1、江西省五校协作体 2019 届高三上学期考试试题 理科数学 编辑：华附南海实验高中 李志刚 微信&QQ：46890730 微信公众号：华海数学 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1已知集合 |lg(2)1Axx，集合 2 |230Bx xx，则AB （ ） A(2,12) B( 1,3) C( 1,12) D(2,3) 1答案：C 解析：由lg(2)1lg10x ，得0210x，所以212x，集合 |212Axx， 由 2 230xx，得13x ，所以集合 | 13Bxx ，所以( 1,12)AB 2已知i是虚数单
2、位，若 2018 11 i i1 i z ，则z （ ） A1 B2 C2 D5 2答案：B 解析： 2 1i1 i(1 i)2i i,i ii ( i)1 i(1 i)(1 i)2 ， 所以 2018 20182018504 4 22 1 i ( i)iii1 1 i 所以由 2018 11 i i1 i z ，得i1,1 izz ，所以2z 3在等差数列 n a中， 6 1 5 1,2 a a a ，则公差d的值是（ ） A 1 3 B 1 3 C 1 4 D 1 4 3答案：A 解析：由 6 5 2 a a ，得 65 2aa，所以 11 52(4 )adad，又 1 1a ，所以 1
3、3 d 4下列曲线中离心率是 6 2 的是（ ） A 22 1 24 xy B 22 1 42 xy C 22 1 46 xy D 22 1 410 xy 4答案：B 解析： 2222 2 222 3 1 2 cabb e aaa ，得 2 2 1 2 b a ， 22 2ab， 只有选项 B 符合 5汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1L 汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度 下的燃油效率情况下列叙述中正确的是（ ） A消耗 1L 汽油，乙车最多可行驶 5 km B以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C甲车以 80 km/h 的速度行驶 1 h，消耗 8L
4、汽油 D某城市机动车最高限度 80 km/h，相同条件下，在该市用乙车比用丙车更省油 5答案：C 解析：由题图可知，消耗 1L 汽油，乙车最多可行驶的里程超过了 5 km，故选项 A 错误； 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故选项 B 错误； 若甲车以 80 km/h 的速度行驶，由题图可知“燃油效率”为 10km/L，所以行驶 1 h，消耗 8L 汽油，所以选 项 C 正确； 若某城市机动车最高限度 80 km/h，从题图可知，丙车比乙车“燃油效率”高，所以在相同条件下，丙车 比乙车省油，选项 D 错误 6已知1,1ab，且 10 loglog, 3 ba ab baab
5、，则执行如图所示的程序框图，输出的S （ ） A2 B2 C3 D3 开始开始 输入输入a,b ab? 输入输入S 结束结束 Sb Sa 是是否否 6答案：C 解析：由 10 loglog 3 ab ba，得 11 log3,log3 log3 aa a bb b 或 1 3 ， 3 ba 或 3 ab， 若 3 ba，由 ba ab，得 33 ,3 ,3 ba aabaaa ，解得3,3 3ab， 若 3 ab，由 ba ab，得 33 ,3 ,3 ba bbabbb，解得3,3 3ba 又程序框图的功能是“取较小值” ，即取出a与b中较小的那一个，所以输出的3S 7过抛物线 2 :2(0)
6、C ypx p的焦点F且倾斜角为锐角的直线l与C交于,A B两点，过线段AB的中 点N且垂直于l的直线与C的准线相交于点M，若MNAB，则直线l的倾斜角为（ ） A15 B30 C45 D60 7答案：B 解析：分别过, ,A B N作抛物线准线的垂线，垂足分别为,A B N， 由抛物线的定义知,AFAABFBB， 1 22 AABB NNAB ，因为MNAB， 所以60MNN，即直线MN的倾斜角为120，又直线MN与直线l垂直，且直线l的倾斜角为锐角， 所以直线l的倾斜角为30，故选 B M B A N N B A OF 8设点M是 20 260 220 x xy xy 表示的区域 1 内任
