1、 大约一千五百年前，我国古代大约一千五百年前，我国古代数学名著数学名著孙子算经孙子算经中记载着许中记载着许多有趣的数学名题多有趣的数学名题。北师大五年级数学上册 尝试与猜测今有雉兔同笼，上有三十五头，今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？下有九十四足，问雉兔各几何？zh雉：野鸡。雉：野鸡。笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有35个头，个头，从下面数，有从下面数，有94只脚。鸡和兔各有几只只脚。鸡和兔各有几只?（3）同学们先来猜一猜鸡、兔可能各有多少只？鸡和兔共有3535只，鸡和兔的脚共9494只。（1）你从中发现了哪些数学信息？（2）这道题里还
2、有隐藏的数学信息吗？每只兔有4 4只脚，每只鸡有2 2只脚。解题的关键一只鸡（一只鸡（）条腿，一只兔（）条腿，一只兔（）条腿）条腿.24一只鸡一只兔，共（一只鸡一只兔，共（）个头，（）个头，（）条腿）条腿?26鸡兔同笼，有鸡鸡兔同笼，有鸡3 3只，有兔只，有兔3 3只。只。数一数，一共有几个头？数一数，一共有几个头？数一数，一共有几条腿？数一数，一共有几条腿？头：头：3+3=6(个）个）腿：腿：32=6（条）（条）鸡鸡43=12（条）（条）兔兔 6+12=18（条）（条）鸡兔同笼，鸡兔同笼，数它们的头共有数它们的头共有2 2个，个，数它们的腿共有数它们的腿共有6 6条。条。想想有几只鸡？有几只
3、兔？想想有几只鸡？有几只兔？鸡兔同笼，鸡兔同笼，数它们的头共有数它们的头共有2 2个，个，数它们的腿共有数它们的腿共有6 6条。条。想想有几只鸡？有几只兔？想想有几只鸡？有几只兔？鸡兔同笼，鸡兔同笼，数它们的头共有数它们的头共有3 3个，个，数它们的腿共有数它们的腿共有8 8条。条。想想有几只鸡？有几只兔？想想有几只鸡？有几只兔？鸡兔同笼，鸡兔同笼，数它们的头共有数它们的头共有3 3个，个，数它们的腿共有数它们的腿共有8 8条。条。想想有几只鸡？有几只兔？想想有几只鸡？有几只兔？鸡兔同笼，鸡兔同笼，数它们的头共有数它们的头共有3 3个，个，数它们的腿共有数它们的腿共有1010条。条。想想有几只
4、鸡？有几只兔？想想有几只鸡？有几只兔？鸡兔同笼，鸡兔同笼，数它们的头共有数它们的头共有3 3个，个，数它们的腿共有数它们的腿共有1010条。条。想想有几只鸡？有几只兔？想想有几只鸡？有几只兔？头数头数66666鸡鸡/只只兔兔/只只脚脚/只只16181125342345201422 （4 4）请同学们借助表格，整理一下我们的解题）请同学们借助表格，整理一下我们的解题过程。过程。（1 1）如果鸡兔共）如果鸡兔共6 6只，共有只，共有2222只脚，尝试猜测只脚，尝试猜测一下鸡、兔各有多少只？一下鸡、兔各有多少只？（2 2）鸡兔共）鸡兔共6 6只不变，脚数变为只不变，脚数变为2020只脚，鸡兔只脚，鸡
5、兔各几只各几只?你是怎猜测出来的你是怎猜测出来的?（3 3）鸡兔共）鸡兔共6 6只不变，脚数还有其它情况吗？只不变，脚数还有其它情况吗？鸡兔的只数呢？鸡兔的只数呢？头数头数66666鸡鸡/只只兔兔/只只脚脚/只只16181125342345201422从下表中你发现了什么规律？1 1、鸡的只数在逐一增多。、鸡的只数在逐一增多。2 2、兔的只数在逐一减少；脚的只数也在减少。、兔的只数在逐一减少；脚的只数也在减少。3 3、鸡增加一只兔减少一只，脚数减少两只。、鸡增加一只兔减少一只，脚数减少两只。鸡兔的只数是固定的，鸡兔的只数是固定的，每减少一只兔就要每减少一只兔就要增加一只鸡，脚的总数就减少两条。
