1、1 十年（20102019）数学高考真题分类汇编 概率与统计 1.(2019全国 1理 T6)我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的 6 个爻组成,爻分为阳爻 “”和阴爻“”,右图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦, 则该重卦恰有 3 个阳爻的概率是( ) A. 5 16 B.11 32 C.21 32 D.11 16 2.(2019全国 2文 T4)生物实验室有 5 只兔子,其中只有 3 只测量过某项指标.若从这 5 只兔子中随机取 出 3 只,则恰有 2 只测量过该指标的概率为( ) A.2 3 B.3 5 C.2 5 D.1 5 3.(2019全国 3文
2、T3)两位男同学和两位女同学随机排成一列,则两位女同学相邻的概率是( ) 4.(2019全国 1文 T6)某学校为了解 1 000 名新生的身体素质,将这些学生编号为 1,2,1 000,从这些 新生中用系统抽样方法等距抽取 100 名学生进行体质测验.若 46 号学生被抽到,则下面 4 名学生中被抽到的 是( ) A.8 号学生 B.200 号学生 C.616 号学生 D.815 号学生 5.(2019全国 2理 T5)演讲比赛共有 9 位评委分别给出某选手的原始评分,评定该选手的成绩时,从 9 个 原始评分中去掉 1 个最高分、1 个最低分,得到 7 个有效评分.7 个有效评分与 9 个原
3、始评分相比,不变的数 字特征是( ) A.中位数 B.平均数 C.方差 D.极差 6.(2018全国 2理 T8)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想 是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”,如 30=7+23.在不超过 30 的素数中,随机选取两个不同的 数,其和等于 30 的概率是( ) 2 A. 1 12 B. 1 14 C. 1 15 D. 1 18 7.(2018全国 2文 T5)从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服务,则选中的 2 人都是女同学的 概率为( ) A.0.6 B.0.5 C.0.4 D.0.3 8.(2
4、018全国 1理 T10)下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个半圆构成,三个 半圆的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边 BC,直角边 AB,AC.ABC 的三边所围成的区域记为,黑色部分记 为,其余部分记为.在整个图形中随机取一点,此点取自,的 概率分别记为 p1,p2,p3,则( ) A.p1=p2 B.p1=p3 C.p2=p3 D.p1=p2+p3 9.(2018江苏T3)已知 5 位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示,那么这 5 位裁判打出的分数的 平均数为 . 10.(2018全国 1理 T3 文 T3)某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一
5、倍,实现翻番.为更 好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如 下饼图: 则下面结论中不正确的是( ) A.新农村建设后,种植收入减少 B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上 C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍 3 D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 11.(2018浙江T7)设 00.5,p=0.6(其中 p=0.4 舍去). 13.(2018全国 3文 T5)若某群体中的成员只用现金支付的概率为 0.45,既用现金支付也用非现金支付的 概率为 0.15,则不用现金支付的概率为( ) A.0.3 B.0.