7、一点，点N是区域 1 关于直线: l yx的对称区域 2 内的任一点，则MN的最大值为（ ） A2 B2 2 C4 2 D5 2 8答案：D 解析：作出不等式组所表示的平面区域 1 为如图 所示的ABC，其中( 4,1),( 2,0),( 2,2)ABC， 则ABC关于直线: l yx的对称区域 2 为如图 所示的A B C ，其中(1, 4),(0, 2),(2, 2)ABC， 则当取点M为( 4,1)A ，点N为(1, 4) A 时， MN取得最大值5 2 B A C C B A O 9函数 2 ( ) () axb f x xc 的大致图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A0,0,0
8、abc B0,0,0abc C0,0,0abc D0,0,0abc 9答案：A 解析：函数( )f x的定义域为 |x xc ，从题图可知0,0cc ，排除 B，D； 由题图可知 2 (0)0,0 b fb c ，再排除 C，故选 A 10如图，圆锥的底面直径4AB ，高2 2OC ，D为底面圆周上的一点，且 2 3 AOD ，则直线 AD与BC所成的角为（ ） A 6 B 3 C 5 12 D 2 10答案：B 解析：如图，过点O作OEAB交底面圆E，分别以,OE OB OC所在直线为, ,x y z轴建立空间直角坐 标系，因为 2 3 AOD ，所以 3 BOD ， 则( 3,1,0),(
9、0, 2,0),(0,2,0),(0,0,2)DABC， ( 3,3,0),(0, 2,2 2)ADBC ， 所以 61 cos, 122 AD BC AD BC ADBC ， 则直线AD与BC所成的角为 3 11若函数( )sin(0) 6 f xx 在区间( ,2 )内没有最值，则的取值范围是（ ） A 11 2 0, 124 3 B 11 2 0, 63 3 C 1 2 , 4 3 D 1 2 , 3 3 11答案：B 解析：因为0,2x，所以2 666 x ，又函数( )sin 6 f xx 在区间 ( ,2 )内没有最值，所以函数( )sin 6 f xx 在区间( ,2 )上单调，
10、 所以2,01 66 ，则 7 666 x 当 662 时，2 62 ，所以 1 0 6 ； 当 7 266 x 时， 3 2 62 ，所以 12 33 故选 B 12已知函数 2 ( )ln, ,Rf xaxbxa b若不等式( )f xx对所有的 2 (,0,( ,bxe e 都成立， 则a的取值范围是（ ） A ,)e B 2 , 2 e C 2 2 , 2 e e D 2 ,)e 12答案：B 解析：( )f xx对所有的 2 (,0,( ,bxe e 都成立，即 22 ln,lnaxbxx axxbx对所有 2 (,0,( ,bxe e 都成立，因为 2 (,0,( ,bxe e ，
11、所以 2 bx的最大值为 0，所以ln0axx 在 2 ( ,xe e时恒成立，所以 ln x a x 在 2 ( ,xe e时恒成立，令 2 ( ),( , ln x g xxe e x ，则 2 ln1 ( )0 ln x g x x 恒成立，所以( ) ln x g x x 单调递增，所以当 2 xe时，( )g x取得最大值 2 2 e ，所以 2 2 e a，故选 B 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中的横线上 13设向量(3, 4),( ,8),( 1, 1)aabtc ，若/bc ，则t 13答案：15 解析： ( ,8)(3, 4)(3,1
12、2),/ ,312,15babattbctt 14 25 (1)(1)xx的展开式中含 5 x的系数为 14答案：11 解析：在 25 (1)(1)xx的展开式中要想出现 5 x有两种可能，其一，在第一个多项式中取 2 x，在第二个展 开式中取 232 5 ( 1)C x ， 即 22325 5 ( 1)10x C xx； 其二， 在第一个多项式中取 1， 在第二个展开式中取 05 5 C x， 即 055 5 1 C xx， 555 1011xxx，所以 5 x的系数为 11 15某几何体的三视图如图所示，正视图是一个上底为 2，下底为 4 的直角梯形，俯视图是一个边长为 4 的等边三角形，
