1、第一次联合诊断检测（数学）参考答案 第 1 页 共 4 页 2022 年普通高等学校招生全国统一考试 高三第一次联合诊断检测 数学参考答案 一、选择题 1-8 CABCBDBC第 6 题解析：3532，3ln35ln2，ln3ln253，即bc；lneae，23e，32ee，3lnln2ee，lnln23ee，即ac，bca 第 7 题解析：由于一个城市的总人口数很大，而总体阳性率较低，所以我们可以认为阳性个体均匀分布，若进行10合1混检，对任意一个10人组进行检测，总检测次数有两种结果：1次和11次，概率分别为10(1)p和101(1)p，故这10人组检测次数的期望为1011 10(1)p，
2、相当于每个个体平均检测101.1(1)p次，同理，采用5合1混检，每个个体平均检测51.2(1)p次，1051.1(1)1.1(1 10)0.1 100.10.00514():()1.2(1)1.2(1 5)0.250.20.002527pppE XE Yppp第 8 题解析：当(0 1x，时，()ln1fxx，故()f x在1(0)e，上单减，在1(1e，上单增，11()1eef，(1)1f，0 x 时()1f x，当1x 时1()()0f xfax，故()f x在(1 e)，上单增，在(e)，上单减，1x 时()f xa，x 时()f xa，故()2f x 有两个不等实根只需2(e)af，
3、即12(1)2ea 二、选择题9BCD 10BCD 11AD 12AC 第 11 题解析：取9n 得210990aa，故910aa；取10n 得2111010aa，与前式相减得11919aa；由题知，2221(21)nnaan，2212(2)nnaan，22221(21)nnaan，得212141nnaan，得2222841nnaann，357946810()()()()aaaaaaaa为定值，题中条件只限制211aa，所以12aa的值不确定，故前10项和无法确定；前20项中奇数项有10项，相邻两项的和确定，故这10项 的和确定，同理10个偶数项的和确定，故前20项和为定值 第 12 题解析：
4、选项 A，过点P与直线AB相交的直线必在平面PAB内，过点P与直线11AD相交的直线必在平面11PAD内，故满足条件的直线必为两平面的交线，显然两平面有唯一交线，A 正确；选项 B，若存在一条直线与11AB AD，都平行，则11/ABAD，矛盾，B 不正确；C 选项，因为11/ADAD，若11lAD则lAD，若lAB，则l 平面ABCD，显然满足条件的直线唯一，即1CC，C第一次联合诊断检测（数学）参考答案 第 2 页 共 4 页 正确；D 选项，过取11BBDD，的中点E F，连PE PF，则PE/11ADPF，/AB，若l与直线11AB AD，所成角为45，则l与PE PF，所成角为45，
5、显然EPF的角平分线及其外角平分线均符合，D 不正确 三、填空题13e 1422 1556 1626第 15 题解析：由题知，有3次运送2颗、有5次运送1颗，而卫星无区别，故只需确定8次中是哪3次运送2颗，共有3856C 种情况 第 16 题解析：22|2|12|PQPOPAPO，设()P x y，则2222(1)(1)12()xyxy，化简得22(1)(1)3xy，故点P轨迹是以(11)，为圆心、3为半径的圆，2|1PQPA，|PA的最大值为2 23，故|PQ的最大值为 2(2 23)126 四、解答题17（10 分）解：（1）222222 32 3sinsin(sinsinsin)sins
6、in33ABCABCabcabC，即2 32cossin3abCabC，即tan3C ，故23C；5 分（2）由余弦定理知22195223()2bbbb，2b，7 分 由CBDCADABCSSS知，1112sin3sin3sin232323b CDb CDbb，即3342CDb 10 分 18（12 分）解：（1）取1BB中点N，连接MNAN，则/MNBC，1BB 平面ABC，1BBBC，又BCBA，BC平面11ABB A，故MN 平面11ABB A，AN即为AM在平面11ABB A内的射影，又1AMBA，1BAAN，3 分 故1RtRtABNA AB，1BNABABAA，而4 13AB ，1
