1、1 十年高考真题分类汇编十年高考真题分类汇编（2010201020192019）数学数学 专题专题 0 03 3 函数函数 1.(2019天津理T8)已知aR,设函数f(x)=x 2-2ax + 2a,x 1, x-alnx,x 1. 若关于x的不等式f(x)0在R上恒成立, 则 a 的取值范围为( ) A.0,1 B.0,2 C.0,e D.1,e 【答案】C 【解析】(1)当 a1 时,二次函数的对称轴为 x=a.需 a 2-2a2+2a0.a2-2a0.0a2. 而 f(x)=x-aln x,f(x)=1-a x = x-a x 0 此时要使 f(x)=x-aln x 在(1,+)上单调
2、递增,需 1-aln 10.显然成立. 可知 0a1. (2)当 a1 时,x=a1,1-2a+2a0,显然成立. 此时 f(x)=x-a x ,当 x(1,a),f(x)0,单调递增. 需 f(a)=a-aln a0,ln a1,ae,可知 1 1. 若关于 x 的方程 f(x)=-1 4x+a(aR)恰有两个互异的实 数解,则 a 的取值范围为( ) A. 5 4, 9 4 B. 5 4, 9 4 C. 5 4, 9 4 1 D. 5 4, 9 4 1 【答案】D 【解析】当直线过点 A(1,1)时,有 1=-1 4+a,得 a= 5 4. 当直线过点 B(1,2)时,有 2=-1 4+a
3、,a= 9 4. 故当5 4a 9 4时,有两个相异点. 当 x1 时,f(x0)=- 1 x0 2=- 1 4,x0=2. 此时切点为 2,1 2 ,此时 a=1.故选 D. 2 3.(2019浙江T9)设 a,bR,函数 f(x)= x,x -1,b-1,b0 【答案】C 【解析】当 x-1 时,x=0 处为偶重零点反弹,x= 3 2(a+1)为奇重零点穿过,当 bf(2- 2 3) B.f(log3 1 4)f(2 -2 3)f(2- 3 2) C.f(2- 3 2)f(2- 2 3)f(log3 1 4)D.f(2 -2 3)f(2- 3 2)f(log3 1 4) 【答案】C 【解析
4、】f(x)是 R 上的偶函数, f(log3 1 4)=f(-log34)=f(log34). 又 y=2 x在 R 上单调递增, log341=2 02-2 3 2- 3 2. 又 f(x)在区间(0,+)内单调递减, f(log34)f(log3 1 4).故选 C. 7.(2019全国 1理 T3 文 T3)已知 a=log20.2,b=2 0.2,c=0.20.3,则( ) A.a（1 2） 1,bca.故选 A. 9.(2019天津文 T5)已知 a=log27,b=log38,c=0.3 0.2,则 a,b,c 的大小关系为( ) A.c0,排除 B,C.故选 D. 11.(201
5、9全国 3理 T7)函数 y= 2x3 2x:2-x在-6,6的图像大致为( ) 【答案】B 【解析】设 y=f(x)= 2x3 2x:2-x, 则 f(-x)=2(-x) 3 2-x:2x=- 2x3 2x:2-x=-f(x), 故 f(x)是奇函数,图像关于原点对称,排除选项 C. f(4)= 243 24:2-40,排除选项 D. f(6)= 263 26:2-67,排除选项 A. 故选 B. 12.(2019浙江T6)在同一直角坐标系中,函数 y= 1 ax,y=loga x+1 2 (a0,且 a1)的图象可能是 ( ) 【答案】D 【解析】 当 0c B.bac C.cba D.c
6、ab 【答案】D 【解析】 因为c=log1 2 1 3=log23,a=log2e,且y=log2x在(0,+)上单调递增,所以log23log2elog22=1,即ca1. 因为 y=ln x 在(0,+)上单调递增,且 b=ln 2, 所以 ln 2b.故选 D. 20.(2018天津文 T5)已知 a=log37 2,b=( 1 4) 1 3,c=log1 3 1 5,则 a,b,c 的大小关系为( ) A.abc B.bac C.cba D.cab 【答案】D 【解析】c=log1 3 1 5=log35log3 7 2log33=1, ca1.又 b=（1 4） 1 3ab. 21
7、.(2018全国 2T3)函数 f(x)=e x-e-x x2 的图像大致为( ) 【答案】B 【解析】f(-x)=e -x-ex x2 =-f(x),f(x)为奇函数,排除 A,令 x=10,则 f(10)= e10- 1 e10 100 1,排除 C、D,故选 B. 22.(2018全国 3理 T7 文 T9)函数 y=-x 4+x2+2 的图像大致为( ) 【答案】D 【解析】当 x=0 时,y=20,排除 A,B;当 x=1 2时,y=-( 1 2) 4 + (1 2) 2+22.排除 C.故选 D. 23.(2018浙江T5)函数 y=2 |x|sin 2x 的图象可能是( ) 9