13、则该几何体的体积为 正视图正视图侧视图侧视图 俯视图俯视图 15答案： 32 3 3 解析：把三视图还原成几何体ABCDEF，如图所示，在AD上取点G，使得2AG ，连接,GE GF， 则把几何体ABCDEF分割成三棱柱ABCGEF和三棱锥DGEF， 所以 132 3 4 324 32 33 ABC DEFABC GEFD GEF VVV A B C D F E G 16在数列 n a中， 2 11 2 1,(2) 1 nn n aaan n 记 n S为数列 2 n a n 的前n项和，若 49 25 n S ，则n 16答案：49 解析：由 22 11 2 1(1)(1) nnn nn a
14、aa nnn ，得 1 1 1 nn nn aa nn ，所以数列 1 n n a n 是常数列， 1 11 12 2, 11 nn nn aaa nn ，记 2 211 2 (1)1 n n a b nn nnn ， 则 11111149 212 1 2231125 n S nnn ，解得49n 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考 生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分 17 （本小题满分 12 分） 在ABC中，角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c，且 2 6 7,si
15、n 5 cC （1）若 5 cos 7 B ，求b的值； （2）若11ab，求ABC的面积 17解析： （1）在ABC中，因为 5 cos 7 B ，且(0, )B，所以 2 6 sin 7 B ， 根据正弦定理 sinsin bc BC ，得 2 6 7 sin 7 5 sin2 6 5 cB b C 6 分 （2）在ABC中，因为 2 222 ()121 22 ab abc ，所以 222 cos0 2 abc C ab ， 又因为 2 6 sin 5 C ，所以 1 cos 5 C ， 所以由余弦定理可得 222222 212 2cos() 55 cababCabababab，即 12
16、49121 5 ab， 解得30ab ，所以ABC的面积 1 sin6 6 2 ABC SabC 12 分 18 （本小题满分 12 分） 食品安全问题越来越受到人们的重视，某超市在某种蔬菜进货前，要求食品安检部门对每箱蔬菜进行三轮 各项指标的综合检测，只有三轮检测都合格，蔬菜才能在该超市销售已知每箱这种蔬菜第一轮检测不合 格的概率为 1 7 ，第二轮检测不合格的概率为 1 8 ，第三轮检测合格的概率为 8 9 ，每轮检测只有合格与不合格 两种情况，且各轮检测是否合格相互之间没有影响 （1）求每箱这种蔬菜不能在该超市销售的概率； （2）如果这种蔬菜能在该超市销售，则每箱可获利 400 元，如果
17、不能在该超市销售，则每箱亏损 200 元， 现有 4 箱这种蔬菜，求这 4 箱蔬菜总收益的分布列和数学期望 18解析： （1）记(1,2,3) i A i 分别为事件“第一、二、三轮检测合格” ，A为事件“每箱这种蔬菜不能 在该超市销售” 由题可知 123 16178 ()1,()1,() 77889 P AP AP A ， 所以 123 6781 ( )1() () ()1 7893 P AP A P A P A 5 分 （2）设这 4 箱蔬菜的总收益为随机变量X，则X的所有可能取值为1600,1000, 400,200,800， 且 43 3 4 2234 21 44 2162132 (1
18、600),(1000), 3813381 212421811 (400),(200),(800) 33813381381 P XP XC P XCP XCP X 10 分 故X的分布列为 X 1 600 1 000 400 200 800 P 16 81 32 81 24 81 8 81 1 81 16322481 ()16001000400200800800 8181818181 E X12 分 19 （本小题满分 12 分） 平面直角坐标系xOy中，过椭圆 22 22 :1(0) xy Mab ab 右焦点的直线30xy交M于,A B两 点，且椭圆M的离心率为 2 2 （1）求椭圆M的方程
