1、-1- 2.4 空间直角坐标系 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 课程目标课程目标 学习脉络学习脉络 1.通过具体情境,感受建立空间直角 坐标系的必要性,了解空间直角坐标 系,会用空间直角坐标系刻画点的位 置. 2.会推导空间两点间的距离公式和 空间中点坐标公式,并能在具体问题 中正确应用. JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 1.空间直角坐标系的建立 为了确定空间点的位置,在平面直角坐标系 xOy 的基础
2、上,通过原点 O, 再作一条数轴z,使它与x轴,y轴都垂直,这样它们中的任意两条都互相垂直. 轴的方向通常这样选择:从 z 轴的正 方向看,x 轴的正半轴沿逆时针方向转 90 能与 y 轴的正半轴重合,这样就在空间建 立了一个空间直角坐标系 Oxyz,O 叫做坐 标原点.每两条坐标轴分别确定的平面 yOz,xOz,xOy 叫做坐标平面,三个坐标平面 把空间分成八个卦限,如图所示. xOy 平面:由 x 轴及 y 轴确定的坐标平面; xOz 平面:由 x 轴及 z 轴确定的坐标平面; yOz 平面:由 y 轴及 z 轴确定的坐标平面. JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIA
3、N NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 2.点在空间直角坐标系中的坐标 取定了空间直角坐标系后,就可以建立空间内的任意一点与三个实数 的有序数组(x,y,z)之间的一一对应关系. 点 M 为空间一已知点,在空间直角坐标系中,过这点作两条轴所确定平 面的平行平面,交另一条轴于一点,交点在这条轴上的坐标就是点 M 相应的 一个坐标.设点 M 在 x 轴、y 轴、z 轴的坐标依次为 x,y,z.于是空间的点 M 就唯一确定了一个有序数组 x,y,z.这组数 x,y,z 就叫做点 M 的坐标,记为 (x,y,z),并依次称 x,y 和 z 为点 M 的 x 坐标、y 坐标
4、和 z 坐标.反之,设(x,y,z) 为一个三元有序数组,过 x 轴上坐标为 x 的点,y 轴上坐标为y 的点,z 轴上坐 标为 z 的点,分别作 x 轴、y 轴、z 轴的垂直平面,这三个平面的交点 M 便是 三元有序数组(x,y,z)唯一确定的点.所以,通过空间直角坐标系,我们就建立 了空间的点 M 和有序数组(x,y,z)之间的一一对应关系. JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 八个卦限中的点的坐标符号也有一定的特点: :(+,+,+);:(-,+,+);:(-,-,+); :(+,-,+);:(
5、+,+,-);:(-,+,-); :(-,-,-);:(+,-,-). JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 思考 1在空间直角坐标系中,点 P(x,y,z)落在 x,y,z 轴上时,点 的坐标有何特点?点 P(x,y,z)落在 xOy 面、 yOz 面和 xOz 面上时,点的坐标有 何特点? 提示:坐标轴及坐标平面上点的坐标形式 点的位置 坐标形式 xOy 平面 (x,y,0) xOz 平面 (x,0,z) yOz 平面 (0,y,z) x 轴 (x,0,0) y 轴 (0,y,0) z 轴 (0,0
6、,z) JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 3.空间两点的距离公式 空间两点的距离公式可以看作是平面内两点间距离公式的推广,如图. M1(x1,y1,z1),P(x2,y1,z1), M2(x2,y2,z2),N(x2,y2,z1), |M1P|=|x2-x1|,|PN|=|y2-y1|, |M2N|=|z2-z1|, |M1N|2=|M1P|2+|PN|2=(x2-x1)2+(y2-y1)2, |M1M2|2=|M1N|2+|NM2|2=(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2. JIC
7、HU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 所以点 M1与 M2间的距离为 d(M1,M2)= (1-2)2+ (1-2)2+ (1-2)2. 应用两点间的距离公式时,注意是三组对应坐标之差的平方和再开方. 特别地,点 M(x,y,z)到原点的距离公式为 d(O,M)= 2+ 2+ 2. 思考 2在空间直角坐标系中,表达式 x2+y2+z2的几何意义是 什么? 提示:x2+y2+z2的几何意义是空间中点P(x,y,z)到原点O(0,0,0)的距离的 平方. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JI
8、CHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究一 空间中点的坐标 1.过点 M作 MM1垂直于平面 xOy,垂足为 M1,求出 M1的 x坐标和 y 坐 标,再由射线 M1M的指向和线段 M1M的长度确定 z坐标. 2.构造以 OM为体对角线的长方体,由长方体的三个棱长结合点 M的 位置,可以确定点 M的坐标. 3.若题中所给的图形中存在垂直于坐标轴的平面,或点 M在坐标轴或 坐标平面上,则利用这一条件,再作轴的垂线即可确定点 M的坐标. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知
