1、2.1.4 数乘向量数乘向量 课件（人教课件（人教B版必修版必修4） 学习目标学习目标 1.掌握数乘向量的定义掌握数乘向量的定义，并理解其几何意义并理解其几何意义 2掌握数乘向量的运算律掌握数乘向量的运算律 3了解向量线性运算性质及其几何意义了解向量线性运算性质及其几何意义 课堂互动讲练课堂互动讲练 知能优化训练知能优化训练 2.1.4 课前自主学案课前自主学案 学习目标学习目标 课前自主学案课前自主学案 温故夯基温故夯基 1平行四边形法则适用于平行四边形法则适用于_向量求向量求 和和，而而_适用于任意向量求和适用于任意向量求和 2实数运算满足乘法对于加法的分配律实数运算满足乘法对于加法的分配
2、律，即即(a b)_，其中其中，a，bR. 3实数乘法满足结合律实数乘法满足结合律，即即(a)_， 其中其中，a，bR. 两个不共线两个不共线 三角形法则三角形法则 ab ()a 知新益能知新益能 1实数与向量的积实数与向量的积 (1)定义：实数定义：实数与向量与向量a的积是一个的积是一个_，记作记作 _. (2)它的长度与方向规定如下：它的长度与方向规定如下： |a|_； 当当0时时，a与与a的方向相同；当的方向相同；当0时时，a与与a的的 方向相反；当方向相反；当0时时，a0，方向任意方向任意 向量向量 a |a| 2实数与向量的积的运算律实数与向量的积的运算律 设设、R，则：则： (1)
3、( a)_； (2)()a_； (3)(ab)_. 3向量的线性运算向量的线性运算 向量的向量的_、减法和减法和 _的综合运算的综合运算， 通常叫做向量的线性运算通常叫做向量的线性运算 ()a aa ab 加法加法 数乘向量数乘向量 思考感悟思考感悟 1数乘向量与数乘数的积有何不同？数乘向量与数乘数的积有何不同？ 提示：提示：数乘向量数乘向量a仍是向量仍是向量，既有大小既有大小，又有又有 方向方向，与向量与向量a同方向或反方向同方向或反方向，即即aa；而；而 实数的乘积仍是实数实数的乘积仍是实数，只有大小只有大小，没有方向没有方向 2实数与向量可以进行加减法运算吗实数与向量可以进行加减法运算吗
4、？ 提示：提示：不可以不可以如如a，a是无法运算的是无法运算的 课堂互动讲练课堂互动讲练 考点突破考点突破 向量数乘运算的概念向量数乘运算的概念 对于数乘运算对于数乘运算，要把握好方向要把握好方向，任意实数任意实数 与任意向量与任意向量a的乘积的乘积a仍是向量仍是向量，另外应弄另外应弄 清数乘向量的模之间的关系清数乘向量的模之间的关系 例例1 已知已知 a、b 是两个非零是两个非零向量，判断下列各说法向量，判断下列各说法 是否正确，并说明理由是否正确，并说明理由 (1)2a 与与 a 是共线向量，且是共线向量，且2a 的模是的模是 a 的模的的模的 两倍；两倍； (2)3a 与与 5a 的方向
5、相同，且的方向相同，且 3a 的模是的模是 5a 的模的的模的3 5； ； (3)2a 与与 2a 是一对相反向量；是一对相反向量； (4)ab 与与(ba)是一对相反向量是一对相反向量 【思路点拨思路点拨】 根据数乘向量与相反向量的定义根据数乘向量与相反向量的定义 即可判断即可判断 【解】【解】 (1)正确，正确，20， 2a 与与 a 方向相反，两向量共线方向相反，两向量共线 又又|2a|2|a|，(1)正确正确 (2)正确正确 30， 3a 与与 a 方向相同， 且方向相同， 且|3a|3|a|； 50，5a 与与 a 方方向相同，且向相同，且|5a|5|a|. 3a 与与 5a 方向相
