1、第二十七章第二十七章27.2.7 27.2.7 相似三角形的性质相似三角形的性质人教版数学九年级下册1.1.理解并掌握相似三角形及相似多边理解并掌握相似三角形及相似多边形的周长和面积性质形的周长和面积性质.2.2.能够运用相似三角形及相似多边形能够运用相似三角形及相似多边形的周长和面积性质解决相关问题的周长和面积性质解决相关问题.学习目标学习目标(1)什么叫相似三角形？什么叫相似三角形？对应角相等、对应边成比例的三角形，叫做对应角相等、对应边成比例的三角形，叫做相似相似三角形三角形.(2)如何判定两个三角形相似？如何判定两个三角形相似？定义；定义；预备定理预备定理(平行平行)；三边对应成比例；
2、三边对应成比例；两个角对应相等；两个角对应相等；两边对应成比例，且夹角相等；两边对应成比例，且夹角相等；直角三角形（直角三角形（HL)复习导入复习导入1知识点知识点相似三角形对应线段的比相似三角形对应线段的比 三角形中有各种各样的几何量，例如三条边的长三角形中有各种各样的几何量，例如三条边的长度，三个内角的度数，高、中线、角平分线的长度，度，三个内角的度数，高、中线、角平分线的长度，以及周长、面积等如果两个三角形相似，那么它们以及周长、面积等如果两个三角形相似，那么它们的这些几何量之间有什么关系呢？的这些几何量之间有什么关系呢？问问 题题合作探究合作探究探究：探究：如图，如图，ABCABC，相
3、似比为，相似比为k，它们对应高、，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？对应中线、对应角平分线的比各是多少？如图，分别作如图，分别作ABC和和 ABC的对应高的对应高AD和和A D.ABCABC，B=B.又又 ABD和和ABD都是直角三角形，都是直角三角形，ABD ABD.类似地，可以证明相似三角形对应中类似地，可以证明相似三角形对应中 线的比、线的比、对应角平分线的比也等于对应角平分线的比也等于 k.ADABkA DA B 这样，我们得到：这样，我们得到：相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比角平分线的比都等于相似比
4、.一般地，我们有：一般地，我们有：相似三角形对应线段的比等于相似比相似三角形对应线段的比等于相似比.新知小结新知小结例例1 如图，在如图，在ABC中，中，AD是是BC边上的高，矩形边上的高，矩形 EFGH内接于内接于ABC，且长边，且长边FG在在BC上，矩上，矩 形相邻两边的比为形相邻两边的比为1 2，若，若BC30 cm，AD 10 cm，求矩形，求矩形EFGH的周长的周长合作探究合作探究导引：导引：由四边形由四边形EFGH为矩形，得为矩形，得EHBC，所以，所以AEH 与与ABC相似，根据相似三角形对应高的比等于相相似，根据相似三角形对应高的比等于相 似比可求出似比可求出HG的长，进而求出
5、的长，进而求出EH的长，即可求得的长，即可求得 矩形矩形EFGH的周长的周长解：解：设设HGx cm，则，则EH2x cm.易得易得APEH.AD10 cm，AP(10 x)cm.四边形四边形EFGH为矩形，为矩形，EHBC，AEH ABC 解得解得x=6HG6 cm，EH12 cm.矩形矩形EFGH的周长为的周长为36 cm.102,.1030APEHxxADBC即即三角形中有各种各样的几何量，例如三条边的长6 cm.【中考南宁】有3个正方形按如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1：S2等于()A1 4 B4 1相似三角形面积的比等于_.周长之比为()如图，已知DEBC，AB
