1、第十单元第十单元 平面解析几何平面解析几何 第一节第一节 直线与方程直线与方程 基础梳理基础梳理 1. 直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角 定义：当直线 与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线 向上方向之间所成的角叫做直线 的倾斜角.当直线 与x轴平行或重合 时，规定它的倾斜角为0. 倾斜角的范围为00,b0),则直 线 的方程为 过点P(3,2), ,且a3. 从而 , l 1 xy ab l 322 1, 3 a b aba 2 112 2233 ABO aa Sa ba aa 故有 当且仅当 ,即a=6时,等号成立. ,此时 . 故直线 的方程为 ,即2x+3y-12=0.
2、 2 36399 36 33 9 23612 3 ABO aa Sa aa a a 9 3 3 a a min12 ABO S 2 6 4 63 b l 1 64 xy 方法二：依题意知，直线 的斜率存在. 设直线 的方程为y-2=k(x-3)(k0, -(a+1)=0, 或 a-20 a-20， a-1. 综上可知，a的取值范围是a-1. 方法二：将 的方程化为（x+y+2）+a(x-1)=0(aR). 它表示过 :x+y+2=0与 :x-1=0的交点（1，-3）的直线系（不包 括x=1).由图象可知 的斜率为-(a+1)0,即当a-1时，直线 不 经过第二象限. 2 2 1 a a a l
3、 l 1 l 2 l ll 第二节第二节 直线的位置关系直线的位置关系 基础梳理基础梳理 1. 两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行 对于两条不重合的直线 ，其斜率分别为 ，则有 特别地，当直线 的斜率都不存在时， 与 的关系为平行. (2)两条直线垂直 如果两条直线 的斜率存在，分别设为 ,则 一般地，若直线 ( 不全为0)， 直线 ( 不全为0)，则 且 12 ,l l 12 ,k k1212 / /llkk 12 ,l l 1 l 2 l 12 ,l l12 ,k k 121 2 1llk k 1111 :0lAxB yC 11 ,A B 2222 :0lA xB yC 22 ,
4、A B 121221 / /0llABA B 12211221 0(BCB C0)ACA C或 121212 0llA AB B 与 且 1 l 2 l 1221 0ABA B 12211221 0(0)ACA CBCB C或 2. 三种距离 （1）两点间的距离 平面上的两点 间的距离公式 特别地，原点O（0,0)与任一点P(x,y)的距离OP= (2)点到直线的距离 点 到直线 :Ax+By+C=0的距离 (3)两条平行线的距离 两条平行线Ax+By+ =0与Ax+By+ =0间的距离 111222 ,P x yP x y 22 121212 PPxxyy 22 xy 000 ,P x y
5、l 00 22 AxByC d AB 1 C 2 C 12 22 CC d AB 典例分析典例分析 题型一题型一 两条直线位置关系的判定和应用两条直线位置关系的判定和应用 【例1】已知直线 :ax+2y+6=0和直线 :x+(a-1)y+ -1=0. (1)试判断 与 是否平行； （2）当 时，求a的值. 1 l 2 l 2 a 1 l 2 l 1 l 2 l 分析分析 可以把直线化成斜截式，运用斜率或截距的数量关系来判断求 解，但由于直线的斜率可能不存在，就必须进行分类讨论；也可以运 用一般式方程中的系数关系来判断或求解，这样可以避免讨论. 解解 （1）方法一：当a=1时， :x+2y+6=
6、0, :x=0, 不平行于 ; 当a=0时， :y=-3, :x-y-1=0, 不平行于 ; 当a1且a0时，两直线可化为 解得a=-1, 综上可知,当a=-1时, ,否则 与 不平行. 1 l 2 l 2 l 1 l 1 l 2 l 2 l 1 l 12 1 :3,:1 21 a lyxlyxa a 12 / /ll 1 , 21 31 a a a 1 l 2 l 2 l 1 l 2 a 方法二：由 ,得a(a-1)-12=0, 由 0,得a( -1)-160, a(a-1)-12=0， -a-2=0， a=-1 a( -1)-160 a( -1)6 1221 0ABA B 1221 ACA
