1、1.5 定积分的概念 1.5.1 曲边梯形的面积 1.5.2 汽车行驶的路程 这些图形的面积该怎样计算？这些图形的面积该怎样计算？ 例题（阿基米德问题）：求由抛物线例题（阿基米德问题）：求由抛物线 y=xy=x2 2与直线与直线x=1,y=0x=1,y=0所围成的平面图形的面所围成的平面图形的面 积积 Archimedes，约公元前约公元前 287年年约公元前约公元前212年年 问题问题1 1：我们是怎样计：我们是怎样计 算圆的面积的？圆周率算圆的面积的？圆周率 是如何确定的？是如何确定的？ 问题问题2 2：“割圆术割圆术”是是 怎样操作的？对我们有怎样操作的？对我们有 何启示？何启示？ x
2、x y y 1.1.了解定积分的基本思想“以直代曲”“逼近”的思了解定积分的基本思想“以直代曲”“逼近”的思 想想. .（重点）（重点） 2.“2.“以直代曲”“逼近”的思想的形成与求和符号以直代曲”“逼近”的思想的形成与求和符号. . （难点）（难点） 曲边梯形的概念：如图所示，我们把由直线曲边梯形的概念：如图所示，我们把由直线 x=a,x=b(ab),y=0x=a,x=b(ab),y=0和曲线和曲线y=f(x)y=f(x)所围成的图形称所围成的图形称 为曲边梯形为曲边梯形 如何求曲边梯如何求曲边梯 形的面积？形的面积？ a b f(a) f(b) y=f(x) x y O 对任意一个小曲边
3、梯形，用“直边”代替“曲边”对任意一个小曲边梯形，用“直边”代替“曲边” （即在很小范围内以直代曲（即在很小范围内以直代曲) ) 探究点探究点1 曲边梯形的面积曲边梯形的面积 直线直线x x 1 1，y y 0 0及曲线及曲线y y x x2 2所围成的图形（曲边所围成的图形（曲边 梯形）面积梯形）面积S S是多少？是多少？ 为了计算曲边梯形的面积为了计算曲边梯形的面积S S，将它分割成许多小曲边梯形，将它分割成许多小曲边梯形， x y O 1 方案方案1 1 方案方案2 2 方案方案3 3 y=xy=x2 2 解题思想解题思想 “细分割、近似和、渐逼近”细分割、近似和、渐逼近” 下面用第一种
4、方案“以直代曲”的具体操作过程下面用第一种方案“以直代曲”的具体操作过程 （1 1）分割）分割 把区间把区间00，11等分成等分成n n个小区间：个小区间： 11 2i 1 in1 n 0, nn nnnnn ii 11 x nnn 过各区间端点作过各区间端点作x x轴的垂线，轴的垂线， 从而得到从而得到n n个小曲边梯形，它个小曲边梯形，它 们的面积分别记作们的面积分别记作 12in S , S , S , S . 每个区间长度为每个区间长度为 1 n i i SS （2 2） 近似代替近似代替 2 i i 1i 11 Sf() x() nnn （3 3）求和）求和 n 12ni i 1 n
5、n 2 i 1i 1 2222 3 SSSSS , i-1 1i-11 f()() nnnn 1 012(n1) n (i=1,2,n)(i=1,2,n) （4 4）取极限）取极限 n n 当当分分割割无无限限变变细细，即即 x x0(0(亦亦即即n n+ +) )时时， 11111111 S =lim1-1-=S =lim1-1-= 3n2n33n2n3 1 1 即即所所求求曲曲边边梯梯形形的的面面积积为为. . 3 3 3 1 (n1)n(2n1) n6 111 (1)(1) 3n2n 演示演示 区间区间0,10,1的等分数的等分数n n S S的近似值的近似值S Sn n 2 2 0.1
6、25 000 000.125 000 00 4 4 0.218 750 000.218 750 00 8 8 0.273 437 500.273 437 50 1616 0.302 734 380.302 734 38 3232 0.317 871 090.317 871 09 6464 0.325 561 520.325 561 52 128128 0.329 437 260.329 437 26 256256 0.331 382 750.331 382 75 512512 0.332 357 410.332 357 41 10241024 0.332 845 210.332 845 21
