1、1.知识梳理 2.例题分析 3.练习巩固 4拓展延伸腰腰底边底边底角底角底角底角顶角顶角ABC定义：定义：有两条边相等的三角形有两条边相等的三角形.性质：性质：AB=ACAB=AC B=C B=C 等腰三角形是轴对称图形等腰三角形是轴对称图形D12ADADBC,BD=DC,BC,BD=DC,1=21=2等腰三角形等腰三角形判定判定:定义：两条边相等。定义：两条边相等。(AB=AC)有两个角相等的三角形是等腰三角形。有两个角相等的三角形是等腰三角形。(B=C)1.1.在在ABCABC中中,AB=BC,AB=BC,B=70B=70,那么那么C=_.C=_.4.4.在在ABCABC中中,AC=AB,
2、AD,AC=AB,AD是是ABCABC的角平的角平分线分线,已知已知BC=7,BC=7,B=63B=63.则则BD=_,BD=_,ADB=_,ADB=_,BAC=_.BAC=_.55 ABCD2.2.等腰三角形顶角和一个底角之和为等腰三角形顶角和一个底角之和为100100，则顶角度数为则顶角度数为_。3.3.等腰三角形两边长为等腰三角形两边长为4 4、6 6，这个三角形周长为这个三角形周长为_。2014或163.59054ABC定义：定义：三条边都相等的三角形三条边都相等的三角形性质：性质：AB=ACAB=ACBCBC B=C=A=60 B=C=A=60 三个三个三线合一三线合一判定：判定：A
3、B=ACAB=ACBCBC B=C=A=60 B=C=A=60 有一个角是有一个角是60的等腰三角形。的等腰三角形。等边三角形（正三角形）等边三角形（正三角形）1 1、满足下列条件的三角形不一定、满足下列条件的三角形不一定 是等边三角形的是（是等边三角形的是（）（A A）在）在ABCABC中，中，AB=BC=ACAB=BC=AC（B B）在）在ABCABC中，中，A=B=60A=B=60（C C）在）在ABCABC中，中，AB=BCAB=BC，A=60A=60（D D）在）在ABCABC中，中，A=60A=60 D等腰三角形的性质与判定等腰三角形的性质与判定1.性质性质(1)边：边：等腰三角形
4、的两腰相等。等腰三角形的两腰相等。(2)角：角：等腰三角形的两个底角相等。等腰三角形的两个底角相等。(在同一个三角形中在同一个三角形中,等边对等角等边对等角)(3)对称性：对称性：等腰三角形是轴对称图形等腰三角形是轴对称图形,顶角平分线所在直线是它的对称轴顶角平分线所在直线是它的对称轴.(4)重要线段：重要线段：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高 互相重合。互相重合。(等腰三角形三线合一性质等腰三角形三线合一性质)2.判定判定定义：定义：有两边相等的三角形是等腰三角形有两边相等的三角形是等腰三角形。判定定理：判定定理：有两个角相等的
5、三角形是等腰三角形。有两个角相等的三角形是等腰三角形。(在同一个三角形中在同一个三角形中,等角对等边等角对等边)3.等边三角形等边三角形:(1)三个角都相等的三角形是等边三角形。三个角都相等的三角形是等边三角形。(2)有一个角等于有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形。的等腰三角形是等边三角形。（1）计算角的度数利用等腰三角形的性质，结合三角形内角和定理及推论计算角的度数，是等腰三角形性质的重要应用。已知角的度数，求其它角的度数已知条件中有较多的等腰三角形（此时往往设法用未知数表示图中的角，从中得到含这些未知数的方程或方程组）（2）证明线段或角相等等腰三角形性质与判定的应用以等腰三角形为条件
6、时的常用辅助线:如图：若AB=AC作ADBC于D，必有结论:1=2，BD=DC若BD=DC，连结AD，必有结论：1=2，ADBC作AD平分BAC必有结论：ADBC，BD=DC作辅助线时，一定要作满足其中一个性质的辅助线，然后证出其它两个性质，不能这样作：作ADBC，使1=2.ABCD1 2例例1.1.等腰三角形两个内角之比为等腰三角形两个内角之比为4:14:1，求顶角的度数求顶角的度数.说明:因为等腰三角形的两底角相等因为等腰三角形的两底角相等,两个内两个内角的比为角的比为4:1,尚未指明哪两个角尚未指明哪两个角,可能是顶角可能是顶角与底角的比与底角的比,也可能是底角与顶角的比也可能是底角与顶