7、 C 12 / /ll 2 a 2 a 2 a 故当a=-1时， ，否则 与 不平行. 1 l 2 l 2 l 1 l （2）方法一：当a=1时, :x+2y+6=0, :x=0, 与 不垂直，故a=1不成立. 当a1时， 由 方法二：由 ,得 a+2(a-1)=0 1 l 2 l 1 l 2 l 12 1 :3,:1 21 a lyxlyxa a 12 1 213 a a a 1212 0A AB B 2 3 a 学后反思学后反思 (1)直线 : ,直线 , “ ”的前提条件是 , 的斜率都存在，若不能确定 斜率的存在性，应对其进行分类讨论： 1 l 11 yk xb 222 :lyk xb
8、 121212 / /llkkbb且 1 l 2 l 当 , 中有一条存在斜率，而另一条不存在斜率时， 与 不平行； 当 , 的斜率都不存在（ 与 不重合）时, ;当 , 均有斜 率且 时， .为避免分类讨论，可采用直线方程的一 般式，利用一般式方程中的“系数关系”的形式来判断两直线是否平行， 如本例方法二. （2）当 时，可分斜率不存在与斜率存在，斜率存在时,有 ，如果利用 可避免分类讨论. 1 l 2 l 2 l 1 l 1 l 2 l 举一反三举一反三 1 l 2 l 2 l 1 l 1 l 2 l 1212 ,kk bb 1 l 2 l 1 l 2 l 12 1k k 1212 0A
9、AB B 1. 已知直线ax+3y+1=0与x+(a-2)y+a=0平行，求a的值. 解析解析 由a(2a-1)-a=0,得a=1或a=0. 当a=1时，两方程为x-y+2=0与x+y+1=0，互相垂直； 当a=0时，两方程为y=0与x=0，互相垂直. 所以a=1或a=0即为所求. 解析解析 当a-2=0或a=0时两直线显然不平行； 当a-20且a0时，由 ,得a=-1或a=3. 若a=-1,则 成立,故a=-1（舍去）,则a=3. 3 12 a a 31 12 a aa 2. 已知直线ax-y+2a=0与（2a-1）x+ay+a=0互相垂直，求a的值. 题型二题型二 距离问题距离问题 【例2
10、】求过点A(-1,2),且与原点的距离等于 的直线方程. 2 2 分析分析 设出所求直线的点斜式方程，运用待定系数法求直线的方程， 但必须要注意斜率是否存在这个问题. 解解 过点A(-1,2)且垂直于x轴的直线不满足题意， 设过点A(-1,2)的直线点斜式方程为y-2=k(x+1), 即kx-y+k+2=0. 原点到直线的距离等于 ,d= 解得k=-1或k=-7, 即所求直线方程为x+y-1=0或7x+y+5=0. 2 2 2 22 2 1 k k 学后反思学后反思 （1）直线的点斜式方程不能代表垂直于x轴的直线，故 要进行讨论. （2）使用点到直线的距离公式时，必须把直线方程化为一般式. 举
11、一反三举一反三 3. 与直线2x+3y+5=0平行，且距离等于 的直线方程是. 13 答案答案 2x+3y+18=0或2x+3y-8=0 解析解析 所求直线 与直线 :2x+3y+5=0平行， 可设 ：2x+3y+C=0,由 与 距离为 ，得 ,解得C=18或C=-8, 所求直线 的方程为2x+3y+18=0或2x+3y-8=0. l 0 l ll 0 l 13 5 13 13 C l 题型三题型三 交点及直线系问题交点及直线系问题 【例3】求经过直线 :3x+2y-1=0和 :5x+2y+1=0的交点且垂直于直 线 :3x-5y+6=0的直线 的方程. 1 l 2 l 3 l l 分析分析
12、本题可以先求交点坐标，然后由直线间位置关系求解，也可以 先设出直线系方程，后代入点具体求解. 3x+2y-1=0, 解解 方法一：由 得 , 的交点P(-1,2). 5x+2y+1=0, 又 的斜率 的斜率k=- , :y-2=- (x+1),即5x+3y-1=0. 方法二：由 ,可设 :5x+3y+C=0. , 的交点可以求得为P(-1,2). 5(-1)+32+C=0,C=-1, :5x+3y-1=0. 1 l 2 l 3 l 3 3 , 5 k l 5 3 l 5 3 l 3 ll 1 l 2 l l 方法三： 过 , 的交点， 故设 :3x+2y-1+(5x+2y+1)=0， 即（3+
