形，把角的问题转化为边的问 题来解 考点二 抛物线与特殊三角形、特殊四边形 用尺规作出图形，用顶点的坐标表示图形的边长，利用图 形的边之间的关系
3、，如等腰三角形的两腰相等，直角三角形的勾 股定理，平行四边形的对边平行且相等，圆心到切点的距离等于 半径，等等，构造方程或直接得解 如图，过 的顶点作坐标轴的平行线，可得 ，所以 ，所以 ， ，即 ， 考点三 抛物线与全等三角形、相似三角形 用顶点的坐标表示图形的边长，利用全等（或相似）三角形 的对应边相等（或成比例）解答问题，注意分类讨论思想的应用， 不要漏解 思路：清楚已知的三角形特征，如等腰三角形，直角三角 形，边长是多少，角度是多少，等等；设未知数，用未知数表示未 知的（或动态的）三角形的边长；根据全等（或相似）三角形的 性质，利用对应边相等（或成比例）列方程，解方程得出未知数的 值，
4、代入即可得动点的坐标 考点四 二次函数在实际生活（生产）中的应用 主要考查利润最大，方案最优，面积最大等问题 一般步骤： （）先分析问题中的数量关系，列出函数关系式； （）确定自变量的取值范围； （）分析所得函数的性质； （）解决提出的问题 第三章 变量与函数 对应学生用书起始页码 页 一、求图形的面积 在求图形的面积时，先观察图形的边所在直线是不是平行 于坐标轴；每一条边所在直线都不平行于坐标轴时，可以过顶点 作坐标轴的平行线，把图形割补为直角三角形或矩形或直角梯 形等再求面积 例 （ 内蒙古包头， 分）如图，在平面直角坐标 系中，已知抛物线 （）与 轴交于 （，）、 （，）两点，与 轴交于
5、点 ，连接 （）求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴方程； （）点 为抛物线对称轴上一点，连接 、，若 ，求点 的坐标； （）已知 （，），若 （，）是抛物线上一个动点（其中 ），连接 ，求 面积的最大值及此时点 的 坐标； （）若点 为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点 ，使得以 ， 为顶点的四边形是平行四边形？ 若存在， 请直接写出所有满足条件的点 的坐标；若不存在，请说明 理由 解析 （） 抛物线 （）过 （，），（， ）两点， ， ， 解得 ， 抛物线的解析式为 对称轴方程是 （ 分） （）过点 作 轴于 ，作 轴于 设点 （，）， （，），（，）， 在 中， （） （）， 在 中
6、，（） （ ） 在 中， ， ， （） （）（） （ ） ， ， 点 的坐标是 ， () （ 分） （）过点 作 轴于 ，过点 作 轴于 ，过点 作 于 ， ， 四边形 是矩形 则 矩形 ， （，），（，）， （，）， （） （） （）（） ， ， () ， ， 当 时， 的面积取最大值，为 此时点 的坐标为 ， () （ 分） （）存在点，使得以， 为顶点的四边形是平行四边形 点 的坐标为（，）或 ， ()或 ， () （ 分） 针对训练 （ 江苏盐城， 分）如图，在平面直角 坐标系中，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，抛 物线 经过 、 两点，与 轴的另一交点为点 （）求抛物线的函数表
7、达式； （）点 为直线 上方抛物线上一动点 连接 、，设直线 交线段 于点 ， 的面 积为 ， 的面积为 ，求 的最大值； 过点 作 ，垂足为点 ，连接 ，是否存在点 ， 使得 中的某个角恰好等于 的 倍？ 若存在，求点 的横坐标；若不存在，请说明理由 备用图 解析 （）根据题意得 （，），（，）， 抛物线 经过 、 两点， ， ， ， ， （）在 中，令 ，则 ， 年中考 年模拟 中考数学 解得 ， （，）， 如图，过 作 轴于 ，交 于 ，过 作 轴 交 于 ， ， ， 设 ， ()， ， ()， （，）， ， ()， （） 当 时， 取得最大值，最大值是 存在 （，），（，），（，），
8、， ， ， 是以 为直角的直角三角形 取 的中点 ， ， ()， 连接 ， ， ， ， 过 作 轴的平行线交 轴于 ，交 于 ， 情况一：如图， ， ， ， 即 ， 设 ， ()， ， ， ， 解得 或 （舍去）， 情况二：， 设 （）， ， ， ， ， ， ， ， 设 ， ()， ， ， ， 解得 或 （舍去） 综上可得，点 的横坐标为 或 二、抛物线与三角形、四边形的综合应用 抛物线与三角形、四边形的综合应用问题有两类，一类是用 参数表示图形顶点的坐标，进而表示图形的边长，利用特殊三角 形、四边形的边的关系列方程，求出参数和点的坐标；另一类是 用顶点坐标求出边长，验证图形的形状 例 （ 四
9、川成都， 分）如图，抛物线 经过点 （，），与 轴相交于（，），（，）两点 （）求抛物线的函数表达式； （）点 在抛物线的对称轴上，且位于 轴的上方，将 沿直线 翻折得到，若点 恰好落在抛物线的 对称轴上，求点 和点 的坐标； （）设 是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点 在抛物 线的对称轴上，当 为等边三角形时，求直线 的函数表 达式 解析 （）由题意，得 ， ， ， 解得 ， ， 第三章 变量与函数 抛物线的函数表达式为 （） 抛物线与 轴的交点为 （，），（，）， ，抛物线的对称轴为直线 设抛物线的对称轴与 轴交于点 ，则 点的坐标为（， ）， 由翻折得 在 中， 由 勾 股 定 理， 得