6、=30 m，BD=18 m，ABC与DEF的周长比为()相似三角形周长和面积的比ADEABC，A1：2【中考南宁】有3个正方形按如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1：S2等于()ABC的周长=ABACBC，导引：由四边形EFGH为矩形，得EHBC，所以AEH30，CDAB于点D，则BCD与ABC的【中考绥化】如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知SAEF4，则下列结论：矩形EFGH的周长为36 cm.导引：由四边形EFGH为矩形，得EHBC，所以AEHD1：52、相似三角形对应边上的高、对应边上的中线、相似三角形中对应线
7、段的比等于相似比，其中相似三角形中对应线段的比等于相似比，其中“对应线段对应线段”除对应边外，还有对应边上的高、中除对应边外，还有对应边上的高、中线，对应角的平分线线，对应角的平分线新知小结新知小结如图，如图，ABC 与与ABC相似，相似，AD，BE 是是 ABC 的高，的高，AD，BE是是ABC的高，求证的高，求证.ADBEA DB E ABCABC，AD，AD分别是分别是ABC，ABC的高，的高，又又BE，BE分别是分别是ABC，ABC的高，的高，.ADABA DA B 证明：证明：.BEABB EA B .ADBEA DB E 巩固新知巩固新知2 已知已知ABCABC，BD和和BD分别是
8、两个分别是两个 三角形对应角的平分线，且三角形对应角的平分线，且AC AC2 3，若若BD4 cm，则，则BD的长是的长是()A3 cm B4 cm C6 cm D8 cmC3 【中考中考重庆重庆A卷卷】若若ABCDEF，相似比，相似比 为为3 2，则对应高的比为，则对应高的比为()A3 2 B3 5 C9 4 D4 9A2知识点知识点相似三角形周长和面积的比相似三角形周长和面积的比 某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题，马路某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题，马路旁边原有一个面积为旁边原有一个面积为100平方米，周长为平方米，周长为80米的三角形绿米的三角形绿化地，由于马路拓宽，绿
9、地被削化地，由于马路拓宽，绿地被削去了一个角，变成了一个梯形，去了一个角，变成了一个梯形，原绿化地一边原绿化地一边AB的长由原来的的长由原来的30米缩短成米缩短成18米米(如图如图)现在的现在的问题是：问题是：它的周长是多少？它的周长是多少？问问 题题合作探究合作探究解答：解答：将上面生活中的问题转化为数学问题是：将上面生活中的问题转化为数学问题是：如图，已知如图，已知DEBC，AB=30 m，BD=18 m，ABC 的周长为的周长为80 m，求，求ADE的周长的周长.DEBC，ADE=B，AED=C，ADEABC，由比例的性质可得，由比例的性质可得，而而ADE 的周长的周长=ADAEDE,A
10、BC的周长的周长=ABACBC，ADE 的周长的周长=32 m.,ADAEDEABACBC,ADAEDEADABACBCAB 30 18,8030ADE 的的周周长长 从以上解答过程中可以看出：相似三角形的周从以上解答过程中可以看出：相似三角形的周长比等于相似比长比等于相似比.新知小结新知小结例例2 已知两个相似三角形的最短边分别为已知两个相似三角形的最短边分别为9 cm和和 6 cm.若它们的周长之和为若它们的周长之和为60 cm，则这两个，则这两个 三角形的周长分别是多少？三角形的周长分别是多少？导引：导引：两个相似三角形的最短边就是一组对应边，两个相似三角形的最短边就是一组对应边，由此可
11、确定相似比，进而根据已知条件，解由此可确定相似比，进而根据已知条件，解 以一个三角形周长为未知数的方程即可以一个三角形周长为未知数的方程即可合作探究合作探究解：解：设设ABCA1B1C1，且，且ABC中的最短边中的最短边 AC9 cm，A1B1C1中的最短边中的最短边A1C16 cm.则则 ABC和和A1B1C1的相似比为的相似比为 设设ABC的周长为的周长为x cm，则则A1B1C1的周长为的周长为(60 x)cm.ABC的周长为的周长为36 cm，A1B1C1的周长为的周长为24 cm.1193,62ACAC3.23,602xx 解得解得x36，60 x24.相似三角形周长的比等于相似比在
