1、3.2.1 简单的三角恒等变换（一）简单的三角恒等变换（一） cos() sin() ）（ )( C () S （） ）（ )( Ttan() sincoscossin coscossinsin tantan 1tantan 知识回顾知识回顾: : 2tan 2sin 2cos cossin2 22 sincos 2 tan1 tan2 ）（ 2 S ）（ 2 C ）（ 2 T 1cos2 2 2 sin21 式式 公公 角角 倍倍 和和 差差 公公 式式 ,sin211cos22cos 22 由公式：由公式： 得：得： 2 cos 2 2cos1 2 sin 2 2cos1 .cossin2
2、2sin cossin 2 2sin （降幂公式）（降幂公式） 2 cos2 2cos1 cossin2 （升幂公式）（升幂公式） 2 sin2 2cos1 2sin 学习了和差角公式、倍角公式后，我们就有了学习了和差角公式、倍角公式后，我们就有了 进行三角变换的新工具，从而使三角变换的内容、进行三角变换的新工具，从而使三角变换的内容、 思路和方法更加丰富，这为提高我们的推理论证能思路和方法更加丰富，这为提高我们的推理论证能 力、运算求解能力提供了新的平台力、运算求解能力提供了新的平台. 从本节课开始，从本节课开始， 我们主要将在已有的十一个公式的基础上，以推导我们主要将在已有的十一个公式的基
3、础上，以推导 和差化积和差化积、积化和差积化和差、半角公式半角公式作为基本的训练过作为基本的训练过 程，学习三角变换的内容、思路和方法，并归纳三程，学习三角变换的内容、思路和方法，并归纳三 角变换的特点与方法、技巧角变换的特点与方法、技巧. 问题问题1：. 用用 表示表示 cos 222 sin,cos,tan. 222 解：解： 分析：分析： 2 与与 有什么关系？有什么关系？ 2 是是 的二倍角的二倍角. 由余弦倍角公式得： 由余弦倍角公式得： cos 2 12sin, 2 2 2cos1, 2 cos(2) 2 2 1cos sin. 22 又又 cos 2 1cos cos. 22 2
4、 1cos tan. 21cos 问题问题2： 求证求证: sin1cos tan. 21cossin 证明：证明： sin 1cos 2 2sincos 22 2cos 2 sin 2 cos 2 tan 2 1cos sin 2 2sin 2 2sincos 22 sin 2 cos 2 tan 2 sin1cos tan. 21cossin 2 cos 2 2 cos1 2 tan 2 cos1 cos1 2 sin 2 2 cos1 2 cos1 2 sin 2 cos1 2 cos cos1 cos1 2 tan 半角公式：半角公式： sin cos1 cos1 sin 2 tan
5、注意：每一个确定的半角的三角函数值唯一注意：每一个确定的半角的三角函数值唯一 确定。应根据角的象限定符号！确定。应根据角的象限定符号！ 例例 1 已知已知 cos 1 3， ， 为第四象限角，求为第四象限角，求 sin 2、 、cos 2、 、 tan 2. 解： sin 2 1cos 2 11 3 2 3 3 ， cos 2 1cos 2 11 3 2 6 3 ， tan 2 1cos 1cos 11 3 11 3 2 2 . 为第四象限角，为第四象限角， 2为第二、四象限角 为第二、四象限角 当当 2为第二象限角时， 为第二象限角时， sin 2 3 3 ，cos 2 6 3 ，tan 2
6、 2 2 ； 当当 2为第四象限角时， 为第四象限角时， sin 2 3 3 ，cos 2 6 3 ，tan 2 2 2 . 小结小结 在运用半角公式时，要注意根号前符号的选取，不在运用半角公式时，要注意根号前符号的选取，不 能确定时，根号前应保持正、负两个符号，而对于能确定时，根号前应保持正、负两个符号，而对于 tan 2， ， 还要注意运用公式还要注意运用公式 tan 2 sin 1cos 1 cos sin 来求值来求值 . 12 cos 12 5 cos 12 cos 12 5 cos 22 例例2. 求值求值 解：解： 12 cos) 122 cos( 2 12 2 cos1 2 1
7、2 10 cos1 原式原式 12 cos 12 sin) 6 cos 6 5 (cos 2 1 1 6 sin 2 1 1 2 1 2 1 1 12 cos 12 sin2 2 1 ) 6 cos 6 cos( 2 1 1 . 4 5 例例 3 已知函数已知函数 f(x)2cos x(sin xcos x)1，xR. (1)求函数求函数 f(x)的最小正周期；的最小正周期； (2)求函数求函数 f(x)在区间在区间 8， ，3 4 上的最小值和最大值上的最小值和最大值 解： (1)f(x)2cos x(sin xcos x)1 sin 2xcos 2x 2sin 2x 4 . 因此，函数因此
8、，函数 f(x)的最小正周期为的最小正周期为 . 35 220 8444 3 2 8 5 1 4 max min ( ), , ( ) () ( ) () xx fxx fxx 例例4. 已知已知 ，2sin44cos3yxyx 求证：求证： .2 2 1 2 1 yx 证明：证明： ， ， 2sin4 4cos3 yx yx 由由 得得 2 2sin44cos3 x 2 2sin44cos3 y 2 22sin44cos1 x 2 22sin44cos1 y 2 22sin42sin2 2 2 22sin42sin2 2 12sin22sin 2 12sin22sin 2 2 )2sin1( 2 )2sin1( )2sin1()2sin1( 2 1 2 1 yx.2 课后作业课后作业 2.乐学乐学3.2 3. 预习教材预习教材3.2第二部分第二部分 1.教材习题教材习题3.2A组组 15