13、5）x+(2+2)y+(-1+)=0， ,解得= ,代入上式整理得 :5x+3y-1=0. l 1 l 2 l l 355 223 1 5 l 学后反思学后反思 三种解法都能比较迅捷地解决问题，但方法一、方法二都是 在两直线的斜率存在的前提下进行的，如果其中含有字母参数之类的， 则要进行分类讨论；运用直线系方程时，则必须对直线系中不包含的直 线进行检验.因此，本题的三种解法应该是各有优缺点. 举一反三举一反三 4. 已知两直线 :x+2=0, :4x+3y+5=0,定点A(-1,-2),求过 , 的交点 且与点A的距离等于1的直线 . 1 l 2 l 1 l 2 l l 解析解析 方法一： ,
14、 的交点为（-2，1）. 若直线 斜率存在，设所求的直线方程为y-1=k(x+2), 即kx-y+2k+1=0. 所求直线 与点A(-1,-2)的距离为1, ,得k=- ,代入,得 所求直线 的方程为4x+3y+5=0. 若直线 斜率不存在，即判断过点（-2，1）且与y轴平行的直线x=-2是否 符合所求直线 的条件. 点A（-1，-2）到直线x=-2的距离为1， 直线x=-2，即x+2=0也符合直线 的要求， 故所求直线 的方程是x+2=0和4x+3y+5=0. 1 l 2 l l l 2 221 1 1 kk k 4 3 l l l l l 方法二： , 的交点为（-2，1）， 过 , 交点
15、的直线系方程是（x+2）+(4x+3y+5)=0, 是参数，化简得(1+4)x+3y+(2+5)=0， 由 ,得=0. 代入方程，得x+2=0. 又直线系方程中不包含 , 应检验 是否也符合所求 的条件. 点（-1，-2）到 的距离为 也符合要求， 故所求直线 的方程是x+2=0和4x+3y+5=0. 1 l 2 l 1 l 2 l 22 11 42325 1 1 43 2 l 2 l l 2 l 22 465 1 43 2 l l 题型四题型四 对称问题对称问题 【例4】(12分)光线沿直线 :x-2y+5=0射入，遇直线 :3x-2y+7=0后反 射，求反射光线所在的直线方程. 1 ll
16、分析分析 本题用光学原理得入射光线与反射光线所在的直线关于直线 对 称，用对称点方法求出入射光线上一点P关于 的对称点，再由两点式写 出方程. l l 3x-2y+7=0, x=-1, 解解 方法一：由 得 x-2y+5=0, y=2, 即反射点M的坐标为(-1,2)2 又取直线x-2y+5=0上一点P（-5，0），设点P关于直线 的对称点为 由PP ,可知 4 而PP的中点Q的坐标为 l 00 ,P x y l 0 0 2 35 PP y k x 00 5 , 22 xy 又Q点在 上， 联立 解得 l 00 5 3270 22 xy 0 0 00 2 , 53 3 570 2 y x xy
17、 0 0 17 13 32 13 x y 即P点坐标为 .10 反射光线过M(-1,2)和P 根据直线的两点式方程,可得 反射光线所在的方程为29x-2y+33=0.12 1732 , 1313 1732 , 1313 方法二：设直线x-2y+5=0上任意一点 关于直线 的对称点 P(x,y),则 3 又PP的中点 在 上， 00 ,P x yl 0 0 2 3 yy xx 00 , 22 xxyy Q l ,6 由 9 代入方程x-2y+5=0中，化简得29x-2y+33=0, 即所求反射光线所在直线方程为29x-2y+33=012 00 3270 22 xxyy 0 0 0 0 2 , 3
18、 370 2 yy xx xx yy 0 0 51242 13 12528 13 xy x xy y 学后反思学后反思 比较两种解法可知，对于直线的对称问题，都是转化为点关 于直线的对称或点关于点的对称问题来解决的.其中，方法一通过求点关 于直线的对称点坐标，用两点式方程求解；方法二则利用了轨迹思想求 对称直线的方程，是求解曲线关于直线对称问题的通法. 举一反三举一反三 5. 已知A(7,-4)关于直线 的对称点为B（-5，6），则直线 的方程是 ( ) A. 5x+6y-11=0 B. 6x-5y-1=0 C. 6x+5y-11=0 D. 5x-6y+1=0 ll 解析解析 AB的中点（1，