12、解题时，如相似三角形周长的比等于相似比在解题时，如果是相似图形，求周长就常用到周长比等于相似比果是相似图形，求周长就常用到周长比等于相似比.新知小结新知小结1 (中考中考重庆重庆)ABC与与DEF的相似比为的相似比为1 4，则，则 ABC与与DEF的周长比为的周长比为()A1 2 B1 3 C1 4 D1 16C巩固新知巩固新知如图，在如图，在RtABC中，中，ACB90，A 30，CDAB于点于点D，则，则BCD与与ABC的的 周长之比为周长之比为()A1：2 B1：3 C1：4 D1：5A相似三角形面积的比与相似比有什么关系？相似三角形面积的比与相似比有什么关系？如图，由前面的结论，我们有
13、如图，由前面的结论，我们有问问 题题212.12ABCA B CBC ADSBCADk kkSB CA DB CA D 例例3如图，在如图，在ABC和和DEF 中，中，AB=2DE，AC=2DF，A=D 若若ABC的边的边BC上的高为上的高为6，面积为面积为 ，求，求DEF的边的边EF 上的高和面积上的高和面积12 5解：解：在在ABC和和DEF中，中，AB=2DE，AC=2DF,又又 D=A，DEFABC，DEF 与与ABC 的相似比为的相似比为 ABC的边的边BC上的高为上的高为6，面积为，面积为 DEF的边的边EF上的高为上的高为 面积为面积为1.2DEDFABAC1.212 5.163
14、,22112 53 5.2相似三角形周长和面积的比一般地，我们有：易错点：忽略相似三角形性质的适用条件.对应角平分线的比都等于_.以及周长、面积等如果两个三角形相似，那么它们【中考南宁】有3个正方形按如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1：S2等于()DEFABC，DEF 与ABC 的相似比为相似三角形周长和面积的比A1：2相似三角形对应线段的比等于相似比.导引：由四边形EFGH为矩形，得EHBC，所以AEH易错点：忽略相似三角形性质的适用条件.这样，我们得到：导引：由四边形EFGH为矩形，得EHBC，所以AEH的这些几何量之间有什么关系呢？果是相似图形，求周长就常用到周长比等
15、于相似比.A1：2去了一个角，变成了一个梯形，而ADE 的周长=ADAEDE,度，三个内角的度数，高、中线、角平分线的长度，利用相似比求周长和面积时，先判定两个三角形利用相似比求周长和面积时，先判定两个三角形相似，然后找准相似比，利用相似，然后找准相似比，利用“相似三角形周长的比相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方”解题警示：不要误认为面积的比等于相似比解题警示：不要误认为面积的比等于相似比新知小结新知小结1 判断题（正确的画判断题（正确的画“”，错误的画，错误的画“”）.(1)一个三角形的各边长扩大为原来的一个三角形的
16、各边长扩大为原来的5倍，这个三倍，这个三角形的角平分线也扩大为原来的角形的角平分线也扩大为原来的5倍；倍；（）(2)一个三角形的各边长扩大为原来的一个三角形的各边长扩大为原来的9倍，这个三倍，这个三角形的面积也扩大为原来的角形的面积也扩大为原来的9倍倍.（）巩固新知巩固新知【中考中考重庆重庆B卷卷】已知已知ABCDEF，且相似，且相似比为比为1 2，则，则ABC与与DEF的面积比为的面积比为()A1 4 B4 1 C1 2 D2 12A【中考中考南宁南宁】有有3个正方形按如图所示放置，阴影个正方形按如图所示放置，阴影部分的面积依次记为部分的面积依次记为S1，S2，则，则S1：S2等于等于()A
17、1：B1：2 C2：3 D4：923D【中考中考绥化绥化】如图，在】如图，在 ABCD中，中，AC，BD相交相交于点于点O，点，点E是是OA的中点，连接的中点，连接BE并延长交并延长交AD于于点点F，已知，已知SAEF4，则下列结论：，则下列结论：SBCE36；SABE12；AEFACD.其中一定正确的是其中一定正确的是()A BC D41;2AFFD D【中考中考菏泽菏泽】如图，如图，ABC与与ABC都是等腰三都是等腰三角形，且角形，且ABAC5，AB AC3，若，若BB90，则，则ABC与与ABC的面积比为的面积比为()A25：9 B5：3 C.D5：53：5 53 3A 1、相似三角形、