6、同，且方向相同，且 3a 的模是的模是 5a 的模的的模的3 5. (3)正确正确按照相反向量的定义可以判断按照相反向量的定义可以判断 (4)错误错误法一：因为法一：因为(ba)与与ba是一对相反是一对相反 向量向量，而而ab与与ba是一对相反向量是一对相反向量， 故故ab与与(ba)为相等向量为相等向量 法二：法二：(ba)baab， ab与与(ba)为相等向量为相等向量 【点评点评】 首先要意识到向量线性运算的结果仍首先要意识到向量线性运算的结果仍 是向量是向量，然后要明确判断两向量的关系然后要明确判断两向量的关系，应从两应从两 个方面入手个方面入手，一是方向一是方向，二是长度二是长度 变
7、式训练变式训练1 试判断下列说法的正误试判断下列说法的正误，并说明理并说明理 由由 (1)若若a0，则则0； (2)若非零向量若非零向量a，b满足满足|ab|a|b|， 0，则则a与与b同向；同向； (3)对于实数对于实数m和向量和向量a，b，若若mamb，则则ab； (4)对于实数对于实数m、n和向量和向量a，若若mana，则则mn. 解：解：(1)错误错误a0，则则0或或a0. (2)错误错误由由|ab|a|b|知知a与与b反向反向 由由0知知与与同号同号，所以所以a与与b反向反向 (3)错误错误当当m0时时，虽有虽有0a0b0，但但a与与b不不 一定相等一定相等 (4)错误错误当当a0时
8、时，虽有虽有m0 n0 0，但但m与与n 不一定相等不一定相等 向量的线性运算可类比实数、代数式运算，但向量的线性运算可类比实数、代数式运算，但 要注意它们的意义的差别要注意它们的意义的差别 (1)化简：化简： 8(2abc)6(a2bc)2(2ac)； (mn)(ab)(mn)(ab) (2)设设x是未知向量是未知向量， 解方程解方程5(xa)3(xb)0； 解方程解方程(xa)(ax2b)0. 向量的线性运算向量的线性运算 例例2 【思路点拨思路点拨】 根据向量加根据向量加、减减、数乘的运算法数乘的运算法 则和运算性质即可得到答案则和运算性质即可得到答案 【解解】 (1)原式原式16a8b
9、8c6a12b6c 4a2c (1664)a(812)b(862)c 6a4b. 原式原式(mn)a(mn)b(mn)a(mn)b 2(mn)b. (2)原式可化为：原式可化为：5x5a3x3b0,8x 5a3b， x5 8a 3 8b. 原式可化为：原式可化为：xaax2b0,2x2a 2b0， xab. 【点评点评】 (1)向量的初等运算类似于实数的运算向量的初等运算类似于实数的运算， 其化简的方法与代数式的化简类似其化简的方法与代数式的化简类似，可以进行加可以进行加、 减减、数乘等数乘等，也满足运算律也满足运算律，可以进行去括号可以进行去括号、 移项移项、合并同类项等变形手段合并同类项等
10、变形手段 (2)向量方程的解法可类比于代数方程的解法向量方程的解法可类比于代数方程的解法，解解 题过程中应注意向量线性运算的综合应用题过程中应注意向量线性运算的综合应用，特别特别 是不应忽视符号问题是不应忽视符号问题 变式训练变式训练 2 (1)化简化简2 3 4a3b 1 3b 1 4 6a 7b ； (2)设向量设向量 a3i2j，b2ij，求，求 1 3a b a2 3b (2ba)； (3)设设 x、y 是未知向量，是未知向量，a，b 是已知向量，解方是已知向量，解方 程组程组 1 2x ya x1 2y b 解：解：(1)原式原式2 3 4a3b1 3b 3 2a 7 4b 2 3
