1、3.1.3 3.1.3 空间向量的数量空间向量的数量积运算积运算lAPa BOOABP特别地，若特别地，若P P为为A,BA,B中点中点,则则12 OPOAOB如图如图 不共线，不共线，OA OB 、()APtAB tROA OBOP ，则可以用、表示如下：()(1)OPOAAPOAtABOAt OBOAt OAtOB 结论：结论：设设O O为平面上任一点，则为平面上任一点，则A A、P P、B B三点共线三点共线(1)OPt OAtOB 或：令或：令x=1-t，y=t，则，则A A、P P、B B三点共线三点共线(1)OPxOAyOBxy 其中平面向量基本定理：平面向量基本定理：如果是如果是
2、 同一平面内两个不共线的向量，同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只，有且只有一对实数有一对实数 ，使，使12ee ，a12，1 122aee abBPCAab二二.共面向量共面向量:1.1.共面向量共面向量:能平移到同一平面内的向量能平移到同一平面内的向量,叫做共面向量叫做共面向量.OAaa注意：注意：空间任意两个空间任意两个向量是共面的向量是共面的，但空，但空间任意三个向量就不间任意三个向量就不一定共面的了。一定共面的了。AabBCPp abBCp PAO结论结论:空间一点空间一点P位于平面位于平面ABC内内 存在有序实数对存在有序实
3、数对x,y使使 或对空间任一点或对空间任一点O,有有 APxAByAC OPOAxAByAC可证明或判断四点共面可证明或判断四点共面,(1)OPmOAnOBtOC mnt 掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；法及运算律；掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题决立体几何中的一些简单问题一、证垂直一、证垂直二、求长度二、求长度三、求夹角三、求夹角四、求投影四、求投影教学过程教学过程一、几个概念一、几个概念ba
4、baAOBbOBaOAOba,.,记作：的夹角，与叫做向量则角作，在空间任取一点量如图，已知两个非零向abbaba,0被唯一确定了，并且量的夹角就在这个规定下，两个向范围：1 1）两个向量的夹角的定义两个向量的夹角的定义bababa互相垂直，并记作：与则称如果,2,O OA AB Baabb2 2）两个向量的数量积）两个向量的数量积注意：注意：两个向量的数量积是数量，而不是向量两个向量的数量积是数量，而不是向量.零向量与任意向量的数量积等于零。零向量与任意向量的数量积等于零。babababababababaaaOAaOA,cos,cos,即记作：的数量积，叫做向量，则已知空间两个向量记作：的长
5、度或模的长度叫做向量则有向线段设4)4)空间向量的数量积性质空间向量的数量积性质 aaababaeaaea2)30)2,cos)1注意：注意：性质性质2 2）是证明两向量垂直的依据；）是证明两向量垂直的依据；性质性质3 3）是求向量的长度（模）的依据；）是求向量的长度（模）的依据；对于非零向量对于非零向量 ，有：，有：,a b 3)3)空间向量的投影空间向量的投影 5)5)空间向量的数量积满足的运算律空间向量的数量积满足的运算律 注意：注意：（教材（教材P90P90思考）思考）分配律）交换律）()(3()2)()()1cabacbaabbababa数量积不满足消去率和结合律数量积不满足消去率和
6、结合律)()cbacba（ADFCBEACEFDCEFBDEFBAEFADABFEABCD)4()3()2(11.3）（计算：的中点。、分别是、，点等于的每条边和对角线长都如图：已知空间四边形二、二、课堂练习课堂练习三、典型例题三、典型例题-证垂直证垂直（教材（教材P91例例3）已知已知m,n是平面是平面 内的两条相交直内的两条相交直线，直线线，直线l与与 的交点为的交点为B，且，且lm，ln，求证：求证：l 分析：由定义可知，只需证分析：由定义可知，只需证l l与平面内任意直线与平面内任意直线g g垂直。垂直。n nm mgg gmnll ln nm mgg gmnll l证明：在证明：在
7、内作不与内作不与m m、n n重合的任一重合的任一条直线条直线g,g,在在l l、m m、n n、g g上取非零向上取非零向量量l l、m m、n n、g g，因，因m m与与n n相交，得向量相交，得向量m m、n n不平行，由共面向量定理不平行，由共面向量定理可知，存在唯一的有序实数对可知，存在唯一的有序实数对 （x x，y y），使），使 g=xm+yn,g=xm+yn,l lg=xlg=xlm+ylm+yln n l lm=0,lm=0,ln=0n=0 l lg=0g=0 lg lg lg lg 这就证明了直线这就证明了直线l l垂直于平面垂直于平面 内的内的任一条直线，所以任一条直线