18、相似三角形对应边成对应边成_，对应角，对应角_.2、相似三角形、相似三角形对应边上的高、对应边上的中线、对应边上的高、对应边上的中线、对应角平分线的比都等于对应角平分线的比都等于_.3、相似三角形、相似三角形周长的比等于周长的比等于_，相似三角形面积的比等于相似三角形面积的比等于_.相似比的平方相似比的平方相似三角形的性质：相似三角形的性质：比例比例相等相等相似比相似比相似比相似比1知识小结知识小结归纳新知归纳新知类似地，可以证明相似三角形对应中 线的比、从以上解答过程中可以看出：相似三角形的周 AB=2DE，AC=2DF,而ADE 的周长=ADAEDE,相似，然后找准相似比，利用“相似三角形
19、周长的比【中考南宁】有3个正方形按如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1：S2等于()A3 cm B4 cm C6 cm D8 cm导引：由四边形EFGH为矩形，得EHBC，所以AEH如图，已知DEBC，AB=30 m，BD=18 m，相似三角形周长和面积的比相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应易错点：忽略相似三角形性质的适用条件.易错点：忽略相似三角形性质的适用条件.【中考绥化】如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知SAEF4，则下列结论：ABCABC，AD，AD分别是ABC，ABC的高，相似三角形周长和面积的比导引
20、：两个相似三角形的最短边就是一组对应边，如图，在ABC中，DE与BC平行，SADE S梯形BCED1 4，求AD DB.A3 cm B4 cm C6 cm D8 cm形相邻两边的比为1 2，若BC30 cm，AD如图，在如图，在ABC中，中，DE与与BC平行，平行，SADE S梯形梯形BCED1 4，求求AD DB.2易错小结易错小结解：解：因为因为SADE S梯形梯形BCED1 4，所以，所以SADE SABC1 5.因为因为DEBC，所以，所以ADEABC.所以所以所以所以1.5ADAB 151.451ADDB 易错点：易错点：忽略相似三角形性质的适用条件忽略相似三角形性质的适用条件.跳出
21、误区：跳出误区：此题易错计算为此题易错计算为AD DB1 2，要求，要求AD DB，关键是求，关键是求SADE SABC，根据三角形的面积，根据三角形的面积比得出线段的比，从而得出比得出线段的比，从而得出AD与与DB的比的比相似比相似比相似比相似比课后练习课后练习CAB相似比相似比相似比的平方相似比的平方BABCB【答案答案】A【答案答案】B三角形的周长分别是多少？对应角相等、对应边成比例的三角形，叫做相似三角形.四边形EFGH为矩形，EHBC，相似三角形面积的比等于_.导引：由四边形EFGH为矩形，得EHBC，所以AEH四边形EFGH为矩形，EHBC，30，CDAB于点D，则BCD与ABC的 DEFABC，DEF 与ABC 的相似比为的这些几何量之间有什么关系呢？【中考绥化】如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知SAEF4，则下列结论：一般地，我们有：若BD4 cm，则BD的长是()去了一个角，变成了一个梯形，3 【中考重庆A卷】若ABCDEF，相似比度，三个内角的度数，高、中线、角平分线的长度，相似三角形对应线段的比等于相似比.2DF，A=D 若ABC的边BC上的高为6，解题警示：不要误认为面积的比等于相似比ABCABC，AD，AD分别是ABC，ABC的高，果是相似图形，求周长就常用到周长比等于相似比.再见再见