6、增加一只鸡，脚的总数就减少两条。1、笼子里有若干只鸡和兔，从上面笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有数，有35个头，从下面数，有个头，从下面数，有94只脚。鸡只脚。鸡和兔各有几只和兔各有几只?试一试头数353535353535鸡/只兔/只脚/只答：鸡有答：鸡有 只，兔有只，兔有 只。只。23121 11 14 4鸡兔同笼，共有鸡兔同笼，共有5个头，个头，14条腿。笼子里有几只鸡？条腿。笼子里有几只鸡？有几只兔？有几只兔？1、画图法、画图法52=10（条）（条）1410=4（条）（条）少画了少画了4条腿，补上，怎样补？条腿，补上，怎样补？可以全部看成是鸡：可以全部看成是鸡：42=2（只）（只）补上
7、补上2个个2条腿。条腿。兔子兔子2只，鸡只，鸡3只只54=20（条）（条）2014=6（条）（条）多画了多画了6条腿，擦去，怎样擦去？条腿，擦去，怎样擦去？也可以全部看成是兔：也可以全部看成是兔：54=20（条）（条）2014=6（条）（条）多画了多画了6条腿，擦去，怎样擦去？条腿，擦去，怎样擦去？也可以全部看成是兔：也可以全部看成是兔：62=3（只）（只）兔子兔子2只，鸡只，鸡3只只擦去擦去3个个2条腿条腿先画先画5只兔，只兔，54=20（条）（条）多画了多画了6条腿，条腿，2014=6（条）（条）也可以先假设全部是兔：也可以先假设全部是兔：擦去擦去6条腿，把兔换成鸡。条腿，把兔换成鸡。先画
8、先画5只兔，只兔，52=10（条）（条）少画了少画了4条腿，条腿，1410=4（条）（条）少画的补上，把鸡换成兔。少画的补上，把鸡换成兔。先假设全部是鸡：先假设全部是鸡：假设法假设法2 2、列表法、列表法:鸡的知数鸡的知数 兔的知数兔的知数 共有腿数共有腿数5010鸡的知数鸡的知数 5 5 兔的知数兔的知数 0 0 共有腿数共有腿数10104112鸡的知数鸡的知数 5 5 4 4 兔的知数兔的知数 0 0 1 1共有腿数共有腿数101012123214鸡的知数鸡的知数 5 5 4 43 3兔的知数兔的知数 0 0 1 12 2共有腿数共有腿数1010121214142316鸡的知数鸡的知数 5
9、 5 4 4 3 32 2兔的知数兔的知数 0 0 1 12 23 3共有腿数共有腿数10101212141416161418鸡的知数鸡的知数 5 5 4 4 3 32 21 1兔的知数兔的知数 0 0 1 12 23 34 4共有腿数共有腿数101012121414161618180520列表法列表法:鸡的知数鸡的知数 5 5 4 4 3 32 21 10 0兔的知数兔的知数 0 0 1 12 23 34 45 5共有腿数共有腿数101012121414161618182020你发现了什么规律？你发现了什么规律？鸡兔同笼，有9个头，26条腿。鸡和兔各有几只？“鸡兔同笼”问题出自我国古代数学名
10、著孙子算经。1、与同伴说一说你的想法。我早听说过“鸡兔同笼”问题，就是不会做。有9个头会有哪些可能呢？列表试一试。2、笑笑是这么做的，你看懂了吗？与同伴交流。鸡有几只鸡有几只兔有几只兔有几只腿有多少条腿有多少条1834 2732 3630 4528 5426 也可以先假设有1只兔8只鸡，请你列表试一试。一共有9个头，假设有1只鸡，应该有8只兔，那鸡和兔的腿数是34条，不对3、从列表中，你还发现了什么？与同伴交流。我发现鸡增加1只，兔减少1只，腿就会减少2条只要按照这个步骤做下去，不管头数和腿数是多少，都能解决鸡有几只鸡有几只兔有几只兔有几只腿有多少条腿有多少条1834 2732 3630 45