9、识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 【典型例题 1】 已知一个长方体的长、宽、高分别为 5,3,4,试建立适 当的空间直角坐标系,写出长方体的各个顶点的坐标. 思路分析:可以以长方体的一个顶点为原点,建立空间直角坐标系,也可 以以长方体的中心作为原点. 解:如图所示,以A为坐标原点,AB所在的 直线为 x 轴,AD 所在的直线为 y 轴,AA1所在 的直线为 z 轴,建立空间直角坐标系 Oxyz.易 知|AB|=3,|BC|=5,|AA1|=4, 则 A(0,0,0),B(3,0,0),D(0,5,0),A1(0,0,4),C(3,5,0),D1
10、(0,5,4),B1(3,0,4),C1(3,5,4). ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 点评建立坐标系的原则是让更多的点落在坐标轴上,进而使得点 的坐标表示比较简单. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究二 空间中的对称问题 在空间直角坐标系内,已知点 P(x,y,z),则有如下对称规律: 点 P 关于原点的对称点是 P
11、1(-x,-y,-z); 点 P 关于 x 轴的对称点是 P2(x,-y,-z); 点 P 关于 y 轴的对称点是 P3(-x,y,-z); 点 P 关于 z 轴的对称点是 P4(-x,-y,z); 点 P 关于坐标平面 xOy 的对称点是 P5(x,y,-z); 点 P 关于坐标平面 yOz 的对称点是 P6(-x,y,z); 点 P 关于坐标平面 xOz 的对称点是 P7(x,-y,z). ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 【典型例题 2】 (1)在空间直
12、角坐标系中,点 P(-2,1,4)关于 x 轴的对称 点的坐标是( ) A.(-2,1,-4) B.(-2,-1,-4) C.(2,-1,4) D.(2,1,-4) 解析:由于点 P 关于 x 轴对称后,它在 x 轴的分量不变,在 y,z 轴的分量 变为原来的相反数,所以对称点 P1的坐标为(-2,-1,-4). 答案:B ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 (2)在空间直角坐标系中,点 P(-2,1,4)关于 xOy 平面的对称点的坐标是 ( ) A.(-2,
13、1,-4) B.(-2,-1,-4) C.(2,-1,4) D.(2,1,-4) 解析:由于点 P 关于 xOy 平面对称后,它在 x 轴、y 轴的分量不变,在 z 轴的分量变为原来的相反数,所以对称点 P2的坐标为(-2,1,-4). 答案:A ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究三 空间两点的距离公式的应用 求空间两点间的距离的步骤: ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI
14、随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 【典型例题 3】 (1)若已知点 A(1,1,1),B(-3,-3,-3),则线段 AB 的长为 ( ) A.4 3 B.2 3 C.4 2 D.3 2 解析:|AB|= (1 + 3)2+ (1 + 3)2+ (1+ 3)2=4 3. 答案:A ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 (2)在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,|AB|=|BC|=2,|D1D|=3,点 M 是 B1C1的 中点,点 N 是 AB
15、 的中点.建立如图所示的空间直角坐标系. 写出点 D,N,M 的坐标; 求线段 MD,MN 的长度. 解:因为 D 是原点,则 D(0,0,0). 由|AB|=|BC|=2,|D1D|=3,得 A(2,0,0),B(2,2,0),B1(2,2,3),C1(0,2,3). 因为 N 是 AB 的中点,所以 N(2,1,0). 同理可得 M(1,2,3). 由两点间的距离公式,得|MD|= (1-0)2+ (2-0)2+ (3-0)2= 14, |MN|= (1-2)2+ (2-1)2+ (3-0)2= 11. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知
16、识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究四 空间中点坐标公式的应用 平面上的中点坐标公式可推广到空间,即设 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则 AB 中点 P 1+2 2 , 1+2 2 , 1+2 2 .大家对数轴上的中点公式,平面上的中点公式 及空间中的中点公式进行对比,以加深理解. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 【典型例题 4】 在空间直角坐标系中,点 P(-2,1,4)关于点 M(2,
