1、 高考一轮复习热点难点精讲精析：2.2函数的单调性与最值一、函数单调性的判定1、用定义证明函数单调性的一般步骤，即：（1）取值：即设x1、x2是该区间内的任意两个值，且x10),因为y=log5t在t(0,+)上为增函数，t=2x+1在(，+)上为增函数，所以函数f(x)=log5(2x+1)的单调增区间为(,+).答案：(，+)(2)方法一：定义法：设x1x2-1,则x1x2-1,x2-x10,x2+10,即y1-y20,y1y2.在(-1,+)上是减函数.方法二：导数法：在(-1，+)上，y0且2x0 的定义域为 判断在上是增函数，下证明之：1分设任2分3分 x2x10，2x10，2x20
2、则4分用数学归纳法易证 证略. 12分二、应用函数的单调性1应用函数的单调性可求解的问题(1)由x1,x2的大小，可比较f(x1)与f(x2)的大小；(2)知f(x1)与f(x2)的大小关系，可得x1与x2的大小关系；(3)求解析式中参数的值或取值范围；(4)求函数的最值；(5)得到图象的升、降情况，画出函数图象的大致形状.2例题解析例1(1)若f(x)为R上的增函数，则满足f(2-m)f(m2)的实数m的取值范围是_.(2)已知函数y=f(x)是偶函数，y=f(x-2)在0,2上是单调减函数，试比较f(-1),f(0)，f(2)的大小.【方法诠释】(1)根据f(x)的单调性，得到2-m与m2
3、的大小关系，从而求解.(2)根据函数f(x)的性质先得到y=f(x)在0,2上的单调性或-2,2上的图象，进而借助于单调性或图象比较出函数值的大小.解析：(1)因为f(x)为R上的增函数，且f(2-m)f(m2)，则有:2-m0.解得:m1.所以m的取值范围为:(-,-2)(1,+).答案：(-,-2)(1,+)(2)方法一：因为y=f(x-2)的图象可由y=f(x)的图象向右平移2个单位而得到，而y=f(x)为偶函数，其图象关于直线x=0对称，函数y=f(x-2)的图象关于直线x=2对称，又y=f(x-2)在0,2上单调递减,函数y=f(x-2)在2,4上单调递增，因此,y=f(x)在0,2
4、上单调递增，又f(-1)=f(1),01f(-1)f(0).方法二：由方法一可得函数y=f(x)在-2,2上图象的大致形状为由图象知f(2)f(-1)f(0).注：1.根据函数的单调性，解含有“f”号的不等式时，要根据函数的性质，转化为如“f(g(x)f(h(x)”的形式，再利用单调性，转化为具体不等式求解，但要注意函数的定义域.2.比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择、填空题能数形结合的尽量用图象法求解.例2已知函数f(x)对于任意a，bR,总有f(a+b)=f(a)+f(b)-1，并且当x0时，f(x)1(1)求证
5、：f(x)在R上是增函数；(2)若f(4)=5，解不等式f(3m2-m-2)3；(3)若关于x的不等式f(nx-2)+f(x-x2)2恒成立，求实数n的取值范围【解析】(1)设x1,x2R，且x1x2，则x2-x10，f(x2-x1)1 ，f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-10,f(x1)-f(x2)0，即f(x1)f(x2)f(x)在R上是增函数.(2)f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5,f(2)=3,不等式f(3m2-m-2)3即为 f(3m2-m-2)f(2).又f(x)在R上是增
6、函数，3m2-m-22，解得因此不等式的解集为m|；(3)令a=b=0,得 f(0)=2f(0)-1,f(0)=1. f(nx-2)+f(x-x2)2，即f(nx-2)+f(x-x2)-11，f(nx-2+x-x2)f(0)由(1)知nx-2+x-x20恒成立，x2-(n+1)x+20恒成立 =-(n+1)2-420,注：判定复合函数的单调性及确定单调区间,关键是把复合函数分解成已知单调性的初等函数.另外，注意不要忽略函数的定义域.三、抽象函数的单调性及最值例1已知f(x)是定义在R上的增函数，对xR有f(x)0，且f(5)=1，设F(x)= f(x)+，讨论F (x)的单调性，并证明你的结论
7、解析：这是抽角函数的单调性问题，应该用单调性定义解决。在R上任取x1、x2，设x1x2，f(x2)= f(x1)， f(x)是R上的增函数，且f(10)=1，当x10时0 f(x)10时f(x)1； 若x1x25，则0f(x1)f(x2)1， 0 f(x1)f(x2)1，0， F (x2)x15，则f(x2)f(x1)1 ，f(x1)f(x2)10 F(x2) F (x1)综上，F (x)在（，5）为减函数，在（5，+）为增函数注：对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目中所给性质和相应的条件，对任意x1、x2在所给区间内比较f(x2)-f(x1)与0的大小，或f(x1)/
8、f(x2)与大小。有时根据需要，需作适当的变形：如等。例2已知函数f(x)对于任意x，yR,总有f(x)+f(y)=f(x+y)，且当x0时，f(x)0,f(1)=.(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2) 求f(x)在-3，3上的最大值和最小值思路分析：用定义法判断抽象函数的单调性；求函数的最值需借助函数的单调性进行。解答：(1)方法一：函数f(x)对于任意x，yR，总有f(x)+f(y)=f(x+y)，令x=y=0，得f(0)=0再令y=-x，得f(-x)=-f(x)在R上任取x1x2，则x=x1-x20，y=f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)=f(x),
9、又x0时，f(x)0而x0，f(x)0，即y0,y=f(x1)-f(x2) =f(x1-x2+x2)-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2)=f(x)又x0时，f(x)0，而x0，f(x)0，即y0因此f(x)在R上是减函数.(2)f(x)在R上为减函数，f(x)在-3，3上也为减函数，f(x)在-3，3上的最大值为f(-3)、最小值为f(3)，而f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1+1)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1)=-2，0=f(0)=f(3-3)=f(3)+f(-3),f(-3)=-f(3)=2,因此，f(x)在-3，3上的最大值为2，最小值为-2.【方法指导】求函数最值(值域)常用的方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值 8