11、28 5426 孙子算经中的原题是：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”读一读，你知道这道题的意思吗？你能解决这个问题吗？还从有1只鸡开始一个一个地试鸡有几只鸡有几只兔有几只兔有几只腿有多少条腿有多少条134138 233136 332134 431132 231294 逐一列举法逐一列举法孙子算经中的原题是：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”读一读，你知道这道题的意思？你能解决这个问题吗？我是这么做的鸡有几只鸡有几只兔有几只兔有几只腿有多少条腿有多少条134138 1025120 2015100 251090 241192 231294 跳跃
12、列举法跳跃列举法孙子算经中的原题是：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”读一读，你知道这道题的意思？你能解决这个问题吗？我先假设鸡和兔的只数差不多鸡有几只鸡有几只兔有几只兔有几只腿有多少条腿有多少条1718106 2015100 221396 231294 取中列举法取中列举法鸡兔同笼不是只解决鸡与兔的问题，它是一类问题的统称。生活中许多问题都可以用解决鸡兔同笼问题的方法来解决。已知已知:共有共有54人，共租人，共租10条船，每条船都坐满。条船，每条船都坐满。大船乘大船乘6人人 小船乘小船乘4人人求求:大、小船各租几条？大、小船各租几条？鸡兔的总头数鸡兔的总脚数走进生活
13、 小明的储蓄罐里有小明的储蓄罐里有1 1角和角和5 5角角的硬币共的硬币共2727枚，价值枚，价值5.15.1元，元，1 1角角和和5 5角的硬币各有多少枚？角的硬币各有多少枚？走进生活 你知道古人是怎样解决你知道古人是怎样解决“鸡兔同笼鸡兔同笼”问题的吗？问题的吗？（1）假如让鸡抬起一只脚，）假如让鸡抬起一只脚，兔子抬起两只脚兔子抬起两只脚，还，还 有有94247只脚。只脚。（2）这时每只鸡一只脚，）这时每只鸡一只脚，每只兔子两只脚，笼子每只兔子两只脚，笼子里只要有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多里只要有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多1。（3）这时脚的总数与头的总数之差）这时脚的总数与
14、头的总数之差473512，就，就是兔子的只数。是兔子的只数。阅阅 读读 资资 料料乐乐的储蓄罐里有1角和5角的硬币共27枚，总值5.1元，1角和5角的硬币各有多少枚？请你用列表的方法解决问题。1角/枚5角/枚总值/元走进生活列表法假设法方程法解决鸡兔同笼问题的方法有：画图法鸡兔同笼，共有鸡兔同笼，共有5个头，个头，14条腿。笼子里有几只鸡？条腿。笼子里有几只鸡？有几只兔？有几只兔？2、有龟和鹤共、有龟和鹤共40只，龟的脚和鹤的只，龟的脚和鹤的脚共有脚共有112条。龟、鹤各有几只？条。龟、鹤各有几只？日本的龟鹤问题日本的龟鹤问题试一试头数404040404040鹤/只龟/只脚/只答：鹤有答：鹤有
15、 只，龟有只，龟有 只。只。2416菜市场里真热闹，菜市场里真热闹，鸡兔同笼喔喔叫。鸡兔同笼喔喔叫。数数头儿有数数头儿有8个，个，数数腿儿数数腿儿26。可知鸡兔各多少？可知鸡兔各多少？28=16(条）26-16=10(条）画图法画图法28=16(条）26-16=10(条）兔子：102=5(只）鸡：8-5=3（只）假假 设设 法法怎样验证结果是正确的？怎样验证结果是正确的？画图法画图法假设笼子里都是鸡，那么应有多少条腿？假设笼子里都是鸡，那么应有多少条腿？8 82 21616（条（条）这样比题中条件少了多少条腿？这样比题中条件少了多少条腿？262616161010（条）（条）为什么会少了为什么会