8、，所以ll PAaOAaaPAOAPAPO求证：且内的射影，在是的垂线，斜线，分别是平面已知：,aA AO OP P.,0,0,0,PAaPAaaOAaPOaPAOAyPOxPAyxOAPOOAPOaOAaOAaPOaPOPOaa即使有序实数对定理可知，存在唯一的不平行，由共面向量相交，得又又而上取非零向量证明：在三、典型例题三、典型例题（教材（教材P91例例2）利用向量知识证明三垂线定理利用向量知识证明三垂线定理试着证明三垂线定理的逆定理试着证明三垂线定理的逆定理 教材教材P91三、典型例题三、典型例题教材教材P92思考：思考：用向量的数量积运算推证垂用向量的数量积运算推证垂直关系的过程，步
9、骤是什么？直关系的过程，步骤是什么？例例2：已知：在空间四边形：已知：在空间四边形OABC中，中，OABC，OBAC，求证：，求证：OCABACOBCBOA，证明：由已知0)(0)(0,0OAOCOBOBOCOAACOBBCOA所以A AB BC CO O OAOBOCOBOBOAOCOA所以00)(0OCBAOCOBOAOCOBOCOA所以ABOC 所以例例3 3 如图，已知线段在平面如图，已知线段在平面 内，线段内，线段，线段，线段 ，线段，线段，如，如果，求、之间的距离。果，求、之间的距离。AC BDAB DD 30DBD,ABaACBDbCDAB 解：由，可知解：由，可知.由由 知知
10、.AC ACAB 30DBD ,120CABD 22222222222|()|2222cos120CDCD CDCAABBDCAABBDCA ABCA BDAB BDbabbab 22CDabbab CABDD三、典型例题三、典型例题-求长度求长度例例4 4已知在平行六面体中，已知在平行六面体中，,求对角线的长。求对角线的长。ABCDA B C D 4AB 3,5,90,60ADAABADBAADAA AC DCBDABCA解：解：ACABADAA 22222222|()|2()4352(0107.5)85ACABADAAABADAAAB ADAB AAAD AA|85AC 3.3.已知线段已
11、知线段 、在平面、在平面 内，线段内，线段，如果，求、之间的距离，如果，求、之间的距离.ABBD BDAB AC ,ABaBDbACcCDcab CABD解：解：22222222|()|CDCAABBDCAABBDabc 222CDabc教材教材P92练习练习 1、2、3题题三、典型例题三、典型例题-求夹角求夹角点金P64知识点3例31.1.已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于 ，点分别是边的中点。，点分别是边的中点。求证：。求证：。ABCDaMN、ABCD、,MNABMNCDNMABDC证明：因为证明：因为MNMAADDN 所以所以222()111
12、0244AB MNAB MAADDNAB MAAB ADAB DNaaa MNAB同理，同理，MNCD 课后练习课后练习2.2.已知空间四边形，已知空间四边形，求证：。求证：。,OABCOBOCAOBAOC OABC OACB证明：证明：()|cos|cos|cos|cos0OA BCOA OCOBOA OCOA OBOAOCOAOBOAOBOAOB OABC3.3.如图，已知正方体，如图，已知正方体，和和 相交于相交于点，连结点，连结 ，求证：。，求证：。ABCDA B C D CD DC OAOAOCD ODCBADABC4 4、已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于、已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于,点分别是的中点，求下列向量的点分别是的中点，求下列向量的数量积：数量积：ABCDaEFG、ABADDC、(1)(2)(3)AB ACAD DBGF AC ；(4)(5)(6).EF BCFG BAGE GF ；GFEABCD5、设 ，则向量 与 的夹角为 (3)(75)abab(4)(72)ababab6、在平行四边形ABCD中，AB=AC=1，ACD=900,将它沿对角线AC折起，使AB与CD成600角，求B,D两点间距离。课堂小结课堂小结1两个向量的数量积的概念、性质和计算；两个向量的数量积的概念、性质和计算；2、运用向量的数量积解决简单的立体几何问题。