7、角的比,所以分所以分两种情况求解两种情况求解.此类题未说明哪两个角的比此类题未说明哪两个角的比,解题时应审解题时应审清题意清题意,注意分类讨论注意分类讨论.例例2.如图，已知在如图，已知在ABC中，中，AB=AC，BDAC于于D，CEAB于于E，BD与与CE相交于相交于M点。点。求证：求证：BM=CM。ABCD12EM说明：本题易习惯性地说明：本题易习惯性地用全等来证明，虽然也用全等来证明，虽然也可以证明，但过程较复可以证明，但过程较复杂，应当多加强等腰三杂，应当多加强等腰三角形的性质和判定定理角形的性质和判定定理的应用。的应用。证明：证明：AB=AC ABC=ACB （在同一个三角形（在同一
8、个三角形 中等边对等角）中等边对等角）BDAC于于D，CEAB于于E BEC=CDB=90 1+ACB=90，2+ABC=90 （直角三角形两个锐角互余）（直角三角形两个锐角互余）1=2（等角的余角相等）（等角的余角相等）BM=CM （在同一个三角形中等角对等边）（在同一个三角形中等角对等边）例例3.3.如图，在等边如图，在等边ABCABC中，中，AF=BD=CEAF=BD=CE，请说明请说明DEFDEF也是等边三角形的理由也是等边三角形的理由.解：解：ABC是等边三角形是等边三角形AC=BC，A=CCE=BDBCBD=ACCE 即即CD=AE在在AEF和和CDE中中AEF CDE（SAS）E
9、F=DE同理可证同理可证EF=DFEF=DE=DFDEF是等边三角形是等边三角形CEAFCACDAEABCDEF说明：说明：证明等边三角形有三种思路：证明等边三角形有三种思路：证明三边相等证明三边相等证明三角相等证明三角相等证明三角形是有一个角为证明三角形是有一个角为60的的等腰三角形。等腰三角形。具体问题中可利用不同的方式具体问题中可利用不同的方式进行思考求解。进行思考求解。例例4.4.已知等腰三角形一腰上的中线将三角形周长已知等腰三角形一腰上的中线将三角形周长分成分成2:12:1两部分，已知三角形底边长为两部分，已知三角形底边长为5 5，求腰长？，求腰长？解：如图，令解：如图，令CDx，则
10、，则ADx，AB2x底边底边BC5BCCD5x ABAD3x(5+x)：3x2:1或或3x：(5+x)=2:1xx2x51.下列结论叙述正确的个数为（下列结论叙述正确的个数为（）（1）等腰三角形高、中）等腰三角形高、中 线、角平分线重合；线、角平分线重合；（2）等腰三角形两底角的外角相等；）等腰三角形两底角的外角相等；（3）等腰三角形有且只有一条对称轴；）等腰三角形有且只有一条对称轴；（4）有一个角等于）有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形。的等腰三角形是等边三角形。（A）0个个 （B）1个个 （C）2个个 （D）3个个2.2.如图，在如图，在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，1=
11、21=2，则则ADAD平分平分BACBAC，请说明理由。，请说明理由。ABCD123.3.如图，在如图，在ABCABC中，中，ABCABC和和ACBACB的平分线相交于的平分线相交于F F，过点，过点F F作作DE/BC,DE/BC,交交ABAB于点于点D D，交，交ACAC于点于点E E，若若DB=5DB=5，EC=4EC=4，求线段，求线段DEDE的长。的长。ABCDEF4.已知一腰和底边上的高，求作等腰三角形。分析：我们首先在草稿上画好一个示意图，然后对照此图写出分析：我们首先在草稿上画好一个示意图，然后对照此图写出已知和求作并构思整个作图过程已知和求作并构思整个作图过程已知：线段已知：