19、1）在直线 上, 又 ,即所求直线的斜率k= , 所求直线 的方程为y-1= (x-1),即6x-5y-1=0. l 5 6 AB k 6 5 l 6 5 答案答案 B 易错警示易错警示 【例】已知一直线 经过点P(1,2)且与点A(2,3)和B（0，-5）距离相等， 求此直线的方程. l 错解错解 方法一：设所求直线方程为y-2=k(x-1), 即kx-y-k+2=0， ,即k-1=k-7， 解得k=4，所求直线方程为4x-y-2=0. 方法二：由已知 AB,又 :y-2=4(x-1)，即4x-y-2=0. 22 232052 11 kkk kk l 35 4 2 AB k l 错解分析错解
20、分析 方法一中忽视了斜率可能不存在的情况，方法二中忽视 了 可以过AB中点的情况. l 正解正解 方法一：当 斜率不存在时，直线方程为x=1,满足条件. 当斜率存在时，解法同错解中“方法一”. 方法二：当 过AB中点时，直线方程为x=1. 当 AB时，解法同错解中“方法二”. 综上,直线 的方程为x=1或4x-y-2=0. l l l l 考点演练考点演练 10. (2009 青岛模拟）平行四边形两邻边方程是x+y+1=0和3x-y+4=0,对 角线交点为（3，3），则另两边的方程为和 . 解析解析 方法一：所求直线与已知直线关于（3，3）中心对称，故方程为 （6-x）+(6-y)+1=0和3
21、(6-x)-(6-y)+4=0,即x+y-13=0和3x-y-16=0. 方法二：所求直线与已知直线分别平行，且过已知两直线的交点关于 （3，3）的对称点.设 :x +y+ =0, :3x-y+ =0.两已知直线的交点坐 x+y+1=0, x= 标满足 解得 3x-y+4=0, y= 即 ,它关于（3，3）的对称点为 将 代入 , ，解得 =-13, =-16. 所以所求直线 :x+y-13=0, :3x-y-16=0. 1 l 2 l 5 4 1 4 5 1 , 4 4 29 23 , 44 29 23 , 44 1 l 2 l 1 c 2 c 1 c 2 c 1 l 2 l 答案答案 x+
22、y-13=03x-y-16=0 11. 已知正方形的中心为直线2x-y+2=0与x+y+1=0的交点，正方形一边所 在的直线方程为x+3y-5=0,求正方形的其他三边所在的直线方程. 解析解析 设与直线 :x+3y-5=0平行的边所在的直线方程为 :x+3y+c=0. 2x-y+2=0， 由 得正方形的中心坐标P(-1,0), x+y+1=0 由点P到两直线 , 的距离相等，得 , 解得c=-5或c=7(-5不合题意，舍去)， :x+3y+7=0. 又正方形另两边所在直线与 垂直， 设另两边方程为3x-y+a=0,3x-y+b=0. 正方形中心到四条边的距离相等， ，解得a=9或a=-3, 正
23、方形的其他两条边所在的直线方程为 3x-y+9=0,3x-y-3=0. 正方形的其他三边所在的直线方程为 3x-y+9=0,x+3y+7=0,3x-y-3=0. l 1 l l 1 l 2222 1 51 1313 c 1 l l 2222 31 5 3113 a 12. 光线从A(-3,4)点射出，到x轴上的B点后，被x轴反射到y轴上的C 点，又被y轴反射，这时反射线恰好过点D（-1，6），求BC所在直线的 方程. 解析解析 方法一：如图所示，依题意，B点在原点O左侧，设其坐标为 （a,0）,由反射角等于入射角，得1=2,3=4, 又 ,即BC所在直线方程为 y= (x-a),所以C点坐标为
24、 又 ,解得a=- , 代入BC的方程,得5x-2y+7=0. ABBC kk 404 (3) 33 AB ka aa 4 3 BC k a 4 3a 4 0, 3 a a 418 10 , 33 BCCD a kk aa 7 5 方法二：A关于x轴的对称点A(-3,-4), D关于y轴的对称点D(1,6), 由光学知识知,A、B、C、D四点共线，且 则BC所在的直线方程为5x-2y+7=0. 5 2 A D k 第三节第三节 圆的方程圆的方程 基础梳理基础梳理 1. 圆的标准方程 （1）方程 表示圆心为(a,b),半径为 r 的圆的 标准方程; （2）特别地，以原点为圆心，半径为r(r0)的