16、少了1010条腿呢？条腿呢？因为，一只兔比一只鸡多因为，一只兔比一只鸡多2 2只脚，只脚，有多少只兔能相差有多少只兔能相差1010条腿？条腿？10102 25 5（只）（只）所以有所以有5 5只兔只兔 8 85 53 3（只）（只）有有3 3只鸡。只鸡。（兔）的只数8765（鸡）的只数0123共有腿数32302826（鸡）的只数876543（兔）的只数012345共有腿数161820222426想一想：想一想：当算出共有的腿数多了，说明什么？怎么办当算出共有的腿数多了，说明什么？怎么办呢？当算出的共有腿数少了呢？呢？当算出的共有腿数少了呢？.尝试与实践：鸡兔同笼，有20头，54条腿，鸡兔各多少
17、只？1.出示例题：师：同学们有兴趣解决这个古老的问题吗？师：只要细心观察，不断的尝试”.相信同学们.师：现在分组学习，每八人为一小组讨论解决的方法.第一组表格：第二组表格：第三组表格：动物只数鸡的只数兔的只数腿的只数2010106020119582013754师：你们觉得那种方案你最喜欢？生：我们组还有好方法，我们画出它们的腿进行尝试.教师小结:师:太棒了,真是太棒了!画图法也是一种直观形象的好方法,时间关系,我们这节课先掌握列表的方法,将画图法布置为我们今天的作业尝试。师：通过评比，你们觉得哪个组的办法最好？四.名解欣赏：师：你们知道我们今天研究的鸡兔问题最早记录在哪本书上吗？古代有一个大数
18、学家孙子想出的一种更奇特、更简洁的方法，你知道吗？大约在一千五百年前，大数学家孙子在大约在一千五百年前，大数学家孙子在孙子算经孙子算经中记载了中记载了这样的一道题：这样的一道题：“今有雏兔同笼，上有三十五头，下有九十四今有雏兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雏兔各几何？足，问雏兔各几何？”这四句的意思就是：有若干只鸡和兔在这四句的意思就是：有若干只鸡和兔在同一个笼子里，从上面数，有三十五个头；从下面数，有九十同一个笼子里，从上面数，有三十五个头；从下面数，有九十四只脚。求笼中各有几只鸡和兔？同学们，你会解答这个问题四只脚。求笼中各有几只鸡和兔？同学们，你会解答这个问题吗？你知道孙子是如何解
19、答这个吗？你知道孙子是如何解答这个“鸡兔同笼鸡兔同笼”问题的？问题的？解析解析:原来孙子提出了大胆的设想。他假设砍去每只鸡、每只兔一原来孙子提出了大胆的设想。他假设砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就变成了半的脚，则每只鸡就变成了“独脚鸡独脚鸡”，而每只兔就变成了，而每只兔就变成了“双脚兔双脚兔”。这样，。这样，“独脚鸡独脚鸡”和和“双脚兔双脚兔”的脚就由的脚就由94只变只变成了成了47只；而每只只；而每只“鸡鸡”的头数与脚数之比变为的头数与脚数之比变为1：1，每只，每只“兔兔”的头数与脚数之比变为的头数与脚数之比变为1：2。由此可知，有一只。由此可知，有一只“双脚双脚兔兔”，脚的数量就会比
