1、3.3.1 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理定理定理3.3 (拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理)(1)在闭区间在闭区间a,b上连续上连续;(2)在开区间在开区间(a,b)内可导内可导;,),(内内至至少少存存在在一一点点则则在在开开区区间间ba使得使得)()()(fabafbf 3.3 拉格朗日中值定理及其应用拉格朗日中值定理及其应用若函数若函数 f(x)满足满足:ab1 2 xoy)(xfy ABCD几何解释几何解释:分析分析:化为罗尔定理的结论形式化为罗尔定理的结论形式,0)()()(xxabafbfxf使得使得欲证存在欲证存在),(ba 在曲线弧在曲线弧AB上至少上至少有一点有一点C,在
2、该点处的切在该点处的切线平行于弦线平行于弦AB.证证 作辅助函数作辅助函数xabafbfxfxF )()()()(,)(满足罗尔定理的条件满足罗尔定理的条件xF,),(内内至至少少存存在在一一点点则则在在ba,0)()()(abafbff).)()()(abfafbf 拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式.0)(F使得使得即即或或,),()(内可导内可导在在设设baxf)10(,)()()(xxxfxfxxfy则有则有),(,baxxx 推论推论1 设设,),(,)(内内可可导导在在上上连连续续在在babaxf.,)(,0)(上上恒恒为为常常数数在在则则若若baxfxf ,)(21条条件件上上满满
3、足足拉拉格格朗朗日日定定理理的的在在xxxf证证,21baxx )(),)()()(211212xxxxfxfxf ,0)(,0)(fxf由由),()(21xfxf.)(为为常常数数即即xf,21xx 不妨设不妨设例例1 证明当证明当.4arcsin2111arctan,1 xxxx有有时时证证,40arcsin1arctan)0(fC221121)1(211211111)(xxxxxxxf )1,1(,)(xCxf),1,1(,0 x)1,1(,arcsin2111arctan)(xxxxxf令令1,4arcsin2111arctan xxxx 而而故故,1lnln1bbabaa ).0(,
4、ln babbabaaba例例2 证明证明),(ab 所以所以证证,)(条条件件上上满满足足拉拉格格朗朗日日定定理理的的在在abxf).0(,ln babbabaaba令令,ln)(xxf,1)(xxf ,111ba 由由.lnln1)(babaf 使得使得故故证证21,0cos 上单调减少上单调减少在在又又x12coscos.)(,cossinsin21111212xxxxxx 命题得证命题得证.)(,cossinsin32222323xxxxxx ,0321时时 xxx,sin3221条条件件上上满满足足拉拉格格朗朗日日定定理理的的在在xxxxx23231212sinsinsinsinxx
5、xxxxxx 例例3 证明当证明当例例4 设设证证明明内内可可导导在在上上连连续续在在,),(,)(babaxf证证，设设)()(xxfxF 上使用上使用在在对对,)(baxF拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理,)()()()(ffabaafbbf ),(ba 使得使得),()()(FabaFbF 即即).()()()(ffabaafbbf 使使得得内内至至少少存存在在一一点点在在,),(ba,),(,)(内内可可导导在在上上连连续续在在babaxF例例4 设设证证明明内内可可导导在在上上连连续续在在,),(,)(babaxf另证另证证证，设设kxxxfxF )()(令令上使用上使用在在对对,)
6、(baxF罗尔定理罗尔定理,)()()()(ffabaafbbf ,)()(kabaafbbf 整理得整理得,)()(kaaafkbbbf ),(ba 使得使得.0)(F故故).()()()(ffabaafbbf ，0)()(kff 即即使使得得内内至至少少存存在在一一点点在在,),(ba推论推论2,)(上上连连续续在在设设函函数数baxf，内内如果在如果在0)(),()2(xfba)(xf则函数则函数单调递增单调递增;单调递减单调递减.3.3.2 函数的单调性函数的单调性,0)(),()1(xfba内内如果在如果在)(xf则函数则函数在在(a,b)内可导内可导.证证(1),21baxx ,2
7、1xx 且且由由拉格朗日定理拉格朗日定理),)()()(1212xxfxfxf 内，内，若在若在),(ba,0)(f则则),()(12xfxf.,)(上上单单调调递递增增在在故故baxf)(21xx ,0)(xf在在a,b上上在在a,b上上解解例例4 讨论函数讨论函数 的单调性的单调性.1)(xexfx1)(xexf,)0,(内内在在,0)(xf单调递减；单调递减；所以函数在所以函数在0,(,),0(内内在在 .),0单单调调递递增增所所以以函函数数在在 ).,(定义域为定义域为注注1:推论推论2对于开、闭、有限或无穷区间都正确对于开、闭、有限或无穷区间都正确.,0)(xf注注2:区间内个别点
8、导数为零区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性不影响区间的单调性.例如例如,3xy ,00 xy.),(上上单单调调递递增增但但在在 函数的单调区间求法函数的单调区间求法:不不存存在在的的点点的的根根及及用用方方程程)(0)(xfxf 若函数在其定义域的某个区间内是单调的若函数在其定义域的某个区间内是单调的,)(的定义区间的定义区间划分函数划分函数xf然后判定区间内导数然后判定区间内导数的符号的符号.的的分界点分界点则该区间称为函数的则该区间称为函数的单调区间单调区间.导数等于零的点和不可导点导数等于零的点和不可导点,可能是单调区间可能是单调区间解解)0(,32)(3 xxxf,0时时当当
9、x32xy )0,(),0(x)(xf)(xf ).,(定义域为定义域为xyO导数不存在导数不存在.例例5 讨论函数讨论函数 的单调性的单调性.32)(xxf 单调递减；单调递减；函数在函数在所以所以0,(,.),0单单调调递递增增在在 解解.8,0)(xxf得得令令).,(定义域为定义域为)0,()8,0(),8(x)(xf)(xf 例例6 讨论函数讨论函数 的单调性的单调性.323)(xxxf 321)(xxf ,0时时当当 x导数不存在导数不存在;)0(,233 xxx上单调递增；上单调递增；函数在函数在所以所以),8,0,(,.8,0上单调递减上单调递减在在3)1(,1)0(ff)1.0(,0223)(2 xxxxf由由零点定理零点定理,例例7 讨论方程讨论方程 在在 内的实根内的实根.01223 xxx)1,0(，令令12)(23 xxxxf解解原原方程在方程在 内至少有一实根内至少有一实根.)1,0(,)1,0)(,上上单单调调递递增增在在所所以以xf综上所述综上所述,原方程在原方程在 内有且仅有一个实根内有且仅有一个实根.)1,0(因此因此,原原方程在方程在 内至多有一实根内至多有一实根.)1,0(作业作业习题习题 3 3.3(123(123页页)2.3.(1)(4)5.6.(1)8.