10、 点 的坐标为（， ）， 由翻折得 在 中， 点 的坐标为， （）取（）中的点 ，连接 ， 为等边三角形 分类讨论如下： 当点 在 轴上方时，点 在 轴上方 连接 ， ， 为等边三角形， ， 点 在抛物线的对称轴上， 又 ， 垂直平分 由翻折可知 垂直平分 点 在直线 上 设直线 的函数表达式为 ， 则 ， ， 解得 ， 直线 的函数表达式为 当点 在 轴下方时，点 在 轴下方 ， 为等边三角形， ， ， ， 设 与 轴相交于点 在 中， ， 点 的坐标为 ， 设直线 的函数表达式为 ， 则 ， ， 解得 ， 直线 的函数表达式为 综上所述，直线 的函数表达式为 或 针对训练 （ 四川广安，
11、分）如图，已知抛物线 与 轴相交于点 （，），与 轴正半轴相交于点 ，对称轴是直线 （）求此抛物线的解析式以及点 的坐标； （）动点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度沿 轴正方向运动，同时动点 从点 出发，以每秒 个单位长度的 速度沿 轴正方向运动，当 点到达 点时，、 同时停止运 动过动点 作 轴的垂线交线段 于点 ，交抛物线于点 ， 设运动的时间为 秒 当 为何值时，四边形 为矩形？ 当 时， 能否为等腰三角形？ 若能，求出 的值； 若不能，请说明理由 年中考 年模拟 中考数学 解析 （） 抛物线 的对称轴是直线 ， （） ，解得 抛物线过点 （，）， ， 抛物线的解析式为 ， 令 ，
12、可得，解得 或 ， 点坐标为（，） （）由题意可知 ， 在抛物线上， （，）， 四边形 为矩形， ， ，解得 或 （舍去）， 当 的值为 时，四边形 为矩形 能 （，），（，）， ，且可求得直线 的解析式为 ， 当 时， 当 为等腰三角形时，有 或 两种 情况 由题意可知 ， （，） （）（） ， （） （） ， 又由题意可知 ， 当 时，有 ， 解得 （舍去）或 ； 当 时，有 ，解得 综上可知，当 的值为 或 时， 为等腰三角形 三、利用二次函数的性质解决最优化问题 利用二次函数求最值的方法：一是利用公式，对于二次函 数 （），当 时，函数取最值 ；二是配 方法，把一般式化为顶点式，利用任
13、意一个数的平方大于等于 求出最值 利用最值解决实际生活中的最优化问题，应认清变量所 表示的实际意义，要符合实际 例 （ 内蒙古包头， 分）某出租公司有若干辆 同一型号的货车对外出租，每辆货车的日租金实行淡季、旺季两 种价格标准，旺季每辆货车的日租金比淡季上涨 据统计，淡 季该公司平均每天有 辆货车未租出，日租金总收入为 元；旺季所有的货车每天能全部租出，日租金总收入为 元 （）该出租公司这批对外出租的货车共有多少辆？ 淡季每 辆货车的日租金是多少元？ （）经市场调查发现，在旺季如果每辆货车的日租金每上涨 元，每天租出去的货车就会减少 辆，不考虑其他因素，每辆 货车的日租金上涨多少元时，该出租公
14、司的日租金总收入最高？ 解析 （）设该出租公司这批对外出租的货车共有 辆 根据题意，得 () ， 解得 经检验， 是所列方程的解 （） （元） 答：该出租公司这批对外出租的货车共有 辆，淡季每辆 货车的日租金是 元（ 分） （）设当旺季每辆货车的日租金上涨 元时，该出租公司的 日租金总收入为 元 根据题意，得 () ()， ， （） ， 当 时， 有最大值 答：当旺季每辆货车的日租金上涨 元时，该出租公司的 日租金总收入最高（ 分） 针对训练 （ 江西， 分）某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户 承包了荒山种植某品种蜜柚到了收获 季节，已知该蜜柚的成本价为 元 千 克，投入市场销售时，调查市场行情，
15、发 现该蜜柚销售不会亏本，且每天销售量 （千克） 与销售单价 （元 千克）之间的函数关系如图所示 （）求 与 的函数关系式，并写出 的取值范围； （）当该品种蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最 大？ 最大利润是多少？ （）某农户今年共采摘蜜柚 千克，该品种蜜柚的保质 期为 天，根据（）中获得最大利润的方式进行销售，能否销售 完这批蜜柚？ 请说明理由 解析 （）设 与 的函数关系式为 （）， 将（，）和（，）代入，得 ， ， 解得 ， 与 的函数关系式为 由，得 ， 的取值范围为 （）设该品种蜜柚定价为 元 千克时，每天销售获得的利 润为 元，依题意，得 （）（） （） ， ， 当 时，最大值 因此，该品种蜜柚定价为 元 千克时，每天销售获得的利 润最大，最大利润为 元 （）不能 理由：按（）中每天获得最大利润的方式销售， 由（）得 ， ， 该农户不能销售完这批蜜柚