20、头的数量多，脚的数量就会比头的数量多1。所以，。所以，“独脚鸡独脚鸡”和和“双双脚兔脚兔”的脚的数量与他们的头的数量之差，就是兔子的只数，的脚的数量与他们的头的数量之差，就是兔子的只数，即：即：4735=12（只）；鸡的数量就是：（只）；鸡的数量就是：3512=23（只）。（只）。当然，这道题还可以用方程来解答。当然，这道题还可以用方程来解答。先设兔的只数（也就是头数）是先设兔的只数（也就是头数）是x,因为因为“鸡头鸡头+兔头兔头=35”，所以，所以“鸡头鸡头=35-x”。由此可知，有由此可知，有x只兔，应该有只兔，应该有4x只兔脚，只兔脚，而鸡的只数是（而鸡的只数是（35x）,所以应该有所以
21、应该有2（35x）只鸡脚。现在已知鸡兔的脚总）只鸡脚。现在已知鸡兔的脚总共是共是94只，因此，我们可以列出下面的关只，因此，我们可以列出下面的关系式：系式：4x+2(35x)=94 x=12 于是可以算出鸡的只数是于是可以算出鸡的只数是35-12=23。寄一封平信（寄一封平信（2020克以内）本市要贴克以内）本市要贴6 6角的邮票，角的邮票，外埠（外埠（bubu)要贴要贴8 8角的邮票。小明买了两种邮票角的邮票。小明买了两种邮票一共花了一共花了5 5元，分别买了多少张？元，分别买了多少张？6 6角角8 8角角共花多少元共花多少元1张张(6角角)4张张5张张6张张7张张3张张2张张(12角角)(
22、18角角)(24角角)(30角角)(36角角)(42角角)(44角角)(38角角)(32角角)(26角角)(20角角)(14角角)(8角角)1张张4张张5元元5元元 小方有小方有2 2分、分、5 5分硬币共分硬币共1010枚，枚，共有共有3232分。分。2 2分、分、5 5分硬币各有几分硬币各有几枚？枚？2分分2分分2分分2分分2分分2分分2分分2分分2分分2分分210=20（分）（分）3220=12（分）（分）5-2=3（分）（分）12分分拆成几个拆成几个？几分几分123=4（个）（个）5分分3分分3分分3分分3分分104=6（个）（个）2分分有龟和鹤共有龟和鹤共7只，龟的腿和鹤的腿共有只，
23、龟的腿和鹤的腿共有20条，龟和鹤各有几只？条，龟和鹤各有几只？全班一共有38人，共租8条船，每条船都坐满了，大小船各租了几条？自行车和三轮车放在同一个车棚里，数数一共自行车和三轮车放在同一个车棚里，数数一共有有8 8辆，数数轮子一共有辆，数数轮子一共有1919个。问：自行车有几辆？个。问：自行车有几辆？三轮车有几辆？三轮车有几辆？一只蛐蛐一只蛐蛐6 6条腿，一只蜘蛛条腿，一只蜘蛛8 8条腿，现有蛐蛐和蜘条腿，现有蛐蛐和蜘蛛共蛛共7 7只，共有只，共有4848条腿，问：蛐蛐几只？蜘蛛几只？条腿，问：蛐蛐几只？蜘蛛几只？鸵鸟和斑马共鸵鸟和斑马共1010个头，个头，3232条腿，鸵鸟条腿，鸵鸟有几只
24、？斑马有几匹？有几只？斑马有几匹？乒乓球比赛，有乒乓球比赛，有8个球案在进行单打、个球案在进行单打、双打比赛，一共有双打比赛，一共有22人正在比赛。单人正在比赛。单打的球案有几张？双打的球案有几张？打的球案有几张？双打的球案有几张？按砍足法：（砍足法：（孙子算经孙子算经中记载的中记载的方法）方法）假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就变成了变成了“独角鸡独角鸡”，每只兔就变成了，每只兔就变成了“双脚兔双脚兔”。这样，（这样，（1）鸡和兔的脚的总数就由）鸡和兔的脚的总数就由26只变成了只变成了13只；（只；（2）如果笼子里有一只兔子，则脚的总）如果笼子里有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多数就比头的总数多1。因此，脚的总只数。因此，脚的总只数13与总与总头数头数8的差，就是兔子的只数，即的差，就是兔子的只数，即1385（只）。显然，鸡的只数就是（只）。显然，鸡的只数就是5只了。只了。