6、4 C.0.6 D.0.7 【答案】B 【解析】设不用现金支付的概率为 P,则 P=1-0.45-0.15=0.4. 50 14.(2017全国 3理 T3 文 T3)某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了 2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图. 根据该折线图,下列结论错误的是( ) A.月接待游客量逐月增加 B.年接待游客量逐年增加 C.各年的月接待游客量高峰期大致在 7,8 月 D.各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月,波动性更小,变化比较平稳 【答案】A 【解析】由题图可知
7、 2014 年 8 月到 9 月的月接待游客量在减少,故 A 错误. 15.(2017山东文 T8)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各 5 名工人某日的产量数据(单位:件).若这两 组数据的中位数相等,且平均值也相等,则 x 和 y 的值分别为( ) A.3,5 B.5,5 C.3,7 D.5,7 【答案】A 【解析】甲组数据为 56,62,65,70+x,74;乙组数据为 59,61,67,60+y,78. 若两组数据的中位数相等,则 65=60+y,所以 y=5. 又两组数据的平均值相等,所以 56+62+65+70+x+74=59+61+67+65+78,解 得 x=3. 16.(201
8、7全国 1理 T2 文 T4)如图,正方形 ABCD 内的图形来自中国古 代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心 成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是( ) A.1 4 B. 8 C.1 2 D. 4 51 【答案】B 【解析】不妨设正方形边长为 2,则圆半径为 1,正方形的面积为 22=4,圆的面积为12=.由图形的对 称性,可知图中黑色部分的面积为圆面积的一半,即1 2r 2=1 2,所以此点取自黑色部分的概率为 2 4 = 8. 17.(2017全国 2文 T11)从分别写有 1,2,3,4,5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张,放回后再随
9、机抽取 1 张,则 抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( ) A. 1 10 B.1 5 C. 3 10 D.2 5 【答案】D 【解析】从 5 张卡片中随机抽取 1 张,放回后再随机抽取 1 张的情况如图所示. 总共有 25 种情况,其中第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的情况有 10 种,故所求的概率为10 25 = 2 5. 18.(2017天津文 T3)有 5 支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫,从这 5 支彩笔中任 取 2 支不同颜色的彩笔,则取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为( ) A.4 5 B.3 5 C.2 5 D.1 5 【答案】
10、C 【解析】从 5 支彩笔中任取 2 支不同颜色的彩笔,共有(红黄),(红蓝),(红绿),(红紫),(黄蓝),(黄绿),(黄 紫),(蓝绿),(蓝紫),(绿紫)10 种不同情况,记 “取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔” 为事件 A,则事件 A 包含(红 黄),(红蓝),(红绿),(红紫)4 个基本事件,则 P(A)= 4 10 = 2 5.故选 C. 19.(2017 山东 理 T5)为了研究某班学生的脚长 x(单位:厘米)和身高 y(单位:厘米)的关系,从该班随机抽取 10 名学生,根据测量数据的散点图可以看出 y 与 x 之间有线性相关关系,设其回归 直线方程为 = b x+ .已知 =1
11、 10 xi=225, =1 10 yi=1 600, =4,该班某学生 的脚长为 24,据此估计其身高为( ) A.160 B.163 C.166 D.170 【答案】C 【解析】由已知得 = 1 10 =1 10 xi=22.5,y = 1 10 i=1 10 yi=160,又 =4,所以 = =160-422.5=70,故当 x=24 时, =424+70=166.故选 C. 20.(2016全国 1文 T3)为美化环境,从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中,余下 52 的 2 种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( ) A.1 3 B.1
12、 2 C.2 3 D.5 6 【答案】C 【解析】 总的基本事件是红黄,白紫;红白,黄紫;红紫,黄白,共 3 种.满足条件的基本事件是红黄,白紫;红白, 黄紫,共 2 种.故所求事件的概率为 P=2 3. 21.(2016全国 3文 T5)小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是 M,I,N 中的一个字 母,第二位是 1,2,3,4,5 中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( ) A. 8 15 B.1 8 C. 1 15 D. 1 30 【答案】C 【解析】密码的前两位共有 15 种可能,其中只有 1 种是正确的密码,因此所求概率为 1 15.故选 C. 22