8、【答案】D 【解析】因为在函数 y=2 |x|sin 2x 中,y 1=2 |x|为偶函数,y 2=sin 2x 为奇函数, 所以 y=2 |x|sin 2x 为奇函数. 所以排除选项 A,B.当 x=0,x= 2,x= 时,sin 2x=0,故函数 y=2 |x|sin 2x 在0,上有三个零点,排除选项 C, 故选 D. 24.(2018全国 1理 T9)已知函数 f(x)=e x,x 0, lnx,x 0,g(x)=f(x)+x+a,若 g(x)存在 2 个零点,则 a 的取值范围 是( ) A.-1,0) B.0,+) C.-1,+) D.1,+) 【答案】C 【解析】要使得方程 g(
9、x)=f(x)+x+a 有两个零点,等价于方程 f(x)=-x-a 有两个实根,即函数 y=f(x)的图象 与直线 y=-x-a 的图象有两个交点,从图象可知,必须使得直线 y=-x-a 位于直线 y=-x+1 的下方,所以-a1, 即 a-1.故选 C. 25.(2017山东理 T1)设函数 y=4-x2的定义域为 A,函数 y=ln(1-x)的定义域为 B,则 AB=( ) A.(1,2) B.(1,2 C.(-2,1) D.-2,1) 【答案】D 【解析】由 4-x 20,得 A=-2,2,由 1-x0,得 B=(-,1),故 AB=-2,1).故选 D. 26.(2017山东文 T9)
10、设 f(x)=x,0 0,f(x)0. 当 x0 时,g(x)=f(x)+xf(x)0 恒成立, g(x)在(0,+)上是增函数. 23y;再由 2x 5z = 2ln5 5ln2 = ln25 ln32b0,且 ab=1,则下列不等式成立的是( ) A.a+1 b b 2a2,故排除 A,C;当 x+时,y+,故排除 B,满足条件的只有 D, 故选 D. 37.(2017山东理T10)已知当x0,1时,函数y=(mx-1) 2的图象与y=x+m的图象有且只有一个交点,则正 实数 m 的取值范围是( ) 13 A.(0,123,+) B.(0,13,+) C.(0,223,+) D.(0,23
11、,+) 【答案】B 【解析】在同一直角坐标系中,分别作出函数 f(x)=(mx-1) 2=m2（x-1 m） 2与 g(x)=x+m 的大致图象.分两种情 形: (1)当 01 时,0 1 mb0,00,lg alg b,但不能确定 lg a,lg b 的正负,故 logac 与 logbc 大小不能确定,A 不正确; 对于 B,在 lg alg b 两边同乘以一个负数 1 lgc,不等号改变,得 logca0,a cbc,故 C 不正确; 对于 D,00,cab1,023 = 12,所以 B 错; 16 因为 log31 2=-log32-1=log2 1 2,所以 D 错; 因为 3log
12、21 2=-3 4 2 3=a, 所以 b1 或 x 0, 即-4 x 4, x 2 且 x 3,即 21 时,f(a)=-log2(a+1)=-3,即 a+1=2 3,解得 a=7. f(6-a)=f(-1)=2 -1-1-2=1 4-2=- 7 4. 19 56.(2015陕西文 T4)设 f(x)=1-x,x 0, 2x,x f(2x-1)成立的 x 的取值范围是( ) A.(1 3,1) B.(-, 1 3)(1,+) C.(- 1 3, 1 3) D.(-,- 1 3) ( 1 3, + ) 【答案】A 【解析】函数 f(x)的定义域为 R,又由题意可知 f(-x)=f(x),故 f
13、(x)为偶函数. 当 x0 时,f(x)=ln(1+x)- 1 1:x2,因为 y1=ln(1+x)单调递增,y2=- 1 1:x2亦为单调递增,所以 f(x)在(0,+)为增函 数. 由 f(x)f(2x-1)f(|x|)f(|2x-1|),得|x|2x-1|,解得 x(1 3,1). 59.(2015北京文 T3)下列函数中为偶函数的是( ) A.y=x 2sin x B.y=x2cos x 20 C.y=|ln x| D.y=2 -x 【答案】B 【解析】A 选项中函数为奇函数,B 选项中函数为偶函数,C 选项中函数定义域为(0,+)不具有奇偶性,D 选 项中函数既不是奇函数也不是偶函数
14、.故选 B. 60.(2015 天 津 文T7) 已 知 定 义 在R上 的 函 数f(x)=2 |x-m|-1(m 为 实 数 ) 为 偶 函 数 . 记 a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则 a,b,c 的大小关系为( ) A.a0 B.a0,b0 D.a0,b0,c0,d0,f(x)=3ax 2+2bx+c,x 1,x2为方程3ax 2+2bx+c=0的两根,因此x 1+x2=-2b 3a,x1x2= c 3a. 由图象可知 x(-,x1)时,f(x)0,所以 a0.而由图象知 x1,x2均为正数,所以-2b 3a0, c 3a0,由此可得 b0,故选 A.