12、线段a、h求作：求作：ABC，使，使AB=AC=a，高，高AD=h作法：作法：1、作、作PQMN，垂足为，垂足为D2、在、在DM上截取上截取DA=h3、以点、以点A为圆心，以为圆心，以a为半径作弧，为半径作弧，交交PQ于点于点B、C4、连结、连结AB、AC则则ABC为所求的三角形。为所求的三角形。ABCDahABCDMNhaPQ5.已知ABC中AB=AC，AB垂直平分线交AC于E，交AB于D，连结BE，若A=50，EBC=_。6.ABC中，AB=AC，ADBC于D，若ABC的周长为50，ABD的周长为40，则AD=_。7.若等腰三角形顶角为n度，则腰上的高与底边的夹角为_。7.7.如图，线段如
13、图，线段ODOD的一个端点的一个端点O O在直线在直线a a上，以上，以ODOD为一边画等腰三角形，并且使另为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线一个顶点在直线a a上，这样的等腰三角形上，这样的等腰三角形能画多少个能画多少个?150a8 8、如图，、如图，D D是正是正ABCABC边边ACAC上的中点，上的中点，E E是是BCBC延长线上一点，且延长线上一点，且CE=CDCE=CD，请说明，请说明BD=DEBD=DE的理由的理由.AB C ED1 12 2解解:ABCABC是正三角形是正三角形 ABC=ACB=600 （）D D是是ACAC边上的中点边上的中点 1=ABC=300（）12
14、CE=CD2=E（）2+E=ACB=600（）E=300，1=EBD=DE（）9.9.已知：如图，已知：如图，C=90C=90，BC=ACBC=AC，D D、E E分别在分别在BCBC和和ACAC上，且上，且BD=CEBD=CE，M M是是ABAB的中点的中点.求证：求证：MDEMDE是等腰三角形是等腰三角形.分析分析：要证MDE是等腰三角形，只需证MD=ME。连结CM，可利用BMD CME得到结果。证明：连结证明：连结CMC=90，BC=ACA=B=45M是是AB的中点的中点CM平分平分BCA（等腰三角形顶角的平分线和底边上的中线重合）（等腰三角形顶角的平分线和底边上的中线重合）MCE=MC
15、B=BCA=45B=MCE=MCBCM=MB（在同一个三角形中等角对等边）（在同一个三角形中等角对等边）在在BDE和和CEM中中BDM CEM（SAS）MD=MEMDE是等腰三角形是等腰三角形CMBMMCEBCEBDABCDEM10.如图如图2-8-1,中，中，AB=AC，D为为AB上一点，上一点，E为为AC延长线上一点，且延长线上一点，且BD=CE，DE交交BC于于G请说明请说明DG=EG的理由的理由.思路思路 因为GDB和GEC不全等，所以考虑在GDB内作出一个与GEC全等的三角形。说明说明 本题易明显得出本题易明显得出DG和和EG所在的所在的DBG和和ECG不全等，不全等，故要构造三角形
16、的全等，本题故要构造三角形的全等，本题的另一种证法是过的另一种证法是过E作作EFBD，交交BC的延长线于的延长线于F，证明，证明DBG EFG，同学们不妨，同学们不妨试一试。试一试。11.11.如图，在如图，在RtRtABC中，中，ACB=90=900 0，CAB的平分线的平分线AD交交BC于于D，AB边上的边上的高线高线CE交交AB于于E，交，交AD于于F，求证：求证：CD=CFBACED123F分析：CD=CF1=21=B+BAD2=3+DAC3=B1=90BAD=90CADACB=90，CE是是AC边上高边上高 小小 结结 1、等腰三角形的有关概念。2、等腰三角形的识别。3、应用等腰三角
17、形的性质定理 和三线合一性质解决有关问题。4、通过习题，能总结代数法求 几何角的大小、线段长度的方法。课本第51页(目标与评定)1.知识梳理 2.例题分析 3.练习巩固 4拓展延伸直角三角形直角三角形ACB从角的方面：从角的方面：从边的方面：从边的方面：两锐角互余，即两锐角互余，即A+B=90A+B=90D直角三角形，斜边上的中线等于斜边的一半。直角三角形，斜边上的中线等于斜边的一半。ABBDADCD21直角三角形，两直角边的平方和等于斜边的平方直角三角形，两直角边的平方和等于斜边的平方abc222cba可逆可逆可逆可逆可逆可逆定义：有一个角是直角的三角形定义：有一个角是直角的三角形性质：性质