25、圆的标准方程为 . 2. 圆的一般方程 方程 +Dx+Ey+F=0可变形为 （1）当 时，方程表示以 为圆心，以 为半径的圆; 22 2 0xaybrr 222 xyr 22 xy 22 22 4 224 DEDEF xy 22 40DEF , 22 DE 22 4 2 DEF （2）当 =0时，方程表示一个点 ; (3)当 r， 所以点P在圆外. 2 2 1 1420 2 2 120xy 2 2 2 14 学后反思学后反思 （1）本题方法一与方法二都使用了待定系数法，其中方法 一设了圆的标准方程，方法二设了圆的一般方程，都是结合条件来求所 设方程中的待定系数；方法三则应用了平面几何知识：圆心
26、与弦的中点 的连线与弦垂直.一般而言，在解析几何问题中，用上平面几何知识， 会使解题变得相对简单. (2)无论哪种解法，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后 根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系. 举一反三举一反三 1. 求经过点A(5,2),B(3,2),圆心在直线2x-y-3=0上的圆的方程. 解析解析 圆经过点A(5,2),B(3,2),圆心在x=4上，又圆心在2x-y- 3=0上，圆心为（4，5），可设圆的方程为 ,又 圆过B(3,2)，即 , ， 圆的方程为 22 2 45xyr 22 2 3425r 2 10r 22 4510xy 题型二题型二 与
27、圆有关的参数问题与圆有关的参数问题 【例2】(2009 威海模拟）已知圆的方程为 ,要使过定点A（1，2）的圆的切线有两条.求a的取值范围. 222 20xyaxya 分析分析 (1)若方程表示圆，则 0,即 (2)由定点A的切线有两条，则点A一定在圆外. 22 4DEF 22 440aa 解解 若 表示圆，则应满足 ,即4-3 0, 又点A应在圆外，则 即 +a+90, 由得 故a的取值范围是 222 20xyaxya 22 440aa 2 a 222 122 20aa 2 a 2 32 3 33 a 2 3 2 3 , 33 学后反思学后反思 (1)一般地，方程表示圆隐含着条件 0.此点易
28、 被忽视. (2)若点 在圆 +Dx+Ey+F=0外，则 22 4DEF 00 ,x y 22 xy 22 0000 0xyDxEyF 举一反三举一反三 2. 已知圆的方程 ,要使圆的半径不大于 且过定点 A（1，2）的圆的切线有两条，求a的取值范围. 222 20xyaxya 1 2 解析解析 圆的方程可化为 . 由已知 即 解得 0直线与圆相交； =0直线与圆相切； b0)或 (ab0),两个焦点分别为 ，则由题意知 2a= ,a= . 22 22 1 xy ab 22 22 1 yx ab 12 2 5PFPF 5 12 FF、 在方程 中,令x=c,得y= . 在方程 中,令y=c,得
29、x= . 依题意知 . 即椭圆的方程为 或 . 22 22 1 xy ab 2 b a 22 22 1 yx ab 2 b a 2 2 210 5, 33 b b a 22 3 1 510 xy 22 3 1 105 xy 方法二：设椭圆的两个焦点分别为 ,则 由椭圆的定义，知2a= ,即a= . 由 知， 垂直于长轴. 故在Rt 中， , ，于是 . 又所求的椭圆的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，故所求的椭圆方程 为 或 . 12 FF、12 42 P5,5. 33 FPF 12 2 5PFPF 5 12 PFPF 2 PF 21 PF F 22 2 12 6020 4 93 cPFPF
30、2 5 3 c 222 10 3 bac 22 3 1 510 xy 22 3 1 105 xy 学后反思学后反思 (1)用待定系数法求椭圆方程时，当题目的条件不能确定椭圆 的焦点位置时，应注意分两种情况来设方程，分别计算；有时也可以直接 设成 (m0,n0). （2）过椭圆焦点与长轴垂直的直线截椭圆的弦通常叫做通径，其长度为 22 1 xy mn 2 2b a 举一反三举一反三 1. 若椭圆的两个焦点为 (-4,0)、 (4,0),椭圆的弦AB过 , 的周长为20，则该椭圆的方程为. 1 F 2 F 1 F 2 ABF 解析解析 的周长为 =2a+2a=4a=20, a=5,又c=4,b=3