13、.(2016北京文 T6)从甲、乙等 5 名学生中随机选出 2 人,则甲被选中的概率为( ) A.1 5 B.2 5 C. 8 25 D. 9 25 【答案】B 【解析】 从甲、 乙等 5 名学生中选 2 人有 10 种方法,其中 2 人中包含甲的有 4 种方法,故所求的概率为 4 10 = 2 5. 23.(2016全国 1理 T4)某公司的班车在 7:30,8:00,8:30 发车,小明在 7:50 至 8:30 之间到达发车站乘坐 班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过 10 分钟的概率是( ) A.1 3 B.1 2 C.2 3 D.3 4 【答案】B 【解析】这是几何概
14、型问题,总的基本事件空间如图所示,共 40 分钟,等车时间不超过 10 分钟的时间段为 7:50 至 8:00 和 8:20 至 8:30,共 20 分钟,故他等车时间不超过 10 分钟的概率为P=20 40 = 1 2,故选 B. 24.(2016全国 2理 T10)从区间0,1随机抽取 2n 个数 x1,x2,xn,y1,y2,yn,构成 n 个数对 (x1,y1),(x2,y2),(xn,yn),其中两数的平方和小于 1 的数对共有 m 个,则用随机模拟的方法得到的圆周 率的近似值为( ) A.4 B.2 53 C.4 D.2 【答案】C 【解析】利用几何概型求解,由题意可知, 1 4圆
15、 正方形 = 1 41 2 12 = ,所以 = 4 . 25.(2016山东理 T3 文 T3)某高校调查了 200 名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的频 率 分 布 直 方 图 , 其 中 自 习 时 间 的 范 围 是 17.5,30, 样 本 数 据 分 组 为 17.5,20),20,22.5),22.5,25),25,27.5),27.5,30.根据直方图,这 200 名学生中每周的自习时间不少 于 22.5 小时的人数是( ) A.56 B.60 C.120 D.140 【答案】D 【解析】自习时间不少于 22.5 小时为后三组,其频率和为(0.16+0.08+
16、0.04)2.5=0.7,故人数为 200 0.7=140,选 D. 26.(2016全国 2文 T8)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为 40 秒.若一名 行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为( ) A. 7 10 B.5 8 C.3 8 D. 3 10 【答案】B 【解析】因为红灯持续时间为 40 秒, 所以这名行人至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为40-15 40 = 5 8,故选 B. 27.(2016全国 3理 T4)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平 均最低气温的雷达图.图中A点表示十月
17、的平均最高气温约为15 ,B点表示四月的平均最低气温约为5. 下面叙述不正确的是( ) A.各月的平均最低气温都在 0 以上 54 B.七月的平均温差比一月的平均温差大 C.三月和十一月的平均最高气温基本相同 D.平均最高气温高于 20 的月份有 5 个 【答案】D 【解析】由题图可知,0 在虚线圈内,所以各月的平均最低气温都在 0 以上,A 正确;易知 B,C 正确;平均 最高气温高于 20 的月份有 3 个,分别为六月、七月、八月,D 错误.故选 D. 28.(2015全国 2理 T3 文 T3)根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱形 图,以下结
18、论中不正确的是( ) A.逐年比较,2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B.2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效 C.2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D.2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 【答案】D 【解析】由柱形图知,2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势,故其排放量与年份负相关,故 D 错误. 29.(2015陕西理 T2 文 T2)某中学初中部共有 110 名教师,高中部共有 150 名教师,其性别比例如图所示, 则该校女教师的人数为( ) 55 A.93 B.123 C.137 D.167 【答案】C 【解析】由题图知,初中部女教师有
19、 11070%=77 人;高中部女教师有 150(1-60%)=60 人.故该校女教师共 有 77+60=137(人).故选 C. 30.(2015北京理 T8)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙 三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是( ) A.消耗 1 升汽油,乙车最多可行驶 5 千米 B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多 C.甲车以 80 千米/时的速度行驶 1 小时,消耗 10 升汽油 D.某城市机动车最高限速 80 千米/时.相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油 【答案】D 【解析】对于选项 A,从图中可以