19、； （2）,C D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CDAB，求四边形ACBD面积的最大值 19解析： （1）易知椭圆M的右焦点为( 3,0)，则3c 离心率 32 2 c e aa ，则6a ， 故 222 3bac所以椭圆M的方程为 22 1 63 xy 4 分 （2）由 22 30 1 63 xy xy ，解得 4 3 3 3 3 x y 或 0 3 x y ，因此 4 6 3 AB 6 分 由题意可设直线CD的方程为 5 3 3 3 yxnn ， 3344 (,),(,)C xyD xy 由 22 1 63 yxn xy ，得 22 34260xnxn，则 2 3434 426 ,
20、 33 nn xxx x 所以 22 22 1212 168244 2()429 933 nn CDxxx xn 9 分 由已知，四边形ACBD的面积 2 18 6 9 29 SCDABn 当0n 时，S取得最大值，最大值为 8 6 3 所以四边形ABCD面积的最大值为 8 6 3 12 分 20 （本小题满分 12 分） 如图 1， 在RtABC中，90 ,30ACBB ，,D E分别是,AB CD的中点，AE的延长线交CB于 F现将ACD沿CD折起，折成二面角，如图 2，连接A F A BC D E F A B D F E D F C E C F E C D F E C D C E F 图
21、图1图图2 （1）求证：平面A EF平面CBD； （2）当A CBD时，求二面角ACDB 的余弦值 20解析： （1）在RtABC中，由D为AB的中点，得ADCDDB，又30B，所以ACD是 正三角形，又E是CD的中点，所以AFCD折起后，,A ECD EFCD，又A EEFE， 所以CD 平面A EF，又CD 平面CBD，故平面A EF平面CBD5 分 （2）解法一 如图，过点 A 作A HEF，垂足H落在FE的延长线上因为CD 平面A EF，所以 CDA H，又,EFCDEA H平面CBD 以E为原点，EF所在的直线为x轴，ED所在的直线为y轴，过E与A H平行的直线为z轴建立空间 直角坐
22、标系由（1）可知A EF为所求二面角的平面角，设为，并设2A C，可得 (0, 1,0),(0,1,0),( 3,2,0),( 3cos , 0,3sin )CDBA， 故(3cos ,1,3sin ),(3, 1,0)A CBD ， 因为A CBD，所以3cos10A C BD ，得 1 cos 3 故二面角ACDB 的余弦值为 1 3 12 分 A D C E F H B G A D C E F H B G B D C E F H x y z A B D C E F H x y z A 解法二：如图，过点 A A 作A HEF，垂足H落在FE的延长线上因为CD 平面A EF，所以 CDA
23、H，又,EFCDEA H平面CBD，A HBD 连接CH并延长交BD的延长线于G，由,A CBDA HBD A CA HA， 可得BD 平面A CH，从而BDCH，从而90CGB，因此CEHCGD， 则 EHCE DGCG ，设2A C，易得60 ,1,1,3GDCDCCECG， 代入 EHCE DGCG ，得 3 3 EH ，又3EA ，故 1 cos 3 EH HEA EA 又,A ECD EFCD，所以A EF即为二面角ACDB 的平面角， 故二面角ACDB 的余弦值为 1 3 12 分 21 （本小题满分 12 分） 设函数 22 1 ( )(2 )ln2(1) 2 f xxxxaxa
24、 xa （1）讨论( )f x的单调性； （2）当2a 时，讨论( )f x的零点个数，并证明 21解析： （1）( )(22)ln(2)(21)2(1)2(1)(ln) (0)fxxxxaxaxxax 当0a 时，( )2(1)lnfxxx，当01x时，( )0fx，当1x 时，( )0fx，当1x 时， ( )0fx，( )f x在(0,)上单调递增； 当0a 时，令( )0fx，得 12 1, a xxe，此时1 a e， 易知( )f x在(0,) a e上单调递增，在(,1) a e上单调递减，在(1,)上单调递增； 当0a 时，1 a e，易知( )f x在(0,1)上单调递增，在