17、-1,-4)的 对称点的坐标是( ) A.(0,0,0) B.(2,-1,-4) C.(6,-3,-12) D.(-2,3,12) 解析:设对称点为P3,则点M为线段 PP3的中点,设P3(x,y,z),由中点坐标 公式,可得 x=22-(-2)=6,y=2(-1)-1=-3,z=2(-4)-4=-12,所以 P3(6,-3,-12). 答案:C ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究五 易错辨析 易错点:因忽视动点 M 所处的范围而致误 【典型例题 5】 已
18、知点 A(1,2,3),B(3,-1,-2),且|MA|=|MB|,求动点 M 的 轨迹方程. 错解:设 M(x,y,z),依题意得, (x-1)2+(y-2)2+(z-3)2=(x-3)2+(y+1)2+(z+2)2,整理得 2x-3y-5z=0. 所以动点 M 的轨迹方程为 2x-3y-5z=0,轨迹是线段 AB 的垂直平分线. 错因分析:把平面几何中的结论硬套在空间几何中了,实际上满足 |MA|=|MB|的动点M在空间中的轨迹是线段 AB的垂直平分面.注意范围的 改变. 正解:设 M(x,y,z),依题意,得 (x-1)2+(y-2)2+(z-3)2=(x-3)2+(y+1)2+(z+2
19、)2,整理得 2x-3y-5z=0, 所以动点 M 的轨迹方程为 2x-3y-5z=0,轨迹是线段 AB 的垂直平分面. SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 6 1.若半径为 r 的球在第卦限内,且与各坐标平面均相切,则球心的坐标是 ( ) A.(r,r,r) B.(r,r,-r) C.(-r,-r,r) D.(r,-r,r) 答案:B SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4
20、5 6 2.点 P(1,2,1)关于 xOz 平面的对称点的坐标是( ) A.(1,-2,1) B.(-1,-2,1) C.(1,2,-1) D.(-1,-2,-1) 答案:A SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 6 3.已知点 A(-3,1,5)与点 B(4,3,1),则 AB 的中点坐标是( ) A. 7 2 ,1,-2 B. 1 2 ,2,3 C.(-12,3,5) D. 1 3 , 4 3 ,2 答案:B SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHIS
21、HI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 6 4.在空间直角坐标系中,已知点 A(1,0,2),B(1,-3,1),点 M 在 y 轴上,且 M 到 A 与到 B 的距离相等,则 M 的坐标是 . 解析:设 M 的坐标为(0,y,0),由|MA|=|MB|得 (0-1)2+(y-0)2+(0-2)2=(0-1)2+(y+3)2+(0-1)2,整理得6y+6=0,所以y=-1,即点M 的坐标为(0,-1,0). 答案:(0,-1,0) SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重
22、点难点 1 2 3 4 5 6 5.在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,E,F 分别是 BB1,D1B1的中点,且正方体的棱 长为 1,试建立适当的空间直角坐标系,求点 E,F 的坐标. 分析:点E,F分别为棱BB1和面对角线D1B1的中点,应先求出点B,B1,D1的坐 标,再根据中点坐标公式求 E,F 两点的坐标. SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 6 解:如图,建立空间直角坐标系. 由正方体的棱长为1,可得B,B1,D1的坐标分 别为 B(1,1,0),B1(1,1,1)
23、,D1(0,0,1), 因为 E 为 B1B 的中点,F 为 B1D1的中点, 所以 E的坐标为 1+1 2 , 1+1 2 , 1+0 2 = 1,1, 1 2 , F 的坐标为 1+0 2 , 1+0 2 , 1+1 2 = 1 2 , 1 2 ,1 . SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 6 6.直三棱柱 ABC-A1B1C1,底面ABC 中,|CA|=|CB|=1,BCA=90 ,棱 |AA1|=2,M,N 分别是 A1B1,A1A 的中点.求|MN|的长. 解:如图所示,以C为原点,以CA,CB,CC1所在直线为坐标轴建立空间直角坐 标系 Cxyz. 因为|CA|=|CB|=1,|AA1|=2, 所以 N(1,0,1),M 1 2 , 1 2 ,2 . 由两点间的距离公式得 |MN|= 1- 1 2 2 + 0- 1 2 2 + (1-2)2= 6 2 , 故|MN|的长为 6 2 .