20、看出乙车的最高燃油效率大于 5,故 A 项错误; 对于选项 B,同样速度甲车消耗 1 升汽油行驶的路程比乙车、丙车的多,所以行驶相同路程,甲车油耗最少, 故 B 项错误; 对于选项 C,甲车以 80 千米/小时的速度行驶,1 升汽油行驶 10 千米,所以行驶 1 小时,即行驶 80 千米,消耗 8 升汽油,故 C 项错误; 对于选项D,速度在80千米/小时以下时,相同条件下每消耗1升汽油,丙车行驶路程比乙车多,所以该市用丙 56 车比用乙车更省油,故 D 项正确. 31.(2015湖北理 T2)我国古代数学名著数书九章有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米 1 534 石,验得米内夹谷,抽
21、样取米一把,数得 254 粒内夹谷 28 粒,则这批米内夹谷约为( ) A.134 石 B.169 石 C.338 石 D.1 365 石 【答案】B 【解析】 由条件知 254 粒内夹谷 28 粒,可估计米内夹谷的概率为 28 254 = 14 127,所以 1 534 石米中夹谷约为 14 1271 534169(石). 32.(2015陕西理 T11)设复数 z=(x-1)+yi(x,yR),若|z|1,则 yx 的概率为( ) A.3 4 + 1 2 B.1 2 + 1 C.1 2 1 D.1 4 1 2 【答案】D 【解析】由|z|1,得(x-1)2+y21. 不等式表示以 C(1,
22、0)为圆心,半径 r=1 的圆及其内部,yx 表示直线 y=x 左上方部分(如图所示). 则阴影部分面积S= 1 4 1 2-S OAC=1 4- 1 211= 4 1 2. 故所求事件的概率P= 阴 圆 = 4- 1 2 12 = 1 4 1 2. 33.(2015山东文 T7)在区间0,2上随机地取一个数 x,则事件“-1log1 2 ( + 1 2)1”发生的概率为 ( ) A.3 4 B.2 3 C.1 3 D.1 4 【答案】A 【解析】 由-1log1 2 ( + 1 2)1,得 log1 22log 1 2 ( + 1 2)log1 2 1 2,所以 1 2x+ 1 22,所以
23、0x 3 2.由几何概型可 知,事件发生的概率为 3 2-0 2-0 = 3 4. 34.(2015福建文 T8)如图,矩形 ABCD 中,点 A 在 x 轴上,点 B 的坐标为(1,0),且点 C 与点 D 在函数 f(x)= + 1, 0, - 1 2 + 1, D4D2=D5D3D6. 101.(2018天津理 T16)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 24,16,16.现采用分层抽样的 方法从中抽取 7 人,进行睡眠时间的调查. (1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人? (2)若抽出的 7 人中有 4 人睡眠不足,3 人睡眠充足,现从这 7 人中随机抽取 3 人
24、做进一步的身体检查. 用 X 表示抽取的 3 人中睡眠不足的员工人数,求随机变量 X 的分布列与数学期望; 设 A 为事件“抽取的 3 人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件 A 发生的概率. 【解析】(1)由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为 322,由于采用分层抽样的方法从中抽取 7 人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取 3 人,2 人,2 人. (2)随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2,3. P(X=k)=C4 kC 3 3-k C7 3 (k=0,1,2,3). 所以,随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 35 12 35 18
25、35 4 35 随机变量 X 的数学期望 E(X)=0 1 35+1 12 35+2 18 35+3 4 35 = 12 7 . 设事件B 为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有 2人”;事件 C为“抽取的3 人中, 睡 眠 充 足 的 员 工 有 2 人 , 睡 眠 不 足 的 员 工 有 1 人 ”, 则 A=B C, 且 B 与 C 互 斥 . 由 知,P(B)=P(X=2),P(C)=P(X=1),故 P(A)=P(BC)=P(X=2)+P(X=1)=6 7. 所以,事件 A 发生的概率为6 7. 102.(2018全国 2理 T18 文 T18)下图是某地区 200
26、0 年至 2016 年环境基础设施投资额 y(单位:亿元)的折 80 线图. 为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额,建立了 y 与时间变量 t 的两个线性回归模型.根据 2000 年 至 2016 年的数据(时间变量 t 的值依次为 1,2,17)建立模型:y =-30.4+13.5t;根据 2010 年至 2016 年的数据(时间变量 t 的值依次为 1,2,7)建立模型 :y=99+17.5t. (1)分别利用这两个模型,求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值; (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由. 【解析】(1)利用模型,该地区 2018 年的环