15、 64.(2015浙江文 T5)函数 f(x)=(x- 1 x)cos x(-x 且 x0)的图象可能为( ) 【答案】D 【解析】 因为 f(-x)= -x+1 x cos(-x)=- x-1 x cos x=-f(x),所以 f(x)为奇函数.排除 A,B;又 f()=(- 1 )cos =-+1 2,函数 g(x)=3-f(2-x),则函数 y=f(x)-g(x)的零点个数 为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】A 【解析】因为 f(x)= 2 + x,x 2, 22 所以 f(2-x)= 2 + (2-x),2-x 2 f(2-x)= x2,x 2, f(x)+f(2-x)
16、= x2+ x + 2,x 2, 所以函数 y=f(x)-g(x)=f(x)-3+f(2-x)= x2+ x-1,x 2. 其图象如图所示. 显然函数图象与 x 轴有 2 个交点,故函数有 2 个零点. 66.(2015北京理 T7)如图,函数 f(x)的图象为折线 ACB,则不等式 f(x)log2(x+1)的解集是 ( ) A.x|-10, 即 log2x1 或 log2x2 或 00,f(4)= 6 4-log24= 3 2-2=- 1 20 时,y=ax 只有 a0 时,才能满足|f(x)|ax,可排除 B,C. 当 x0 时,y=|f(x)|=|-x 2+2x|=x2-2x. 故由|
17、f(x)|ax 得 x 2-2xax. 当 x=0 时,不等式为 00 成立. 当 x0). 令f(x)=x-(1 2) x,该函数在(0,+)上为增函数,可知f(x)的值域为(-1,+),故a-1时,存在正数x使原不等 式成立. 74.(2013全国 2理 T8)设 a=log36,b=log510,c=log714,则( ) A.cba B.bca C.acb D.abc 【答案】D 【解析】根据公式变形,a=lg6 lg3=1+ lg2 lg3,b= lg10 lg5 =1+lg2 lg5,c= lg14 lg7 =1+lg2 lg7,因为 lg 7lg 5lg 3,所以 lg2 lg7
18、 lg2 lg5 lg2 lg3,即 25 cb B.bca C.cba D.cab 【答案】D 【解析】a=log32log33 = 1 2,a（ 1 2,1）. b=log52log22=1,即 c1,cab. 76.(2013全国 1文 T9)函数 f(x)=(1-cos x)sin x 在-,的图象大致为( ) 【答案】C 【解析】由 f(x)=(1-cos x)sin x 知其为奇函数.可排除 B.当 x(0, 2+时,f(x)0,排除 A. 当 x(0,)时,f(x)=sin 2x+cos x(1-cos x)=-2cos2x+cos x+1. 令 f(x)=0,得 x=2 3.