11、43 2 a 31 3 7 4 b 2 3 5 2a 11 12b 5 3a 11 18b. (2)原式原式1 3a ba2 3b 2ba 1 3 11 a 12 3 2 b 5 3a 5 3b 5 3(3i 2j)5 3(2i j) 510 3 i 10 3 5 3 j 5 3i 5j. (3)把第一个方程的把第一个方程的2 倍与第二个方程相加，得倍与第二个方程相加，得 3 2y 2ab，从而，从而 y4 3a 2 3b. 代入原来的第二个方程， 得代入原来的第二个方程， 得 x1 2 4 3a 2 3b b， 移项并化简，得移项并化简，得 x2 3a 4 3b. x2 3a 4 3b y4
12、 3a 2 3b . 数乘向量在平面几何中的应用数乘向量在平面几何中的应用 数乘向量的主要应用是将平面几何问题和实际问数乘向量的主要应用是将平面几何问题和实际问 题转化为向量问题，通过向量的运算来解决题转化为向量问题，通过向量的运算来解决 已知任意平面四边形已知任意平面四边形 ABCD 中，中，E、F 分别是分别是 AD、BC 的中点的中点 求证：求证：EF 1 2(AB DC ) 例例3 【思路点拨】【思路点拨】 本题主要考查向量法在平面几何中的应用，本题主要考查向量法在平面几何中的应用， 利用向量的线性运算，将利用向量的线性运算，将EF 转化为含转化为含AB 、DC 的和即可的和即可 【证
13、明】【证明】取以点取以点 A 为起点的向量，为起点的向量， 应用三角形法则求证，如图应用三角形法则求证，如图 E 为为 AD 的中点，的中点，AE 1 2AD . F 是是 BC 的中点，的中点， AF 1 2(AB AC ) 又又AC AD DC ， AF 1 2(AB AD DC )1 2(AB DC )1 2AD . EF AF AE 1 2(AB DC )1 2AD 1 2AD 1 2(AB DC ) 【点评点评】 向量线性运算几何意义应用中的常见向量线性运算几何意义应用中的常见 结论：结论： 图形图形 结论结论 表示表示 ab，ab 两向量的有向线段恰为同一平行四边形的两条对角两向量
14、的有向线段恰为同一平行四边形的两条对角 线线 AB AC 2AD a |a|表示与 表示与 a 同向的单位向量同向的单位向量 变式训练变式训练 3 如图，在梯形如图，在梯形 ABCD 中，中，ABCD，且，且 AB 2CD，M、N 分别是分别是 DC 和和 AB 的中点，若的中点，若AB a，AD b， 试用试用 a，b 表示表示BC 和和MN . 解：解：法一：连接法一：连接 CN(图略图略) ANDC，且，且 ANDC1 2AB， ， 四边形四边形 ANCD 为平行四边形为平行四边形 CN AD b. CN NB BC 0， BC NB CN b1 2a， ， MN CN CM CN 1
15、2AN 1 4a b. 法二：在梯形法二：在梯形 ABCD 中，中， 有有AB BC CD DA 0， 即即 aBC 1 2a (b)0， 可得可得BC b1 2a， ， 在四边形在四边形 ADMN 中，有中，有AD DM MN NA 0， 即即 b1 4a MN 1 2a 0， 可得可得MN 1 4a b. 1向量数乘的运算律与中学代数运算中实数向量数乘的运算律与中学代数运算中实数 乘法的运算律相似，只是向量数乘的分配律由乘法的运算律相似，只是向量数乘的分配律由 于因子的不同，可分为于因子的不同，可分为()aa a和分和分 配律配律(ab)ab. 方法感悟方法感悟 2几个重要结论几个重要结论 (1)设设 G 是是ABC 的重心，则有的重心，则有GA GB GC 0， 反之也成立反之也成立 (2)设设 G 是是ABC 的重心， 对于平面上任意一点的重心， 对于平面上任意一点 O， 有有OG 1 3(OA OB OC ) (3)在在ABC 中，中，D、E、F 分别是分别是 AB、BC、CA 的的 中点， 则有中点， 则有AE 1 2(AB AC )， BF 1 2(BA BC )，CD 1 2( )CA CB .