27、境基础设施投资额的预测值为 y =-30.4+13.519=226.1(亿元). 利用模型,该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 y =99+17.59=256.5(亿元). (2)利用模型得到的预测值更可靠. 理由如下: (i)从折线图可以看出,2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线 y=-30.4+13.5t 上下,这说明 利用2000年至2016年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相 对 2009 年的环境基础设施投资额有明显增加,2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说 明从 2010
28、 年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用 2010 年至 2016 年的数据建立的线性模型y =99+17.5t 可以较好地描述 2010 年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型得到的预测值更可靠. (ii)从计算结果看,相对于 2016 年的环境基础设施投资额 220 亿元,由模型得到的预测值 226.1 亿元的增 幅明显偏低,而利用模型得到的预测值的增幅比较合理,说明利用模型得到的预测值更可靠. 81 (以上给出了 2 种理由,答出其中任意一种或其他合理理由均可得分) 103.(2018全国 1文 T19)某家庭记录了未使用节水龙头 50 天的日用水量数据(单位
29、:m3)和使用了节水龙 头 50 天的日用水量数据,得到频数分布表如下: 未使用节水龙头 50 天的日用水量频数分布表 日用水量 0,0.1) 0.1,0.2) 0.2,0.3) 0.3,0.4) 频数 1 3 2 4 日用水量 0.4,0.5) 0.5,0.6) 0.6,0.7) 频数 9 26 5 使用了节水龙头 50 天的日用水量频数分布表 日用水量 0,0.1) 0.1,0.2) 0.2,0.3) 频数 1 5 13 日用水量 0.3,0.4) 0.4,0.5) 0.5,0.6) 频数 10 16 5 (1)在下图作出使用了节水龙头 50 天的日用水量数据的频率分布直方图: (2)估计
30、该家庭使用节水龙头后,日用水量小于 0.35 m3 的概率; (3)估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水?(一年按 365 天计算,同一组中的数据以这组数据所在区 间中点的值作代表.) 【解析】(1) 82 (2)根据以上数据,该家庭使用节水龙头后 50 天日用水量小于 0.35 m3 的频率为 0.20.1+10.1+2.6 0.1+20.05=0.48, 因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于 0.35 m3 的概率的估计值为 0.48. (3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为x1= 1 50(0.051+0.153+0.252+0.354+0.459+0.5526+0.6
31、55)=0.48. 该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为x2= 1 50(0.051+0.155+0.2513+0.3510+0.4516+0.555)=0.35. 估计使用节水龙头后,一年可节省水(0.48-0.35)365=47.45(m3). 104.(2018北京文 T17)电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表: 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 140 50 300 200 800 510 好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1 好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值. (1)从电影公
32、司收集的电影中随机选取 1 部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率; (2)随机选取 1 部电影,估计这部电影没有获得好评的概率; (3)电影公司为增加投资回报,拟改变投资策略,这将导致不同类型电影的好评率发生变化,假设表格中只有 两类电影的好评率数据发生变化,那么哪类电影的好评率增加 0.1,哪类电影的好评率减少 0.1,使得获得好 评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大?(只需写出结论) 【解析】(1)由题意知,样本中电影的总部数是 140+50+300+200+800+510=2 000. 第四类电影中获得好评的电影部数是 2000.25=50, 83 故所求概率为 50
33、2000=0.025. (2)设“随机选取 1 部电影,这部电影没有获得好评”为事件 B. 没有获得好评的电影共有 1400.6+500.8+3000.85+2000.75+8000.8+5100.9=1 628(部). 由古典概型概率公式,得P(B)=1628 2000=0.814. (3)第五类电影的好评率增加 0.1,第二类电影的好评率减少 0.1,使得获得好评的电影总部数与样本中的电 影总部数的比值达到最大. 105.(2018天津文 T15)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为 240,160,160.现采用分 层抽样的方法从中抽取 7 名同学去某敬老院参加献爱心活动.
