1、二次函数的图象和性质第一课时学习目标1经历探索二次函数y=ax2的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验；2会作出y=ax2的图象，并能比较它们与y=x2的异同，理解a对二次函数图象的影响；3能说出y=ax2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。一般一般地，形地，形如如的的函数，函数，叫做二次函数叫做二次函数。其中其中，是，是x x自变量，自变量，a a，b b，c c分别是函数表达式的二次项系数、一分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数次项系数和常数项项。y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c (a(a、b b、c c为为常数常数，a a0)0)二次
2、函数二次函数:一次函数一次函数的的图象是图象是一条一条直线，反比例直线，反比例函数函数的的图图象是象是双曲线，二次函数双曲线，二次函数的的图象是图象是什么形状什么形状呢？通常呢？通常怎样画一个函数怎样画一个函数的的图象？图象？还记得如何用还记得如何用描点法画一个描点法画一个函数的图象函数的图象呢？呢？x x-3-3-2 -2 -1-10 01 12 2 3 3y y画函数画函数y=xy=x2 2的的图象图象解解:(:(1 1)列表列表9 94 41 10 01 14 49 9(2)(2)描点描点(3)(3)连线连线1 1 2 2 3 3 4 4 5 5x x1 12 23 34 45 56 6
3、7 78 89 91010y yo o-1-1-2-2-3-3-4-4-5-5 根据表中根据表中x x，y y的的数值在坐标平面中描数值在坐标平面中描点点(x x，y)y)，再，再用用平滑平滑曲线曲线顺次连接各顺次连接各点，点，就就得到得到y=xy=x2 2的的图象。图象。y=xy=x2 2x x-3-3-2 -2 -1-10 01 12 2 3 3y y请画函数请画函数y=y=x x2 2的的图图象象解解:(1):(1)列表列表-9-9-4-4-1-10 0-1-1-4-4-9-9(2)(2)描点描点(3)(3)连线连线 根据根据表中表中x x，y y的数的数值在坐标平面中描点值在坐标平面中
4、描点(x x，y)y)，再，再用平滑曲线顺次用平滑曲线顺次连接各连接各点，点，就得到就得到y=-xy=-x2 2的的图象。图象。1 2 3 4 5x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yo-1-2-3-4-5-10y=y=x x2 2下面是两个同学画的下面是两个同学画的 y=0.5x2 和和 y=-0.5x2的的图象，图象，你你认为他们的认为他们的作图正确作图正确吗？为什么？吗？为什么？xyoxyoy=xy=x2 2的的图象叫做图象叫做抛物线抛物线y=xy=x2 2y=y=x x2 2的的图象叫做图象叫做抛物线抛物线y=y=x x2 2 从图从图象象可以可以看出看出，二次函数二次函数y=xy
5、=x2 2和和y=y=x x2 2的的图图象象都是都是一条一条曲曲线，这线，这条曲线条曲线叫做叫做抛物线。抛物线。y=xy=x2 2y=y=x x2 2 实际上，二次函数实际上，二次函数的的图象都图象都是是抛物线，它们抛物线，它们的开口向上或者的开口向上或者向下，一般地，二次函数向下，一般地，二次函数y=ax2+bx+c的的图象叫做图象叫做抛物线抛物线y=ax2+bx+c。xyoxyo抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点。顶点。抛物线抛物线y=xy=x2 2的顶点的顶点(0 0，0 0)是它的是它的最低点最低点。抛物线抛物线y=y=x x2 2的顶点的顶点(0
6、0，0 0)是它的是它的最高最高点点。y=xy=x2 2y=y=x x2 2 从从图象可以图象可以看出，二次函数看出，二次函数y=xy=x2 2和和y=y=x x2 2的的图象都是图象都是轴对称轴对称图形，图形，y y轴是它们的轴是它们的对称轴对称轴。实际上，每实际上，每条抛物线都有条抛物线都有对称轴，对称轴，抛物线抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的与对称轴的交点叫做抛物线的顶点。顶点是抛物线的最低点或顶点。顶点是抛物线的最低点或最高最高点。点。x x-4-4-3-3-2 -2 -1-10 01 1 2 23 34 4y=xy=x2 2例例1.1.在同一直角坐标系中画出函数在同一直角坐标系中画出