31、. 椭圆的方程为 2 ABF 2121 AFAFBFBF 22 1 259 xy 22 1 259 xy 答案答案 题型二题型二 椭圆的几何性质椭圆的几何性质 【例2】P为椭圆 上任一点， 为左、右焦点，如图所示. （1）若 的中点为M，求证：|MO|=5- (2)若 =60,求 的值. 22 1 2516 xy 12 FF、 1 PF 1 1 2 PF 12 FPF 12 PFPF 分析分析 第（1）问中，由OM为 的中位线，再结合椭 圆几何性质即可得证；第（2）问中，已知 =60，则可在 中利用余弦定理求解. 12 FPF 12 PFF 12 PFF 解解 (1)证明：由椭圆方程 知a=5
32、,b=4,则c=3, 又M、O为 的中点， 22 1 2516 xy 1221 210,10PFPFaPFPF 112 PFFF、 2 1 / / 2 MOPF 21 11 5 22 MOPFPF (2) ，两边平方得 由余弦定理知 即 -得 . 12 10PFPF 22 1122 2100PFPF PFPF 222 12121212 2cos,PFPFPF PFFPFFF 22 1212 36PFPFPF PF 1212 64 364,. 3 PF PFPF PF 学后反思学后反思 椭圆的几何性质是解决椭圆问题的基础，必须牢记，并体会由 方程如何推得相关性质，体会解析几何的思想. 第（1）小
33、题即：以 为直径的圆与以长轴为直径的圆始终内切. 第（2）小题：令 =, 则可推出 ， 进而推出 1 PF 12 FPF 2 12 2 1 cos b PFPF 12 12 2 2 1 sin 2 sin tan 1cos2 F PF SPF PF b b 举一反三举一反三 2. 已知 是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点， =60. 求椭圆离心率的取值范围. 12 FF、 12 FPF 解析解析 设椭圆方程为 (ab0)， =m, =n. 在 中，由余弦定理可知， 又 (当且仅当m=n时取等号）， 即e ， e的取值范围是 ,1). 22 22 1 xy ab 1 PF 2 PF 12 PFF
34、2220 42cos60cmnmn 2 222 22 2 ,242, 443. mnamnmnmnamn camn 2 2 2 mn mna 2 222 2 1 443, 4 c aca a 1 2 1 2 题型三题型三 直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系 【例3】(12分)已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点 到焦点距离的最大值为3，最小值为1. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若直线 :y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点（A、B不是左、右顶点）， 且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证：直线 过定点，并求出该定点的 坐标. l l 分析分析 (1)由a+c=3
35、,a-c=1,可求a、c.（2）直线方程与椭圆方程联立后 得到交点A、B的坐标关系，再根据以AB为直径的圆过椭圆的右顶点可得 到两直线垂直，从而求得交点A、B的坐标关系，联立后可求k、m的关系. 解解 （1）根据题意设椭圆的标准方程为 (ab0), 由已知得a+c=3,a-c=1,.1 a=2,c=1, =3. 椭圆的标准方程为 .3 22 22 1 xy ab 222 bac 22 1 43 xy (2)设 , y=kx+m， 联立 得 ，5 则由题意,得 1122 ,A x yB x y 22 1 43 xy 222 348430kxmkxm ,即 ， ， 即 7 以AB为直径的圆过椭圆的
36、右顶点D(2,0), ,即 ， ，解得m=-2k或m=- , 且均满足 10 当m=-2k时, 的方程为y=k(x-2),直线过定点（2，0）,与已知矛盾； 2222 6416 3430m kkm 22 340km 2 1212 22 43 8 , 3434 m mk xxx x kk 22 22 12121212 2 34 34 mk y ykxmkxmk x xmk xxm k 1 ADBD kk 12 12 1 22 yy xx 121212 222 222 22 240, 3443 16 40, 343434 71640 y yx xxx mkm mk kkk mmkk 2 7 k 2