34、(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人? (2)设抽出的 7 名同学分别用 A,B,C,D,E,F,G 表示,现从中随机抽取 2 名同学承担敬老院的卫生工作. 试用所给字母列举出所有可能的抽取结果; 设 M 为事件“抽取的 2 名同学来自同一年级”,求事件 M 发生的概率. 【解析】(1)由已知,甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为 322,由于采用分层抽样的方法从中 抽取 7 名同学,因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取 3 人,2 人,2 人. (2)从抽出的 7 名同学中随机抽取 2 名同学的所有可能结果为 A,B,A,C,A,D,A,E,A,F,A,G
35、,B,C,B,D,B,E,B,F,B,G,C,D,C,E,C,F,C,G,D ,E,D,F,D,G,E,F,E,G,F,G,共 21 种. 由(1),不妨设抽出的 7 名同学中,来自甲年级的是 A,B,C,来自乙年级的是 D,E,来自丙年级的是 F,G,则从 抽出的 7 名同学中随机抽取的 2 名同学来自同一年级的所有可能结果为A,B,A,C,B,C,D,E,F,G, 共 5 种. 所以,事件M发生的概率P(M)= 5 21. 106.(2018全国 3理 T18 文 T18)某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两 种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取 4
36、0 名工人,将他们随机分成两组,每组 20 人,第一组工人用 第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min)绘制了如下茎 叶图: 84 (1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由. (2)求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数 m,并将完成生产任务所需时间超过 m 和不超过 m 的工人数 填入下面的列联表: 超过 m 不超过 m 第一种生产方式 第二种生产方式 (3)根据(2)中的列联表,能否有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异? 附:K2= (-)2 (:)(:)(:)(:), P(K2k) 0.050 0.010 0.0
37、01 k 3.841 6.635 10.828 【解析】(1)第二种生产方式的效率更高. 理由如下: 由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人中,有 75%的工人完成生产任务所需时间至少 80 分钟,用第二种生 产方式的工人中,有 75%的工人完成生产任务所需时间至多 79 分钟.因此第二种生产方式的效率更高. 由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为 85.5 分钟,用第二种生产方式 的工人完成生产任务所需时间的中位数为 73.5 分钟.因此第二种生产方式的效率更高. 由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于 80 分钟;用第二种生产方式的工 人
38、完成生产任务平均所需时间低于 80 分钟.因此第二种生产方式的效率更高. 由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎 8 上的最多,关于茎 8 大致呈对称 分布;用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎 7 上的最多,关于茎 7 大致 呈对称分布.又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同,故可以认为用第二种生产方 式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少.因此第二种生产方式的效率 更高. 以上给出了 4 种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分. (2)由茎叶图知 m=79:81 2 =80. 列联表如下:
39、超过 m 不超过 m 第一种生产方式 15 5 85 第二种生产方式 5 15 (3)由于 K2=40(1515-55) 2 20202020 =106.635,所以有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异. 107.(2017全国 2理 T18)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取 了 100 个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg),其频率分布直方图如下: (1)设两种养殖方法的箱产量相互独立,记 A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50 kg,新养殖法的箱产量不低 于 50 kg”,估计 A 的概率; (1)设两种养殖方法的箱产量相互独立,记 A
40、表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50 kg,新养殖法的箱产量不低 于 50 kg”,估计 A 的概率; 箱产量 19,(xN). (2)由柱状图知,需更换的零件数不大于 18 的频率为 0.46,不大于 19 的频率为 0.7,故 n 的最小值为 19. (3)若每台机器在购机同时都购买 19 个易损零件,则这 100 台机器中有 70 台在购买易损零件上的费用为 3 800,20 台的费用为 4 300,10 台的费用为 4 800,因此这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为 1 100(3 80070+4 30020+4 80010)=4 000. 若每台机器在购机同时都购买
