1、不等式不等式 第三章第三章 3.2 均值不等式均值不等式 第三章第三章 第第1课时课时 均值不等式均值不等式 某金店有一座天平，由于左右两臂长略有 不等，所以直接称重不准确有一个顾客要买 一串金项链，店主分别把项链放于左右两盘各 称一次，得到两个不同的重量 a 和 b，然后就 把两次称得的重量的算术平均数 ab 2 作为项 链的重量来计算顾客对这个重量的真实性提 出了质疑，那么这样计算的重量相对于原来的 真实重量到底是大了还是小了呢？ 1均值定理(又称基本不等式或均值不等式) (1)形式：_. (2)成立的前提条件：_，_. (3)等号成立的条件：当且仅当_时取 等号 2算术平均值和几何平均值
2、 (1)定义 _叫做正实数a、b的算术平均值， _叫做正实数a、b的几何平均值 ab 2 ab aR bR ab ab 2 ab (2)结论 两个正实数的算术平均值_它们的几何平均 值 (3)应用基本不等式求最值如果x、y都是正数，那么 若积xy是定值P，那么_时，和xy有_ 值若和 xy是定值S，那么当_时，积xy 有_值 大于或等于 xy 最小 xy 最大 1.不等式m212m中等号成立的条件是( ) Am1 Bm1 Cm1 Dm0 答案 A 解析 m212m(m1)20， 当且仅当m1时，等号成立 2已知 x0，则 y3x4 x有( ) A最大值 4 3 B最小值 4 3 C最大值 2
3、3 D最小值 2 3 答案 B 解析 x0，y3x4 x2 3x 4 x4 3，当且仅当 3x 4 x，即 x 2 3 3 时，等号成立 3已知 x0，y0，x2y2xy8，则 x2y 的最小值是 ( ) A3 B4 C9 2 D11 2 答案 B 解析 x2y8x (2y)8(x2y 2 )2， 整理得(x2y)24(x2y)320. 即(x2y4)(x2y8)0， 又 x2y0， x2y4.故选 B 4在4 9 60的两个 中，分别填 入两自然数，使它们的倒数和最小，应分别 填上_和_ 答案 6 4 解析 设两数为 x，y，即 4x9y60. 1 x 1 y( 1 x 1 y) 4x9y
4、60 1 60(13 4x y 9y x ) 1 60(132 4x y 9y x ) 1 60(1312) 5 12.当且仅当 4x y 9y x ， 且 4x9y60，即 x6 且 y4 时等号成立，故应填 6 和 4. 5若正数a、b满足abab3，则ab的取 值范围是_ 答案 9，) 解析 a0，b0，ab2 ab. abab32 ab3， ( ab)22 ab30， ab3 或 ab1(舍去)， ab9. 课堂典例讲练课堂典例讲练 利用均值不等式比较两数(式)的大小 已知 ma 1 a2(a2)， n22b 2(b0)， 则 m、 n 的大小关系是( ) Amn Bm2，a20， 又
5、ma 1 a2(a2) 1 a22 2a2 1 a224，当且仅当 a2 1 a2，即(a 2)21，又 a20，a21，即 a3 时取等号m4. b0，b20，2b20，则函数 yt 24t1 t 的最小值为_ 答案 2 解析 t0，yt 24t1 t t1 t 4242，当 且仅当 t1 t ，即 t1 时，等号成立. 均值不等式在实际问题中的应用 某房地产开发公司计 划在一楼区内建造一个长方形公园 ABCD，公园由长方形 A1B1C1D1的休 闲区和环公园人行道(阴影部分)组 成已知休闲区 A1B1C1D1的面积为 4 000m2，人行道的宽分别 为 4m 和 10m(如图所示) (1)
6、若设休闲区的长和宽的比A1B1 B1C1x(x1)，求公园 ABCD 所占面积 S 关于 x 的函数 S(x)的解析式； (2)要使公园所占面积最小， 则休闲区 A1B1C1D1的长和宽该 如何设计？ 解析 (1)设休闲区的宽为 am，则其长为 axm，由 a2x4 000，得 a20 10 x . 则 S(x)(a8)(ax20)a2x(8x20)a160 4 000(8x20) 20 10 x 160 80 10(2 x 5 x)4 160(x1) (2)S(x)80 1022 x 5 x4 160 1 6004 1605 760. 当且仅当 2 x 5 x，即 x2.5 时取等号，此时
7、a40，ax 100. 所以要使公园所占面积最小， 休闲区 A1B1C1D1应设计为长 100m，宽 40m. 某种汽车，购车费用是 10 万元，每年使用的保险费、养路 费、汽油费约为 0.9 万元，年维修费第一年是 0.2 万元，以后逐 年递增 0.2 万元，问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用 最少？ 解析 年平均费用等于总费用除以年数，总费用包括： 购车费、保险费、养路费、汽油费总和以及维修费用总和，因 此应先计算总费用，再计算年平均费用 设使用 x 年平均费用最少 由条件知：汽车每年维修费构成以 0.2 万元为首项，0.2 万 元为公差的等差数列 因此，汽车使用 x 年总的维修费用为
8、 0.20.2x x 2 万元 设汽车的年平均费用为 y 万元，则有 y 100.9x0.20.2x x 2 x 10x0.1x 2 x 110 x x 1012 10 x x 103. 当且仅当10 x x 10，即 x10 时，y 取最小值 答：汽车使用 10 年平均费用最少 易错疑难辨析易错疑难辨析 (20132014学年度吉林省舒兰市高二期末测试) 已知 a0，b0，且1 a 9 b1，求 ab 的最小值 错解 a0，b0， 1 a 9 b2 9 ab6 1 ab， 6 1 ab1， 1 ab 1 36，ab36. ab2 ab12. ab 的最小值为 12. 辨析 上述解法错误的原因是两次使用均值不等式时， 两个等号成立的条件不同，即第一次等号成立的条件为1 a 9 b， 即 b9a， 第二次等号成立的条件为 ab， 故 ab 取不到最小 值 12. 正解 a0，b0，1 a 9 b1， ab(1 a 9 b)(ab)19 b a 9a b 102 b a 9a b 10 2316. 当且仅当b a 9 b，即 b 29a2 时等号成立 由 b29a2 1 a 9 b1 ， 解得 a4，b12. 故当 a4，b12 时，ab 取最小值 16.
