1、第章投影变换基本要求基本要求 （1 1）掌握换面法的基本原理和换面法作图）掌握换面法的基本原理和换面法作图的投影变换规律。的投影变换规律。（2 2）掌握用换面法求线段实长、平面图形）掌握用换面法求线段实长、平面图形实形及其对投影面的倾角基本作图方法。实形及其对投影面的倾角基本作图方法。（3 3）掌握用换面法解决一般空间几何元素）掌握用换面法解决一般空间几何元素间的定位和度量问题。间的定位和度量问题。6.1 概概 述述 当直线或平面相对于投影面处于特殊位置当直线或平面相对于投影面处于特殊位置（平行或垂直）时，它们的投影反映线段的实（平行或垂直）时，它们的投影反映线段的实长、平面的实形及其与投影面
2、的倾角，当它们长、平面的实形及其与投影面的倾角，当它们处于垂直位置时，其中有一投影具有积聚性。处于垂直位置时，其中有一投影具有积聚性。当直线或平面和投影面处于一般位置时，当直线或平面和投影面处于一般位置时，则它们的投影就不具备上述的特性。则它们的投影就不具备上述的特性。投影变换就是将直线或平面从一般位置变投影变换就是将直线或平面从一般位置变换为和投影面平行或垂直的位置，以简便地解换为和投影面平行或垂直的位置，以简便地解决它们的定位和度量问题。决它们的定位和度量问题。aabb 两点之间距离aabbcc三角形实形aabbccdd 直线与平面的交点abcdabcd 两平面夹角6.2 换换 面面 法法
3、6.2.1 换面法的基本概念换面法的基本概念6.2.2 点的投影变换规律点的投影变换规律6.2.3 直线的换面直线的换面6.2.4 平面的换面平面的换面 换面法换面法空间几何元素的位置保持不空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面来代替旧的投影面，使动，用新的投影面来代替旧的投影面，使对新投影面的相对位置变成有利解题的位对新投影面的相对位置变成有利解题的位置，然后找出其在新投影面上的投影。置，然后找出其在新投影面上的投影。6.2.1 6.2.1 换面法的基本概念换面法的基本概念a1c1b1V1X1X1V/H 体系变为V1/H 体系c1b1a1bcabacX1.新投影体系的建立新投影体系的建立V
4、1/H 体系称为新新投影体系；投影体系；V/H 体系为旧旧投影体系。投影体系。V1称为新新投影面；投影面；V称为旧旧投影面；投影面；H称为不变不变投影面。投影面。X1称为新新投影轴；投影轴；X称为旧旧投影轴。投影轴。新投影面的选择必须符合以下两个基本条件：新投影面的选择必须符合以下两个基本条件：(1)新投影面必须和空间几何元素处于有利解题的位置。(2)新投影面必须垂直于于原投影体系中的一个不变投影面。2.新投影面的选择原则新投影面的选择原则V V1 1 H HV V1 1ABCABC1.1.点的一次变换点的一次变换X1V1a16.2.2 6.2.2 点的投影变换规律点的投影变换规律V/H V1
5、/H a1aXVHaVHXX1 V1a1X1HV1aAa变换V面时点的投影作图 V1a1（1 1）点的新投影和不变投影的连线，必垂直于新投影轴。）点的新投影和不变投影的连线，必垂直于新投影轴。（2 2）点的新投影到新投影轴的距离等于点的旧投影到旧投影轴的距离。）点的新投影到新投影轴的距离等于点的旧投影到旧投影轴的距离。2.2.点的投影变换规律点的投影变换规律H1X1点在V/H1体系中的投影 X1H1Va1a1V/H 体系变为体系变为V/H1 体系体系V/H1 体系称为体系称为新新投影体系；投影体系；V/H 体系为体系为旧旧投影体系。投影体系。X1称为称为新新投影轴；投影轴；X称为称为旧旧投影轴
6、。投影轴。H1称为称为新新投影面；投影面；H称为称为旧旧投影面；投影面；V称为称为不变不变投影面。投影面。a23.3.点的两次变换点的两次变换X2H2V12X2a2V/H V1/H V1/H2 第一次变换时的旧、第一次变换时的旧、不变、新投影不变、新投影新投影新投影不变投影不变投影旧投影旧投影新轴新轴旧轴旧轴值得提醒的是值得提醒的是:在多次变换中，必须遵照交替换面的原则。在多次变换中，必须遵照交替换面的原则。V/H V1/H V1/H2 V3/H2 V/H V/H1 V2/H1 V2/H3 如如:V1X11.1.将一般位置直线变换为将一般位置直线变换为投影面的平行线投影面的平行线 a1 b1a
7、1b1 X1V1H6.2.3 6.2.3 直线的换面直线的换面将一般位置直线变换为将一般位置直线变换为V V1 1面的平行线面的平行线 一次换一次换面即可面即可 例题例题1 1 将将一般位置直线变换为H1面的平行线 X1H1Va1b1X1H1Va1 b12.2.将将投影面平行线变换为投影面的垂直线投影面平行线变换为投影面的垂直线 bb1X1a1b1一次换一次换面即可面即可 3.3.将将一般位置直线变换为投影面的垂直线一般位置直线变换为投影面的垂直线V1X1 a1 b12a2 b2需要二次换需要二次换面面 X2一般位置直线变换为投影面垂直线的作图一般位置直线变换为投影面垂直线的作图X2H2V1a
8、2 b2X1HV1a1 b1 例题例题22 求点求点C C 到直线到直线AB AB 的距离的距离空间分析空间分析c2作图作图c1b1a1X2H1V2H1X1Vkkk1b2a2距离距离k2c1 k1 X2 例题例题3 3 求两平行直线求两平行直线ABAB与与CDCD间的距离间的距离X2H2V1aaXVHbba2 b2X1HV1a1b1提示提示aaXbb cdcdVHX2H2V1aaXVHbba2 b2X1HV1a1b1作图作图 cdcdc2 d2d1c1距离距离211121 1222X2H2V1X1HV1a2b2d2c2b1a1d1c121b 例题例题44 求交叉两直线求交叉两直线ABAB与与C
9、DCD的公垂线的公垂线 AB HAB H2 2H H2 2 AB AB CD CDH2ABDC1222c2d212 22c2 d2a cXVHbb ac1.1.将一般位置平将一般位置平面变换为面变换为 投影面的垂直面投影面的垂直面 c ddDX1H1a1c1b1 d1 dX1H1V db1 a1c1d16.2.4 6.2.4 平面的换面平面的换面一次换一次换面即可面即可 k1X1H1Vb1a1c1 d1s1 例题例题55 求点求点S S到平面到平面ABCABC的距离的距离距离距离N ddX1VH1k1e1 例题例题66已知已知E E到平面到平面ABCABC的距离为的距离为N N，求，求E E点
10、的正面投影点的正面投影e e。b1a1c1d1有两解有两解eeHACXVcbaB2.2.将将投影面垂直面变换为投影面的平行面投影面垂直面变换为投影面的平行面V1c1b1a1X1X1V1c1a1b1一次换一次换面即可面即可 aba1c1b1X1 d db1 a1c1d1X1H1Va2c2b2d2X2V2H13.3.将一般位置平将一般位置平面变换为投影面的平行面面变换为投影面的平行面 实形实形需要二次换需要二次换面面 例题例题77 已知已知E E 点在点在平面平面ABCABC上，距离上，距离A A、B B为为1515，求点，求点E E 的投影。的投影。d db1 a1c1d1X1H1Va2c2b2d2X2V2H11515eee1e2有两解有两解