41、 20 个易损零件,则这 100 台机器中有 90 台在购买易损零件上的费用为 4 000,10 台的费用为 4 500,因此 这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为 1 100(4 00090+4 50010)=4 050. 比较两个平均数可知,购买 1 台机器的同时应购买 19 个易损零件. 122.(2016全国 2文 T18)某险种的基本保费为 a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人 本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下: 上年度出险次数 0 1 2 3 4 5 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 随机调查了该险种的 200
42、 名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表: 出险次数 0 1 2 3 4 5 频数 60 50 30 30 20 10 (1)记 A 为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”,求 P(A)的估计值; 99 (2)记 B 为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的 160%”.求 P(B)的估计值; (3)求续保人本年度平均保费的估计值. 【解析】(1)事件 A 发生当且仅当一年内出险次数小于 2. 由所给数据知,一年内出险次数小于 2 的频率为60+50 200 =0.55, 故 P(A)的估计值为 0.55. (2)事件 B 发生当且仅当一年内出险次数大于 1 且
43、小于 4. 由所给数据知,一年内出险次数大于 1 且小于 4 的频率为 故 P(B)的估计值为 0.3. (3)由所给数据得 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 频率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05 调查的 200 名续保人的平均保费为 0.85a0.30+a0.25+1.25a0.15+1.5a0.15+1.75a0.10+2a0.05=1.192 5a. 因此,续保人本年度平均保费的估计值为 1.192 5a. 123.(2016四川理 T16)我国是世界上严重缺水的国家,某市政府为了鼓励居民节约用水,计划调整居民生 活用水收费方案,拟
44、确定一个合理的月用水量标准 x(吨),一位居民的月用水量不超过 x 的部分按平价收费, 超出 x 的部分按议价收费.为了了解居民用水情况,通过抽样,获得了某年 100 位居民每人的月均用水量(单 位:吨),将数据按照0,0.5),0.5,1),4,4.5分成 9 组,制成了如图所示的频率分布直方图. (1)求直方图中 a 的值; (2)设该市有 30 万居民,估计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数,并说明理由; (3)若该市政府希望使 85%的居民每月的用水量不超过标准 x(吨).估计 x 的值,并说明理由. 【解析】(1)由频率分布直方图知,月均用水量在0,0.5)中的频率为 0.08
45、0.5=0.04, 同理,在0.5,1),1.5,2),2,2.5),3,3.5),3.5,4),4,4.5)中的频率分别为 100 0.08,0.20,0.26,0.06,0.04,0.02. 由 0.04+0.08+0.5a+0.20+0.26+0.5a+0.06+0.04+0.02=1,解得 a=0.30. (2)由(1),100 位居民每人月均用水量不低于 3 吨的频率为 0.06+0.04+0.02=0.12. 由以上样本的频率分布,可以估计全市 30 万居民中月均用水量不低于 3 吨的人数为 300 0000.12=36 000. (3)因为前 6 组的频率之和为 0.04+0.0
46、8+0.15+0.20+0.26+0.15=0.880.85, 而前 5 组的频率之和为 0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73 y,因此可看出 A 药的疗效更好. (2)由观测结果可绘制如下茎叶图: 从以上茎叶图可以看出,A 药疗效的试验结果有 7 10的叶集中在茎 2,3 上,而 B 药疗效的试验结果有 7 10的叶集中 在茎 0,1 上,由此可看出 A 药的疗效更好. 156.(2013全国 2文 T19)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出 1 t 该产品获利润 500 元, 未售出的产品,每 1 t 亏损 300 元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求
47、量的频率分布直方图,如图所示. 经销商为下一个销售季度购进了 130 t 该农产品.以 X(单位:t,100X150)表示下一个销售季度内的市场 需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润. 128 (1)将 T 表示为 X 的函数; (2)根据直方图估计利润 T 不少于 57 000 元的概率. 【解析】(1)(分段函数)当 X100,130)时, T=500X-300(130-X)=800X-39 000. 当 X130,150时,T=500130=65 000. 所以 T=800X-39000,100 X 130, 65000,130 X 150. (2)由(1)知利润 T 不少于 57 000 元当且仅当 120X150. 由直方图知需求量 X120,150的频率为 0.7,所以下一个销售季度内的利润 T 不少于 57 000 元的概率的 估计值为 0.7. 157.(2013全国1理T19)一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,这4 件产品中优质品的件数记为 n.如果 n=3,再从这批产品中任取 4 件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检 验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不 能通过检验. 假设这批产品的优