18、：1.1.RtRtABCABC中中,C=Rt,C=Rt，A:A:B=1:2,B=1:2,则则A=_.B=_.A=_.B=_.ACB30602.2.已知一个三角形的三个内角之比为已知一个三角形的三个内角之比为1 1：1 1：2 2，求，求这个三角形的三个内角的度数，并说明是什么形这个三角形的三个内角的度数，并说明是什么形状的三角形。状的三角形。等腰直角三角形等腰直角三角形ACB3.3.已知已知RtRtABCABC中，斜边上的中线中，斜边上的中线CD=5CD=5，则斜边则斜边AB=_.AB=_.(1)(1)若若A=30A=30，则，则BC=_.BC=_.D10105 5 (2)2)若若ADC=13
19、0ADC=130，则，则B=_.B=_.6565 (3)3)若若AC=8AC=8，则，则BC=_.BC=_.6 6直角三角形斜边上的中线直角三角形斜边上的中线ACBD直角三角形斜边上的高线直角三角形斜边上的高线4.4.如图如图,Rt,RtABCABC中中,C=Rt,C=Rt，CDCDABAB,(1)若A=37,则BCD=_.(2)若AC=3,BC=4,则CD=_.372.4勾股定理及其逆定理勾股定理及其逆定理5、以下列线段为边长能构成一个直角三角形、以下列线段为边长能构成一个直角三角形的是（的是（）（A）1，2，3 （B）2，3，4 （C）6，8，10 （D）4，5，6CABCD6.6.已知已
20、知ABCABC中，中，AB=AC=4.ADAB=AC=4.ADBC,BC,AD=3cmAD=3cm，则，则BC=_.BC=_.727.7.已知已知ABCABC中，中，ACB=Rt.CDACB=Rt.CDAB,AB,BC=5BC=5，CECE是斜边是斜边ABAB上的中线，上的中线，CE=,CE=,则则AB=_,AC=_,CD=_.AB=_,AC=_,CD=_.21321313121360直角三角形全等的判定方法：直角三角形全等的判定方法：ABCABC1)1)ASA,ASA,AAS AAS2)SAS2)SAS3)SSS3)SSS4)HL4)HL直角三角形特殊的全等判定方法直角三角形特殊的全等判定方
21、法“HL8.8.如图，如图，ADAD与与BCBC相交于点相交于点O O，已知，已知ADADBDBD，BCBCAC,AC=BD,AC,AC=BD,则则OA=OBOA=OB请说明理由。请说明理由。CABDO1 、满足下列条件的、满足下列条件的ABC，不是直角三角形的是：（，不是直角三角形的是：（）A、b2=a2-c2 B、C=A-B C、A：B：C=3：4：5 D、a:b:c=12:9:15 2、下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是：（、下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是：（）A、一条直角边和一个锐角分别相等、一条直角边和一个锐角分别相等 B、两条直角边对应相等、两条直角边对应相等
22、C、斜边和一条直角边对应相等、斜边和一条直角边对应相等 D、斜边和一个锐角对应相等、斜边和一个锐角对应相等AC15、在、在ABC中，中，AB=AC=10，BC=12，则则ABC的面积的面积=_。2416.在直角三角形中，斜边与较小直角边的和、差在直角三角形中，斜边与较小直角边的和、差分别是分别是8、2，则较长的直角边长为，则较长的直角边长为_.422、如图，在、如图，在RtABC中，中，A=90，BC=10，分别以，分别以AB、AC,BC为直径向外做半圆，求这三个半为直径向外做半圆，求这三个半圆的面积之和。圆的面积之和。BC4、如图，某校、如图，某校A与公路距离为与公路距离为3000米，又与该
23、公路旁上的某米，又与该公路旁上的某车站车站D的距离为的距离为5000米，现要在公路边建一个商店米，现要在公路边建一个商店C，使之与，使之与该校该校A及车站及车站D的距离相等，则商店与车站的距离约为（的距离相等，则商店与车站的距离约为（）（A）875米（米（B）3125米（米（C）3500米（米（D）3275米米CDA3、如图，一个长为、如图，一个长为25分米的梯子，斜立在一竖直的墙上，分米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距墙底端这时梯足距墙底端7分米，如果梯子的顶端沿墙下滑分米，如果梯子的顶端沿墙下滑4分米。分米。那么梯足将滑（那么梯足将滑（）（A）15分米（分米（B）9分米（分米（C）8