7、20482048 0.333 089 230.333 089 23 我们还可以从数值上看出这一变化趋势我们还可以从数值上看出这一变化趋势 2 0 11 1 , 11 limlim. 3 ii nn ii xn ii ii f xxf nn Sfxf n 取取在在区区间间上上任任意意一一点点 处处的的值值 作作为为近近似似值值，都都有有 分割分割 近似代替近似代替 求和求和 取极限取极限 一般地，对于曲边梯形，我们也可采用一般地，对于曲边梯形，我们也可采用 的方法，求其面积的方法，求其面积. . 思考思考1 1：已知物体运动路程与时间的关系已知物体运动路程与时间的关系, ,怎样求物体的怎样求物体
8、的 运动速度？运动速度？ 例如例如 s s(t)=3t(t)=3t 2 2+2. +2. 则则 v(t)= v(t)= s s (t)=6t+0.(t)=6t+0. s s=vt =vt 直接求出直接求出 探究点探究点2 2 汽车行驶的路程汽车行驶的路程 思考思考2 2：已知物体运动速度为已知物体运动速度为v v( (常量常量) )及时间及时间t t，怎么，怎么 求路程？求路程？ 思考思考 3：如果汽车如果汽车做做 变变速直线运动， 在时速直线运动， 在时 刻刻 t 的速度为的速度为 v(t)= t2+2. 那 么 它 在那 么 它 在 0t1 这段时间内行这段时间内行 驶的路程驶的路程 s
9、s 是多少是多少 呢？呢？ 1 SD 2 SD 2 ( )2v tt O O v t t 1 2 ggg g g 3 SD j SD n SD 1 1 n n 2 2 n n 3 3 n n j j n n n - 1n - 1 n n 4 SD 解：解： （1 1）分割分割 在时间区间在时间区间0,1上等间隔地插入上等间隔地插入1n个个分分点， 将区间点， 将区间 0,1等分成等分成n个小区间：个小区间： 1 0, n ， 12 , n n ， 1 ,1 n n 记第记第i个区间为个区间为 1 ,(1,2, ) ii in nn ，其长度为，其长度为 11ii t nnn 把汽车在时间段把汽
10、车在时间段 1 0, n ， 12 , n n ， 1 ,1 n n 上行上行 驶的路程分别记作：驶的路程分别记作： 1 S， 2 S， n S 显然，显然， 1 n i i SS （2 2）近似代替）近似代替 当当n很大，即很大，即t很小时，在区间很小时，在区间 1 , ii nn 上，可以认为函数上，可以认为函数 2 2v tt 的值变化很的值变化很 小， 近似小， 近似地地等于一个常数， 不妨认为它近似等于一个常数， 不妨认为它近似地地等于左端等于左端 点点 1i n 处的函数值处的函数值 2 11 2 ii v nn ，从从物理意义物理意义 看，看，就是就是汽车在时间段汽车在时间段 1
11、 , ii nn (1,2, )in上的速上的速 度变化很小，不妨认为它近似地以时刻度变化很小，不妨认为它近似地以时刻 1i n 处的速度处的速度 2 11 2 ii v nn 做做匀速直线运动匀速直线运动， 即在局部小范围内“以匀速代变速” ，于是即在局部小范围内“以匀速代变速” ，于是用小矩形用小矩形 的面积的面积 i S 近似近似地地代替代替 i S，则有，则有 2 111 2 ii ii SSvt nnn 2 112 (1,2, ) i in nnn （3 3）求和）求和 由得，由得， 2 111 1112 nnn ni iii ii SSvt nnnn = = 22 11111 02
