1、宇航推进系-流体力学4.1欧拉方法和拉格朗日方法v4.1.1拉格朗日方法v4.1.2欧拉方法随体导数4.1欧拉方法和拉格朗日方法4.1.1拉格朗日方法v拉格朗日方法，类似于理论力学中把质点作为研究对象.v着眼于流体质点，设法描述出每一个流体质点自始至终的运动过程，即它们的位置随时间变化的规律。如果知道了每一个流体质点的运动状况，那整个流体运动的情况也就知道了。v如下图所示，需要描述出各个质点的运动轨迹4.1.1拉格朗日方法ABCDt1时刻ABCDt2时刻4.1.1拉格朗日方法v具体表示方法:v一、用流体质点在t0时的位置标识不同的质点t=t0时流体质点的坐标是(a,b,c)a,b,c可以是直角
2、坐标的(x0,y0,z0),也可以是曲线坐标（q1,q2,q3）不同的a,b,c代表不同的质点v二、流体质点的运动规律数学上可表为下式：(,)rr a b c t(,)a b c t拉称为格朗日变数4.1.1拉格朗日方法v在直角坐标中展开(,)rr a b c t(,)(,)(,)xx a b c tyy a b c tzz a b c t4.1.1拉格朗日方法(,)xx a b c tVt(,)yy a b c tVt(,)zz a b c tVt(,)r a b c tVt流体质点的速度4.1.1拉格朗日方法22(,)xxx a b c taVt22(,)yyy a b c taVt22(
3、,)zzz a b c taVt22(,)r a b c taVt流体质点的加速度4.1.1拉格朗日方法v拉格朗日方法虽然很自然,也很直观,但实现起来却非常困难:无法对成千上万的流体质点进行跟踪.v实际所关心的往往是空间固定区域内的物体与流体的作用.v实验测量的也往往是空间固定点的参数.4.1.2欧拉法v欧拉法着眼于空间点，设在空间中的每一个点上描述出流体运动随时间的变化状况。如果每一点流体运动都已知道，则整个流体的运动状况也就清楚了。v在拉格朗日法中，描述的是质点的位置坐标,进而得到速度;而的欧拉法中则是直接描述空间点上流体质点的速度向量。4.1.2欧拉法v欧拉法中的变元是空间坐标和时间变量
4、(,)vv r t(,)yyVVx y z t(,)xxVV x y z t(,)zzVV x y z t在直角坐标系中:(,)x y z t(,)pp x y z t(,)TT x y z t密度温度压强速度(,)x y z t 称为欧拉变数4.1.2欧拉法v欧拉法中的变元是空间坐标和时间变量，与拉格朗日法最大的区别是欧拉法中的定义得到的的函数都是场函数，可以广泛的利用场论的知识4.1.2欧拉法v在气象观测中广泛使用欧拉法。在世界各地（相当于空间点）设立星罗棋布的气象站。根据统一时间各气象站把同一时间观测到的气象要素迅速报到规定的通讯中心，然后发至世界各地，绘制成同一时刻的气象图，据此做出天
5、气预报。4.1.2欧拉法v某时刻位于一个空间点上的流体质点的密度、压力、温度就是流场对应点、对应时刻的密度场、压强场、温度场上的对应值。v在流场中，一点上流体质点的性质与该点的流场性质是相同的。4.1.2随体导数,VV r t定义流速场中的加速度:.MM如图点的加速度就是此时过点的流体质点的加速度.通过流场中的加速度的定义说明什么是随体导数4.1.2随体导数0(,)(,)limtDVV M ttV M tDtt,V M tV M ttMt 设此质点在场内运动,其运动轨迹为L,在t时刻位于M点,速度为过了后 该质点运动到点 速度为根据定义 加速度的表达式为4.1.2随体导数0(,)(,)limt
6、DVV M ttV M tDtt DDt这里用表示这种导数不同于牛顿定律对速度的简单导数速度的变化有两方面的原因:,MM一方面的原因 质点由点运动至点时时间过去了 t,由于场的时间非定常性引起速度的变化,MM另一方面 质点由点运动至点时 位置发生了变化,由于场的空间不均匀性引起速度的变化4.1.2随体导数0(,)(,)limtV M ttV M tt 0(,)(,)limtV M ttV M tt 0(,)(,)limtV M tV M tt 0limtMMt 0(,)(,)limMMV M tV M tMM0(,)(,)limtDVV M ttV M tDtt 按照时间和空间引起速度变化,把
7、极限分为两部分场的非定常性场的不均匀性4.1.2随体导数0(,)(,)limtDVV M ttV M tDtt 0limtMMt 0(,)(,)limMMV M tV M tMM0tMM 第一项当时0(,)(,)(,)limtV M ttV M tV M ttt 这一项表示场的非定常性引起速度的局部导数或当变化,称为地导数.4.1.2随体导数MM第二项当时00(,)(,)limlimtMMMMV M tV M ttMM(,)V M tVs它代表场的不均匀性引起的速度变迁移导数或对化,称为流导数.0(,)(,)limtDVV M ttV M tDtt 0limtMMt 0(,)(,)limMMV
8、 M tV M tMMVSs其中代表沿 方向移动单位长度引起的速度变化.4.1.2随体导数DVVVVDttsVs总的加速度即为局部导数与迁移导数之和,称为随体导数.()VVV sVs所以sL其中 是 上单位切矢量.()DVVVVDtt或称为随流导数、物质导数（substantial derivative）、质点导数（particle derivative），也称全导数。()sV()VV4.1.2随体导数()DVVVVDttxxDVVDttyyyyyxyzDVVVVVVVVDttxyzzzzzzxyzDVVVVVVVVDttxyzxxVVxxyVVyxzVVz在直角坐标系中展开为:随体加速度=当
9、地加速度+迁移加速度4.1.2随体导数:()r rz zDVDaV iV iV iDtDt 加速度在柱坐标情况下,由于切向单位矢量和法向单位矢量的方向是变化的,全导数的展开式比直角坐系下要复杂irri()()rriiii单位矢量表示为转角的函数:，()()rrriiiiiir 存在导数关系:，rrzzrrzzDVDiDVDiDVDiiViViVDtDtDtDtDtDt4.1.2随体导数2()()rrzrzVDVVVDVDViiiDtrDtrDt2:rrVDVaDtr向心加速度:rDVVVaDtr附加加速度:()rrzrVDiVVViiDttrrzr其中()rzrDiVVVViiDttrrzr
10、2:rrzrrzV VDVVDVDVaiiiiiDtrDtrDt所以irri4.1.2随体导数()DaaVaDtt()DVDtt()daaVadtt()dVdtt.ddt今后在不至引起混淆的时侯,用表示全导数对速度求导,分为局部导数和迁移导数之和的做法,也适用于对其它量求导.()daaVadtt()dVdtt?例题DVDtt求质点的密度变化率.222,.A xyztVxtiytjztkA已知密度场速度场为求流体质点的密度变化率 其中 为常数222222A xyztxtiytjztkA xyztt2222A xyzxtiytjztkA xiyjzk t222212A xyzt思考题0;0;0DDtt说明的物理意义表示流体质点在运动过程中密度不变.0t表示该点密度不随时间变，各点的密度可以不同.0DDt0 均质流体.在任何时侯，流场内的密度是均一的，但并不意味着任何时侯密度保持不变，而是整个流场密度同步变化.