19、故极值点为 x=2 3,可排除 D,故选 C. 77.(2013北京理 T5)函数 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度,所得图象与曲线 y=e x 关于 y 轴对称,则 f(x)=( ) A.e x+1 B.e x-1 C.e -x+1 D.e -x-1 【答案】D 【解析】 依题意,f(x)向右平移 1 个单位之后得到的函数应为 y=e -x,于是 f(x)相当于 y=e-x向左平移 1 个单位 的结果,f(x)=e -x-1,故选 D. 78.(2012全国文 T11)当 00,可得 01. 结合图象知 y=f(x)与 y=|lg x|的图象交点共有 10 个. 86.(2010全国理
20、 T8)设偶函数 f(x)满足 f(x)=x 3-8(x0),则x|f(x-2)0=( ) A.x|x4 B.x|x4 C.x|x6 D.x|x2 【答案】B 【解析】f(x-2)0 等价于 f(|x-2|)0=f(2), 又f(x)=x 3-8(x0)为增函数, |x-2|2.解得 x4 或 x0等于( ) A.x|x4 B.x|x4 C.x|x6 D.x|x2 29 【答案】B 【解析】f(x)=2 x-4,x 0, 1 2x -4,x 4 或 x0,函数 f(x)= 2x 2x:ax的图像经过点 P(p, 6 5),Q(q,- 1 5).若 2 p+q=36pq,则 a= . 【答案】6
21、 【解析】f(x)= 2x 2x:ax的图像经过点 P,Q, 32 2p 2p:ap = 6 5, 2q 2q:aq=- 1 5,两式相加,得 2p 2p:ap + 2q 2q:aq=1,即 2p(2q:aq):2q(2p:ap) (2p:ap)(2q:aq) =1, 化简,得 22 p+q+a(p2q+q2p)=2p+q+a(p2q+q2p)+a2pq,即 2 p+q=a2pq=36pq,a2=36.a0,a=6. 100.(2018上海T4)设常数 aR,函数 f(x)=log2(x+a).若 f(x)的反函数的图像经过点(3,1),则 a= . 【答案】7 【解析】因为互为反函数的函数的
22、图像关于直线 y=x 对称, 所以函数 f(x)=log2(x+a)的图像经过点(1,3), 所以 3=log2(1+a),即 1+a=2 3,解得 a=7. 101.(2018上海T7)已知,-2,-1,- 1 2, 1 2,1,2,3-,若幂函数 f(x)=x 为奇函数,且在(0,+)上递减,则 = . 【答案】-1 【解析】 因为幂函数f(x)=x 为奇函数,所以只能为-1,1,3.又函数f(x)=x在(0,+)上递减,所以=-1. 102.(2018天津理 T14)已知 a0,函数 f(x)=x 2 + 2ax + a,x 0, -x2+ 2ax-2a,x 0.若关于 x 的方程 f(
23、x)=ax 恰有 2 个互异 的实数解,则 a 的取值范围是 . 【答案】(4,8) 【解析】 作出函数 f(x)的示意图,如图.l1是过原点且与抛物线 y=-x 2+2ax-2a 相切的直线,l 2是过原点且与抛 物线 y=x 2+2ax+a 相切的直线. 由图可知,当直线 y=ax 在 l1,l2之间(不含直线 l1,l2)变动时,符合题意. 由 y = ax, y = -x2+ 2ax-2a,消去 y,整理得 x 2-ax+2a=0. 由 =0,得 a=8(a=0 舍去). 由y = ax, y = x2+ 2ax + a,消去 y,整理得 x 2+ax+a=0. 由 =0,得 a=4(
24、a=0 舍去). 综上,得 40,解得 x45, 当 x(45,100)时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间. (2)当 00 时,f(x)|x|可化为-x 2+2x-2ax,即(x-1 2) 2+2a-1 40,所以 a 1 8; 当-3x0时,f(x)|x|可化为x 2+2x+a-2-x,即x2+3x+a-20.对于函数y=x2+3x+a-2,其图象的对称轴方 程为 x=-3 2.因为当-3x0 时,y0,所以当 x=0 时,y0,即 a-20,所以 a2. 综上所述,a 的取值范围为*1 8,2+. 106.(2017全国 2文 T14)已知函数 f(x)是定义在 R 上
25、的奇函数,当 x(-,0)时,f(x)=2x 3+x2,则 f(2)= . 【答案】12 【解析】因为 f(x)是奇函数,所以 f(-x)=-f(x). 所以 f(2)=-f(-2)=-2(-8)+4=12. 107.(2017浙江T17)已知 aR,函数 f(x)=|x + 4 x -a|+a 在区间1,4上的最大值是 5,则 a 的取值范围是 【答案】(-, 9 2+ 【解析】x1,4,x+4 x4,5.令 t=x+ 4 x,则 f(x)=|t-a|+a,结合数轴易知,t= 9 2为4,5的对称轴, 当 a9 2时,a 靠近左端点 4,此时|t-a|5-a|=5-a, f(x)max=5-
26、a+a=5,符合题意; 当 a9 2时,a 靠近右端点 5,此时|t-a|4-a|=a-4, f(x)max=a-4+a=2a-45,不符合题意. 综上可得,a 的取值范围是(-, 9 2 +. 108.(2017全国 3理 T15 文 T16)设函数 f(x)=,x + 1,x 0, 2x,x 0, 则满足 f(x)+f(x- 1 2)1 的 x 的取值范围是 【答案】(- 1 4, + ) 35 【解析】由题意得当 x1 2时,2 x+2x-1 21 恒成立,即 x1 2;当 01 恒成立,即 01,解得 x- 1 4,即- 1 4f(-2)可化为 f(2 |a-1|)f(2),则 2|a
27、-1|0.若存在实数 b,使得关于 x 的方程 f(x)=b 有三个不同的根,则 m 的取值范围是 . 【答案】(3,+) 【解析】当 xm 时,f(x)=x 2-2mx+4m=(x-m)2+4m-m2.其所在抛物线的顶点为 P(m,4m-m2). 函数 y=f(x)的图象与直线 x=m 的交点为 Q(m,m). (分类讨论) (1)点P在点Q的上方或与Q点重合时,即4m-m 2m,也就是m(m-3)0时,解得0m3,又因为m0,所以00,所以 m3. 此时函数的图象如图所示(实线部分),显然此时直线 y=b 与函数图象最多可有三个交点,符合题意. 所以 m3. 116.(2016天津文T14
28、)已知函数f(x)=x 2 + (4a-3)x + 3a,x 0,且a1)在R上单调递减,且关于x 的方程|f(x)|=2-x 3恰有两个不相等的实数解,则 a 的取值范围是 . 37 【答案】*1 3, 2 3) 【解析】由函数 f(x)在 R 上单调递减可得 0 1 时,f(x)=x+6 x-626-6,当且仅当 x= 6 x,即 x=6时,f(x)取最小值 26-6; 因为 26-60,a1)的定义域和值域都是-1,0,则 a+b=. 【答案】 3 2 【解析】f(x)=a x+b 是单调函数, 当 a1 时,f(x)是增函数,a -1 + b = -1, a0+ b = 0, 无解.