24、分米（分米（D）5分米分米CA例3、如图，已知四边形如图，已知四边形ABCD中，中，B=90AB=4，BC=3,AD=12，DC=13，求四边形求四边形ABCD的面积的面积ABCDABCDE3、如图已知四边形如图已知四边形ABCD中，中，A=60B=D=90，BC=3，CD=2，求，求的值的值2AB解解:连接连接ACB=90,AB=4,BC=3AC=5AD=12,DC=132AC2AD+=2CDCAD=90 S四边形四边形ABCD=34512=3621_21_21_解：延长解：延长AD、BC交于交于E A=60，B=D=90 C=30CD=CE，CD=2CE=4，又，又BC=3BE=7，由勾股
25、定理得，由勾股定理得AB=21_AE，2AB2BE+=2AB42AB=493思考：若思考：若A城与城与B地的方向保持不变，为了确保地的方向保持不变，为了确保A城不受台风城不受台风影响至少离影响至少离B地多远？地多远？解：作解：作AD BF 由已知可得：由已知可得：FBA=300 AD=1/2AB=150KM 而而 150200 所以所以A城会受到台风城会受到台风的影响的影响例例1。如图，设。如图，设A城市气象台测得台风中心，在城市气象台测得台风中心，在A城正西方向城正西方向300千米的千米的B处，正向北偏东处，正向北偏东600的的BF方向移动，距台风中心方向移动，距台风中心200千千米的范围内
26、是受台风影响的区域，那么米的范围内是受台风影响的区域，那么A城是否受到这次台风城是否受到这次台风的影响？为什么？如果你是气象员，请你算一算。的影响？为什么？如果你是气象员，请你算一算。东北FBA600D应应 用用 与与 延延 伸伸例例2、如图，已知、如图，已知AB=AD，CB=CD，AC，BD相交于点相交于点O，若若AB=5，AC=7，BD=6,求求BCD的度数的度数解：解：AB=AD点点A在线段在线段BD的中垂线上的中垂线上同理点同理点C也在也在BD的中垂线上的中垂线上ACBD且平分且平分BD BD=6BO=3AB=5由勾股定理得由勾股定理得 AO=4AC=7OC=3 BOC等腰直角三角形等
27、腰直角三角形 BCO=45同理同理DCO=45BCD=90ABDCO如图，将长、宽分别为如图，将长、宽分别为40cm,20cm的长方形玻璃裁成的长方形玻璃裁成两部分，然后拼成一个三角形，两部分，然后拼成一个三角形，（1）如何裁，拼成一个三角形？）如何裁，拼成一个三角形？（2）画出图形，并注明各边的长度；）画出图形，并注明各边的长度；（3）判断三角形形状，并说明理由。）判断三角形形状，并说明理由。ABCD40cm20cm20cm20cmABCD2、当、当BC为腰时，设为腰时，设B为顶角，分下面几种情况讨论：为顶角，分下面几种情况讨论：（1）顶角顶角B为锐角时，如图：为锐角时，如图：AD=1/2B
28、C=1/2ABADBCB=300BAC=C=1/2（1800300)=750DBAC（2）当顶角）当顶角B为钝角时，如图：为钝角时，如图：AD BC AD=1/2BC=1/2AB ABD=300 BAC=C=1/2 ABD=150 BAC的度数为的度数为900 或或750或或 150（3）当顶点）当顶点B为直角时，高为直角时，高AD与腰与腰AB重合重合则有则有AD=AB=BC，与已知矛盾，故，与已知矛盾，故B 9001、通过这节课的复习，你对直角三角形的知识有进、通过这节课的复习，你对直角三角形的知识有进一步的了解吗？又学到了关于它的哪些知识呢？一步的了解吗？又学到了关于它的哪些知识呢？2、(1),每位同学自编一道题目，能够运用有关直角每位同学自编一道题目，能够运用有关直角三角形的知识进行解答，然后同桌之间交换解题。三角形的知识进行解答，然后同桌之间交换解题。(2).完成作业本上小结完成作业本上小结.课堂小结课堂小结 和和 作业作业感谢大家观看最新学习可编辑资料