37、2 340km l 当m=- 时, 的方程为y=k(x- ),直线过定点( ,0). 所以直线 过定点，定点坐标为( ,0)12 2 7 k2 7 l 2 7 l 2 7 学后反思学后反思 (1)直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程， 然后通过判别式来判断直线和椭圆相交、相切或相离的情况. （2）消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵 坐标，通常写成两根之和与两根之积的形式，这是进一步解题的基础. 举一反三举一反三 3. 若直线 过圆 +4x-2y=0的圆心M,交椭圆C： 于A,B两 点，且A,B关于点M对称，求直线 的方程. l 22 xy 22 1 94 xy
38、l 解析解析 设A,B的坐标分别为 已知圆的方程为 ,所以圆心M的坐标为（-2，1），从 1122 ,x yx y 22 215xy 而可设直线 的方程为y=k(x+2)+1, 代入椭圆C的方程,得 . 因为A,B关于点M对称， 所以 ,解得k= , 所以直线 的方程为y= (x+2)+1,即8x-9y+25=0(经检验，所求直线方 程符合题意). l 2222 4936183636270kxkk xkk 2 12 2 189 2 249 xxkk k 8 9 l 8 9 题型四题型四 椭圆的实际应用椭圆的实际应用 【例4】如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r,短半轴长为r,计 划将此钢
39、板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的 端点在椭圆上，记CD=2x,梯形面积为S.求面积S以x为自变量的函数式， 并写出其定义域. 分析分析 建立坐标系后写出椭圆方程，求出y 与x的关系式，从而求出S与x的函数式. 解解 依题意，以AB的中点O为原点建立直角坐标系xOy(如图），则半椭 圆方程为 (y0), 解得 (09时， =k+8, =9, ,解得k=4. (2)若焦点在y轴上，即00时，方程化为 ,得k=6. 当k0,b0), 因渐近线的方程为y= x，并且焦点都在圆 上， a=6， ，解得 b=8， 双曲线的方程为 . 22 22 1 xy ab 4 3 22 10
40、0xy 22 4 3 100 b a ab 22 1 6436 yx 当焦点在y轴上时，设双曲线的方程为 （a0,b0）， 因渐近线的方程为y= x，并且焦点都在圆 上， a=8, ,解得 b=6, 双曲线的方程为 综上,双曲线的方程为 和 . 22 22 1 yx ab 4 3 22 100xy 22 3 4 100 b a ab 22 1 6436 yx 22 1 3664 xy 22 1 6436 yx 方法二：设双曲线的方程为 (0), 从而有 ，解得=576, 所以双曲线的方程为 和 2222 43xy 22 100 43 22 1 3664 xy 22 1 6436 yx 第七节第
41、七节 抛物线抛物线 基础梳理基础梳理 标准方程 图形 1. 抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线 （ 不经过点F）距离相等的点的轨迹 叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线 叫做抛物线的准线. 2. 抛物线的标准方程和几何性质（如下表所示） l l l 2 2(0)ypx p 2 2(0)ypx p 性 质 范围 准线方程 焦点 对称轴 关于x轴对称 顶点 O(0,0) 离心率 e=1 标准方程 图形 0,xyR 0,xyR 2 p x 2 p x ,0 2 p F ,0 2 p F 2 20xpy p 2 20xpy p 性 质 范围 准线方程 焦点 对称轴 关于y轴对称 顶点 O（0，0） 离心率
