1、 如果没有运算，向量只是一个“路如果没有运算，向量只是一个“路 标”，因为有了运算，向量的力量标”，因为有了运算，向量的力量 无限。无限。 一一. .问题情境问题情境: : 情境情境1:1:前面我们学习了平面向量的加法、减法和数乘向量的加法、减法和数乘 三种运算,那么向量与向量能否“相乘相乘”呢？ F s F s 情境情境: :一个物体在力 的作用下发生了位 移 ，那么该力对此物体所做的功为多少？ F s 二、数量积的概念二、数量积的概念 a b =| a | b |cos 并规定并规定： 0 a =0 O A B b a （1 1）两个向量的数量积是一个）两个向量的数量积是一个数量数量，而不
2、是而不是向量向量. . b a a b | a | b |cos 已知两个非零向量已知两个非零向量 和 ，它们的夹角为它们的夹角为，我们把数，我们把数 量量 叫做叫做 a 与与 b 的数量积（或内积）的数量积（或内积）， 记作记作 ，即即 注意注意 （2） a b不能写成不能写成ab ，ab 表示向量的另一种表示向量的另一种 运算运算 也不能把符号“也不能把符号“ ”省略省略。 (B1) B1 B1 如图，作出 cos，并说出它的几何 意义；cos的几何意义又是什么？ b a a O B B A B A O O A (1) (2) （3） b a a b b 三、平面向量数量积几何意义 当当
3、为锐角时为锐角时 投影为正值投影为正值; 当当 为钝角时为钝角时 投影为负值投影为负值; 当当 为直角时为直角时 投影为投影为0; coscos叫做向量叫做向量 在向量在向量 方向上的投影，方向上的投影， coscos叫做向量叫做向量 在向量在向量 方向上的投影方向上的投影. b b b a a a 的几何意义： 向量向量 与与 的数量积的数量积 等于等于 的长度的长度 与与 在在 的方向上的投影的方向上的投影coscos的积的积. . ba ba a a a bb ba 投影也是一个数量，不是向量投影也是一个数量，不是向量. 例例1、已知、已知 | 5 | 4ab，a b与的夹角为的夹角为1
4、200， 求求 a b 23,| 3a bb 、，已已知知且且 则向量则向量 a 在向量在向量 b的方向上的投影为的方向上的投影为_. 引申引申 -1 10 的夹角与则求 、若引申 ba baba , 310, 4, 51 300 例例2 2：判断正误，说明理由：判断正误，说明理由 001 a、 baba、2 cacbbab 则、若, 04 0, 03baba 有则对任一非零向量、若 四、平面向量数量积的性质四、平面向量数量积的性质: : 设设a，b都是非零向量，都是非零向量， 是是a与与b的夹角的夹角,则则 baba 0).1 ( |;|) 4(bababa 同向时，与当 |;|bababa
5、 反向时，与当 2 |aaa aaa |或 特别地特别地 | cos) 3( ba ba | )2(baba )1(abba : , 则则和实数和实数、已知向量已知向量 cba )()()( )2(bababa cbcacba )( )3( (交换律交换律) (数乘结合律数乘结合律) (分配律分配律) 五五、平面向量数量积的运算律平面向量数量积的运算律: O N M a+b b a c 向量a、b、a + b 在c上的射影的数量 分别是OM、MN、 ON, 证明运算律证明运算律(3) 则 (a + b) c = ON |c| = (OM + MN) |c| = OM|c| + MN|c| =
6、a c + b c . 例例 3：求证：求证： （1）(ab)2a22a bb2； （2）(ab) (ab)a2b2. 平面向量数量积的常用公式平面向量数量积的常用公式 例例4 4、 2 ) (3 )2 ) (3 )abababab求求（。 |,|4,|,|4,abababab已已知知与与 60 ,60 , o o 的夹角为的夹角为 变式：求 | a+2b |,| a-b | 变式：当且仅当k为何值时， 垂直 2kabab与 学 科 融 合 ， 深 入 浅 出 学 科 融 合 ， 深 入 浅 出 公 式 记 忆 ， 分 清 条 件 公 式 记 忆 ， 分 清 条 件 2、平面向量数量积的几何、平面向量数量积的几何 意义（数形结合的思想）意义（数形结合的思想） 3、平面向量数量积的、平面向量数量积的 重要性质及运算律重要性质及运算律 1、平面向量数量积的、平面向量数量积的 定义定义 |a |b|COS = a b （由特殊到一般的思想）（由特殊到一般的思想） 课堂小结