25、(1,) a e上单调递减，在(,) a e上单调递增 4 分 （2）( )f x有 3 个零点5 分 当2a 时，由（1）知( )f x在(0,1)上单调递增，在(1,) a e上单调递减，在(,) a e上单调递增 且 13 (1)2(1)0 22 faaa，将 a xe代入( )f x，得 222 11 ( )()(2 )()2(1)(2)2 22 a f xf exxaaxa xaxa ， 2,()0 a af e 7 分 下面证明当(0,1)x时存在 0 x，使得 0 ()0f x 首先， 由不等式ln1 (1)xxx， 得 111 ln1(01) x x xxx ， 11 ln,l
26、n xx xx xx 考虑到 2 2(2)0xxx x， 22 1 ( )(2 )ln2(1) 2 f xxxxaxa xa 222 1113 (2 )2(1)(1) 222 x xxaxa xaax x 再令 2 13 (1)0 22 ax ，可解出一个根为 3 1 21 x a ， 33 2,01,011 2121 a aa ，取 0 3 1 21 x a ，则 00 (0,1),()0xf x 由零点存在定理及函数( )f x在(0,1)上的单调性，可知( )f x在(0,1)上有唯一的零点9 分 由(1)0,()0 a ff e及( )f x的单调性可知( )f x在(1,) a e上
27、有唯一的零点10 分 下面证明当(,) a xe时，存在 1 x，使 1 ()0f x，取 1 2 1 a xe ，则 1 a xe， 22 111111 11 ()(2 )2(1) 22 a f xxxaaxa xaxaea ， 又不等式1 (0) x exx，知1(1)0 a eaa ，即 1 ()0f x，根据零点存在定理及函数的单 调性知( )f x在(,) a e上有一个零点 综上可知，当2a 时，( )f x共有 3 个零点12 分 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所作的第一题计分 22 【选修 44：坐标系与参数方程】 （本小题满分
28、 10 分） 在平面直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 cos sin xt yt （t为参数） ，在以坐标原点为极点，x轴 的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 2 C的极坐标方程为4cos2sin （1）求 1 C的极坐标方程和 2 C的直角坐标方程； （2）设点P的极坐标为 7 2 2, 4 ， 4 ， 1 C与 2 C相交于,A B两点，求PAB的面积 22解析： （1）曲线 1 C表示过原点，且倾斜角为的直线，从而其极坐标方程为, R 由4cos2sin得 2 4 cos2 sin，得 22 42xyxy， 即曲线 2 C的直角坐标方程为 22 (2)(1)5xy5 分 （2）
29、由（1）知曲线 1 C为, 4 R，将 4 代入曲线 2 C的极坐标方程4cos2sin，得 3 2，故3 2AB 7 分 因为点P的极坐标为 7 2 2, 4 ，所以点P到直线AB的距离为2 29 分 所以 1 3 22 26 2 PAB S 10 分 23 【选修 45：不等式选讲】 （本小题满分 10 分） 已知函数( )13f xxxa，若( )f x的最小值为 1 （1）求实数a的值； （2）若0,am n均为正实数，且满足 2 a mn，求 22 mn的最小值 23 （1） 22 ( )1312(1)2 3333 aa f xxxaxxxaxxxa 2 121 333 aa xa当 3 a x 时等号成立，所以( )f x的最小值为1 3 a ， 则依据题意可得11 3 a ，解得0a 或 66 分 （2）由题意可知3,0,0mnmn， 222222222 ()2()()2()mnmnmnmnmnmn7 分 即 222 19 () 22 mnmn，当且仅当 3 2 mn时等号成立， 22 mn的最小值为 9 2 10 分