7、函数y=xy=x2 2和和y=2xy=2x2 2的的图象图象解解:(1):(1)列表列表(2)(2)描点描点(3)(3)连线连线1 2 3 4 5x12345678910yo-1-2-3-4-51 12 2x x-2-2-1.5-1.5-1 -1 -0.5-0.50 00.50.51 11.51.52 2y=2xy=2x2 28 82 2 0.50.5 0 00.50.5 2 24.54.58 84.54.58 82 20.50.50 00.50.52 24.54.58 84.54.51 12 2共同点共同点:不同点不同点:开口开口向上向上，顶点顶点是是原点原点，顶点，顶点是抛是抛物线的物线的
8、最低点，最低点，对称轴对称轴是是y y轴轴，除顶点除顶点外外，图象都图象都在在x x轴上方轴上方开口大小不同开口大小不同 函数函数y y=x=x2 2，y y=2x=2x2 2的的图图象与象与函数函数y=xy=x2 2的的图象图象相比相比，有有什么共同点和什么共同点和不同点不同点？1 12 2 性质性质：a0，图图象象开口开口向上，顶点向上，顶点是抛物线的是抛物线的最低点，最低点，a越大开口越越大开口越小，反小，反之之越越大。大。1 2 3 4 5x12345678910yo-1-2-3-4-5y=x2y=2x2y=0.5x21 2 3 4 5x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yo-1-
9、2-3-4-5-10在同一直角坐标系中画出函数在同一直角坐标系中画出函数y=y=x x2 2和和y=y=2x2x2 2的的图图象象1 12 2y=y=x x2 21 12 2y=y=2x2x2 2x-4-3-2-101234y=-x2 2102121-2-22929-8-8 x-2-1.5-1-0.500.511.52y=2x2 02121-2-22929-8-8 函数函数y=y=x x2 2，y y=2x2x2 2的的图图象与象与y=-xy=-x2 2的的图象图象相比相比，有有什么共同点和什么共同点和不同点不同点？1 12 2共同点共同点:不同点不同点:开口向下开口向下，顶点顶点是是原点原点
10、，对称轴对称轴是是y轴轴，顶点，顶点是抛物线的是抛物线的最高点。最高点。除顶点除顶点外外，图象都图象都在在x x轴下方轴下方开口大小不同开口大小不同1 2 3 4 5x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yo-1-2-3-4-5-10y=y=x x2 21 12 2y=y=2x2x2 2y=x2 性质性质：当：当a0时时，图象开口图象开口向下，向下，顶点顶点是抛物线的是抛物线的最最高点，高点，a越越大，抛物大，抛物线线的开口越大。的开口越大。1.抛物线抛物线y=ax2的顶点是的顶点是原原点，对称轴点，对称轴是是y轴。轴。2.当当a0时时，抛物线抛物线y=ax2在在x轴的上方轴的上方（除顶点外
11、（除顶点外），它它的开口的开口向上向上，并且并且向向上无限伸展；上无限伸展；a越越大，抛物线大，抛物线的开口越小的开口越小当当a0时，在时，在对称轴的对称轴的左侧，左侧，y随着随着x的增大而的增大而减小。减小。当当a0时，在时，在对称轴的对称轴的右侧，右侧，y随着随着x的增大而的增大而增大。增大。当当a0时，在时，在对称轴的对称轴的左侧，左侧，y随着随着x的增大而的增大而增大。增大。当当a0时，在时，在对称轴的对称轴的右侧，右侧，y随着随着x的增大而的增大而减小。减小。yax2a0 0a0 0图象图象开口开口对称性对称性顶点顶点增减性增减性二次函数y=ax2的性质开口向上开口向下a的绝对值越大
12、，开口越小关于y轴对称顶点坐标是原点（0，0）顶点是最低点顶点是最高点在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减OO 观察观察函数函数y=xy=x2 2的图象，则下列判断中正确的是的图象，则下列判断中正确的是()()(A)若若a a，b b互为相反数，则互为相反数，则x=ax=a与与x=b x=b 的函数的函数值值相等相等。(B)对于同一个自变量对于同一个自变量x x，有两个函数，有两个函数 值与它对应。值与它对应。(C)对任一个实数对任一个实数y y，有两个，有两个x x和它对应。和它对应。(D)对任意实数对任意实数x x，都有，都有y y0 0。xyoA（1）抛物线）
13、抛物线y=2x2的顶点坐标是的顶点坐标是 ，对称轴是对称轴是 ，在，在 侧，侧，y随着随着x的增大而增大；在的增大而增大；在 侧，侧，y随着随着x的增大而的增大而减小，当减小，当x=时，时，函数函数y的值的值最小，最小值最小，最小值是是 ，抛，抛物物线线y=2x2在在x轴的轴的 方（除顶点外）。方（除顶点外）。（2）抛物线）抛物线 在在x轴的轴的 方（除顶点外方（除顶点外），当当x0时，时，y随着随着x的的 ；当当x0时，时，y随着随着x的的 ，当当x=0时时，函数函数y的值的值最大最大，最大最大值值是是 ，当当x 0时时，y0。232xy（0，0）y轴轴对称轴的右对称轴的右对称轴的左对称轴的左00上上下下增大而增大增大而增大增大而减小增大而减小0谢 谢