29、38 当 03,所以 log25 最大. 122.(2015安徽文 T14)在平面直角坐标系 xOy 中,若直线 y=2a 与函数 y=|x-a|-1 的图象只有一个交点,则 a 的值为_ 【答案】1 2 【解析】在同一坐标系画出 y=2a 和 y=|x-a|-1 的图象如图.由图可知,要使两函数的图象只有一个交点,则 2a=-1,a=1 2. 123.(2015湖南理 T15)已知函数 f(x)=x 3,x a, x2,x .若存在实数 b,使函数 g(x)=f(x)-b 有两个零点,则 a 的 取值范围是 . 【答案】(-,0)(1,+) 【解析】要使函数 g(x)=f(x)-b 有两个零
30、点,应使 f(x)图象与直线 y=b 有两个不同的交点. 当 0a1 时,由 f(x)的图象知 f(x)在定义域 R 上单调递增,它与直线 y=b 不可能有两个交点. 当 aa2,所以当 a20,所以 00 可化为 f(|x-1|)f(2). 又f(x)在0,+)上单调递减, |x-1|2,解得-2x-12,即-1x3. 130.(2013全国 1理 T16)若函数 f(x)=(1-x 2)(x2+ax+b)的图象关于直线 x=-2 对称,则 f(x)的最大值 为 . 【答案】16 41 【解析】点(1,0),(-1,0)在 f(x)的图象上,且图象关于直线 x=-2 对称, 点(-5,0),
31、(-3,0)必在 f(x)的图象上, f(-5)=(1-25)(25-5a+b)=0, f(-3)=(1-9)(9-3a+b)=0. a=8,b=15. f(x)=(1-x 2)(x2+8x+15) =-(x+1)(x-1)(x+3)(x+5) =-(x 2+4x+3)(x2+4x-5). 令 t=x 2+4x=(x+2)2-4-4, 则 f(x)=-(t+3)(t-5)=-(t 2-2t-15) =-(t-1) 2-16=16-(t-1)2, 当 t=1 时,f(x)max=16. 131.(2012全国文 T16)设函数 f(x)=(x:1) 2:sinx x2:1 的最大值为 M,最小值
32、为 m,则 M+m= . 【答案】2 【解析】f(x)=(x:1) 2:sinx x2:1 =1+2x:sinx x2:1 , 设 g(x)=2x:sinx x2:1 ,则 g(-x)=-g(x), g(x)是奇函数. 由奇函数图象的对称性知 g(x)max+g(x)min=0, M+m=g(x)+1max+g(x)+1min=2+g(x)max+g(x)min=2. 132.(2011湖北文 T15)里氏震级 M 的计算公式为:M=lg A-lg A0,其中 A 是测震仪记录的地震曲线的最大振 幅,A0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是 1 000,此时标准地震的振幅为 0.001,则此次地震的震级为 级;9 级地震的最大振幅是 5 级地震最大振幅的 倍. 【答案】6 10 000 【解析】第一空,lg 1 000-lg 0.001=3-(-3)=6,第二空,设 9 级地震时最大振幅为 A1,5 级地震时最大振幅为 A2,则 9=lg A1-(-3),5=lg A2-(-3),所以 A1=10 6,A 2=10 2, A1 A2=10 000.