12、 n nnnnn = = 2 22 3 1 1212n n = = 3 1211 2 6 nnn n = = 111 112 32nn 从而得到从而得到S的近似值的近似值 111 112 32 n SS nn . . （4 4）取极限）取极限 当当n趋向于无穷大时，即趋向于无穷大时，即t趋向于趋向于 0 0 时，时， 111 112 32 n S nn 趋向于趋向于S， 从而有从而有 1 11 limlim n n nn i i SSv nn 1115 lim112 323 n nn . . 思考思考 4 4：结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车 行驶的路程
13、行驶的路程 s s 与与由直线由直线 t=0t=0，t=1t=1，v=0v=0 和曲线和曲线 v=v= t t 2 2+2 +2 所围成的曲边梯形的面积有什么关系？所围成的曲边梯形的面积有什么关系？ 图中矩形面积图中矩形面积的的和就是曲边和就是曲边 梯形的面积，从而汽车行梯形的面积，从而汽车行 驶的路程驶的路程 在数在数 值上就等于相应曲边梯形值上就等于相应曲边梯形 面积面积. . slims n n o t v 1 2tv 2 65.1图图 , ( ), , . vv t atb 一一般般地地 如如果果物物体体做做变变速速直直线线运运动动 速速 度度函函数数为为那那么么我我们们也也可可采采用
14、用分分割割、 近近似似代代替替、求求和和、取取极极限限的的方方法法 求求出出它它在在 内内的的位位移移s s 2 lim 0,1,02 . n n SS ttvvt 从从而而，汽汽车车行行驶驶的的路路程程在在数数值值上上等等于于 由由直直线线和和曲曲线线所所围围成成的的曲曲 边边梯梯形形的的面面积积 例例 弹簧在拉伸过程中弹簧在拉伸过程中, ,力与伸长量成正比力与伸长量成正比, ,即力即力 F(x)=kx (kF(x)=kx (k是常数是常数,x,x是伸长量是伸长量).).求弹簧从平衡位置求弹簧从平衡位置 拉长拉长b b所做的功所做的功. . 将区间将区间0,b n等分等分: 解：解：W=Fx
15、,F(x)=kxW=Fx,F(x)=kx b x n 分点依次为：分点依次为： 012 1 2 0,., (1) ,. nn bb xxx nn nb xxb n ,n ii+1ii+1 i i 在在分分段段x ,xx ,x 所所用用的的力力约约为为kx，kx，所所做做的的功功: : iii b Wkxxkx n 则从则从0到到b所做的功所做的功W近似等于近似等于: 111 000 nnn ii iii ib b Wkxxk nn nn+,得,得到到簧簧平平衡衡 位位置置拉拉b所b所做做的的功功 当弹从 长为 111 000 nnn ii iii ib b Wkxxk nn 2 2 22 2
16、0 12.(1) (1)1 (1) 22 kb n n kb n nkb nn 21 0 lim 2 n i n i kb WW 总结提升：总结提升： 求由连续曲线求由连续曲线y y= =f f( (x x) )对应的曲边梯形面积对应的曲边梯形面积 的方法的方法 （1 1）分割分割 （2 2）近似代替近似代替 （3 3）求和求和 （4 4）取极限取极限 0()xn 或 2 1 .( ), 12 .( ). ( ). ( ).0 ii f xx nn i ffff nnn 1n ABCD 当当 很很大大时时，函函数数在在区区间间 上上的的值值，可可以以用用（ ）近近似似代代替替. . C C 1
17、 1 1 “”( ), .( ) .() .( )(,) . 2f x A B C D ii i i iiii x x f x f x fx x . .在在 近近似似代代替替 中中，函函数数在在区区间间 上上的的近近似似值值等等于于（） 只只能能是是左左端端点点的的函函数数值值 只只能能是是右右端端点点的的函函数数值值 可可以以是是该该区区间间内内任任一一点点的的函函数数值值 以以上上答答案案均均不不正正确确 C C 1.1.求曲边梯形面积的“四个步骤”：求曲边梯形面积的“四个步骤”： 1 1分割分割 化整为零化整为零 2 2近似代替近似代替 以直代曲以直代曲 3 3求和求和 积零为整积零为整 4 4取极限取极限 刨光磨平刨光磨平 不积跬步，无以至千里；不积小流，无以 成江海。 荀子劝学
