1、数数 列列 第二章第二章 2.2 等差数列等差数列 第二章第二章 第第2课时课时 等差数列的性质等差数列的性质 课前自主预习课前自主预习 哈雷彗星是第一颗经推算预言必将重新出现而 得到证实的著名大彗星当它在1682年出现后， 英国天文学家哈雷注意到它的轨道与1607年和 1531年出现的彗星轨道相似，认为是同一颗彗 星的三次出现，并预言它将在1758年底或1759 年初再度出现虽然哈雷死于1742年，没能看 到它的重新出现，但在1759年它果然又回来， 这是天文学史上一个惊人成就试分析下这个 彗星回归的时间有什么特征. 1等差数列的项与序号的性质 (1)两项关系 通项公式的推广： anam_(
2、m、nN*) (2)多项关系 项的运算性质： 若mnpq(m、n、p、qN*)， 则_apaq. 特别地，若mn2p(m、n、pN*)， 则aman_. (nm)d aman 2ap 2等差数列的项的对称性 有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于 首末两项的和(若有中间项则等于中间项的2倍)，即 a1ana2_ak_2a n1 2 (其中n 为奇数且n3) an1 ank1 3等差数列的性质 (1)若an是公差为d的等差数列，则下列数 列： can(c为任一常数)是公差为_的 等差数列； can(c为任一常数)是公差为_的等 差数列； anank(k为常数，kN)是公差为 _的等差
3、数列 (2)若an、bn分别是公差为d1、d2的等差数 列，则数列panqbn(p、q是常数)是公差为 _的等差数列 d cd 2d pd1qd2 1.在等差数列an中，已知a4a820，则a2 a10( ) A12 B16 C20 D24 答案 C 解析 在等差数列an中，a2a10a4a8 20. 2已知等差数列an中，a34，a68，则a9 ( ) A10 B12 C14 D16 答案 B 解析 由等差数列的性质，得 2a6a3a9， a92a6a316412. 3(20132014学年度河南郑州市高二期末 测试)设数列an、bn都是等差数列，若a1 b17，a3b321，则a5b5(
4、) A35 B38 C40 D42 答案 A 解析 数列an、bn都是等差数列，a1 b1a5b5(a1a5)(b1b5)2a32b3 2(a3b3)42，a5b542(a1b1) 42735. 4已知等差数列an，若a2 007和a2 009是方程 x25x60的两个根，则a2 004a2 012 _. 答案 5 解析 由题意得a2 007a2 0095， 又数列an为等差数列， a2 004a2 012a2 007a2 0095. 5在等差数列an中，a4a7a1018，a6 a8a1027，若ak21，则k_. 答案 12 解析 a4a7a103a718，a76， 又a6a8a103a8
5、27，a89， 公差da8a73，又ak21， aka7(k7)d，2163(k7)， k12. 6在正项数列an中，a11，an1 an1an an，求 证数列 an是等差数列. 解析 由an1 an1an an，得 an1an an1 an， an为正项数列，an0， ( an1 an)( an1 an) an1 an， an1 an1， 数列 an是等差数列 课堂典例讲练课堂典例讲练 运用等差数列性质anam(nm)d(m， nN)解题 若数列an为等差数列，apq，aqp(pq)， 则apq为( ) Apq B0 C(pq) D.pq 2 分析 本题可用通项公式求解 利用关系式anam
6、(nm)d求解 利用一次函数图象求解 解析 解法一：apa1(p1)d， aqa1(q1)d， a1p1dq a1q1dp ，得(pq)dqp. pq，d1. 代入，有a1(p1)(1)q，a1pq1. 故apqa1(pq1)dpq1(pq1) (1)0. 应选B. 解法二：apaq(pq)d， qp(pq)d，即qp(pq)d. pq，d1. 故apqap(pqp)dqq(1)0. 应选B. 答案 B 已知an为等差数列，a158，a6020，求a75. 解析 解法一：a15a114d，a60a159d， a114d8 a159d20 ，解得 a164 15 d 4 15 . a75a174
7、d64 1574 4 1524. 解法二：a60a1545d， 45da60a1520812，d 4 15. a75a6015d2015 4 1524. 运用等差数列性质amanapaq(m、n、 p、qN，且mnpq)解题 在等差数列an中，已知a2a5a89，a3a5a7 21，求数列的通项公式 分析 要求通项公式，需要求出首项a1及公差d，由a2 a5a89和a3a5a721直接求解很困难，这样促使我们转换 思路如果考虑到等差数列的性质，注意到a2a82a5a3 a7问题就好解了 解析 a2a5a89，a3a5a721， 又a2a8a3a72a5， a3a72a56， a3 a77， 由
8、、解得a31，a77，或a37，a71， a31，d2或a37，d2. 由ana3(n3)d， 得an2n7，或an2n13. 在等差数列an中，已知a7a816，则a2 a13( ) A12 B16 C20 D24 答案 B 解析 在等差数列an中，a2a13a7a8 16，故选B. 成等差数列的四个数之和为26，第 二个数和第三个数之积为40，求这四个数 分析 已知四个数成等差数列，有多种设 法，但如果四个数的和已知，常常设为a 3d，ad，ad，a3d更简单再通过联立 方程组求解 对称法设未知项 解析 设四个数分别为a3d，ad，ad，a3d， 则： a3dadada3d26 adad4
9、0 由，得a13 2 .代入，得d 3 2. 四个数为2,5,8,11或11,8,5,2. 已知三个数成等差数列，它们的和为9，它们 的平方和为35，试求这三个数 解析 设这三个数分别为ad，a，ad， 根据题意，得 adaad9 ad2a2ad235 ， 解得 a3 d 2 . 这三个数为1,3,5或5,3,1. 易错疑难辨析易错疑难辨析 已知等差数列an的首项为a1，公差为d，且a11 26，a5154，该数列从第几项开始为正数 错解 a51a1140d， d5426 40 2. ana11(n11)d262(n11)2n48. 由an0，得2n480，n24. 即从第24项开始，各项为正数 辨析 错解的原因是忽略了对“从第几项开始为正数” 的理解，而当n24时，此时a240. 正解 a51a1140d， d5426 40 2. ana11(n11)d 262(n11) 2n48. 由an0，得2n480， n24. 显然当n25时，an0. 即从第25项开始，各项为正数