7、26AAAB；6 分 NAC1B1C1ABM第一次联合诊断检测（数学）参考答案 第 3 页 共 4 页（2）连接1AB，由（1）知11BC 平面11ABB A，故11C AB为直线1AC与平面11ABB A所成角，9 分 16410AC，111BC，111sin10C AB，即所求角的正弦值为101012 分19（12 分）解：（1）13nnaan，1233nnaan，两式相减得23nnaa，故2na是公差为3的等差数列；5 分（2）由题知123aa，22a，若na为等差数列，则213113()22aaaa，故3212 即12，7 分 此时2121212333(1)32nnaaananaa，2
8、21212133(1)3(1)2nnaaananaa，即对*n N有132nnaa，9 分 故 na为等差数列，且3122nan，21()31244nnn aaSnn 12 分 20（12 分）解：（1）考虑两种情况：甲接下来选择回答B类问题并取得复赛资格的概率为1312231()2443372，甲接下来选择回答C类问题并取得复赛资格的概率为1213341()2334496，故所求概率为31412477296288；5 分（2）由于甲回答A B，两类问题的概率相同，故只需考虑ABC、ACB、CAB这三种回答顺序，按ABC顺序回答，取得复赛资格的概率为3312231()4443348，7 分按A
9、CB顺序回答，取得复赛资格的概率为3213341()4334464，9 分 按CAB顺序回答，取得复赛资格的概率为2313319()3444432，11 分 314119486432，故甲按ABC或BAC顺序回答问题取得复赛资格的概率最大12 分 21（12 分）解：（1）由题意可得，点()22aa，在椭圆上，将点()22aa，代入椭圆方程得22144ab1+，故3ba，2cb，63cea；4 分（2）由（1）知222:33C xyb，3(0)2Db，设11()M xy，22()N xy，直线3:2l xmyb，代入椭圆方程得2229(3)304mymbyb，由D在椭圆内部知必有0，则2121
10、22293433bmbyyy ymm，6 分 第一次联合诊断检测（数学）参考答案 第 4 页 共 4 页 由题知122yy，故2233mbym，22229423bym，8 分 由得22223192(3)4m bmb，即295m，故l的斜率为53 12 分 22（12 分）解：（1）由题知221ln0()1ln()0 xxxxf xxxxx，332110()2110 xxxfxxxx，即3232()xxfxx(0)x，令32()2g xxx，则22()323()3g xxxx x，故()g x在2()3，和(0)，上单增，在2(0)3，上单减，又2()03g，(1)0g，所以()01g xx，(
11、)00g xx或01x，从而()01fxx或0 x，()001fxx，()f x在(0)，和(1)，上单增，在(0 1)，上单减；5 分（2）由题知221ln0()1ln()0 xaxxxf xxaxxx，33210()210axxxfxaxxx，即212()()fxxaxx，令22()h xxax，则34()1h xx，()00h xx或134x ，13()040h xx，即()h x在13(4)，和(0)，上单增，在13(40)，上单减，0 x 且0 x 时()h x，x 时()h x，()h x在(0)，上唯一零点，记为0 x，当0 xx时，()0h x，()0fx，()f x单增，当0
12、0 xx时，()0h x，()0fx，()f x单减，0 x为()f x的极小值点，由题知()f x有唯一极值点，故()f x在(0)，上无极值点，8 分 1333(4)2ha，x 时()h x，0 x 且0 x 时()h x，故当13(4)0h 时()0h x，()0fx，()f x在(0)，上单增，()f x在(0)，上无极值点；10 分 当13(4)0h 时()h x在13(4)，和13(40)，内各存在一个零点，分别记为12xx，则 1xx或2xx时()0h x，()0fx，()f x单增，12xxx时()0h x，()0fx，()f x单减，所以1x为()f x的极大值点，2x为()f x的极小值点，不合题意，舍去；综上，13(4)0h 即332a 12 分 2
