1、 2.2 圆的一般方程 圆的标准方程圆的标准方程 222 (xa)(yb)r x y O C M(x,y) 圆心圆心C(a,b),半径半径r 若圆心为若圆心为O（0，0），则圆的方程为：），则圆的方程为： 222 xyr 直线方程有不同的直线方程有不同的 表示形式，那圆的表示形式，那圆的 方程呢？方程呢？ 今天我们就来学习圆的方程的另一种形式今天我们就来学习圆的方程的另一种形式 圆的一般方程圆的一般方程. . 1.1. 掌握圆的一般方程，会由圆的一般方程确定圆的掌握圆的一般方程，会由圆的一般方程确定圆的 圆心、半径圆心、半径（重点）（重点） 2.2.能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准
2、能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准 方程方程, ,会用待定系数法求圆的方程会用待定系数法求圆的方程. .（重点、难点）（重点、难点） 将圆的标准方程将圆的标准方程 22222 220xyaxbyabr+-+-= 222 ()()xaybr-+-= 展开得展开得 22 0xyDxEyF 任何一个圆的方程都是二元二次方程任何一个圆的方程都是二元二次方程 探究点探究点 圆的一般方程圆的一般方程 思考：思考：平面内任一圆的一般方程都是关于平面内任一圆的一般方程都是关于x x，y y的二的二 元二次方程，反之是否成立呢元二次方程，反之是否成立呢? ? 提示：提示：不一定，圆的一般方程是关于不一
3、定，圆的一般方程是关于x,yx,y的二元二次的二元二次 方程，但二元二次方程不一定表示圆，如方程方程，但二元二次方程不一定表示圆，如方程 x x2 2+2xy+y+2xy+y2 2=0=0，即，即x+y=0x+y=0代表一条直线而不是一个圆代表一条直线而不是一个圆. . 22 (1)2410xyxy 【解析解析】配方得配方得 22 0xyDxEyF 不一定不一定 是圆是圆 22 (1)(2)4xy 以（以（1 1，- -2 2）为圆心，以）为圆心，以2 2为半径的圆为半径的圆 22 (2)2460xyxy 22 (1)(2)1xy 【解析解析】配方得配方得 不是圆不是圆 想一想：想一想：以下两
4、个方程都表示圆吗？以下两个方程都表示圆吗？ 方程方程 22 0xyDxEyF+=所表示的轨迹所表示的轨迹 配方可得配方可得 22 22 4 ()()( ) 224 DEDEF xy +- +=* （1 1）当当 22 40DEF+-时，方程时，方程( )*表示以表示以(,) 22 DE -为圆心，为圆心， 22 1 4 2 DEF+-为半径的圆为半径的圆. . （ 2 2 ） 当当 22 40DEF+-=时 ， 方 程时 ， 方 程( )*只 有 一 个 实 数 解只 有 一 个 实 数 解 , 22 DE xy= -= -，所以方程，所以方程( )*表示一个点表示一个点(,) 22 DE -
5、. . （3 3） 当当 22 40DEF+-时， 方程时， 方程( )*没没有实数解， 所以方程有实数解， 所以方程( )*不不 表示表示任何图形任何图形. . 总结：总结： 圆的一般方程圆的一般方程 方程方程 称为圆的一般方程称为圆的一般方程. . 22 0xyDxEyF 22 (40)DEF 圆心为圆心为 , ,半径为半径为 (,) 22 DE 22 1 4 . 2 DEF 思考思考: :圆的一般方程与圆的标准方程的不同与特点圆的一般方程与圆的标准方程的不同与特点? ? 提示：提示：(1)(1)形式不同：形式不同：(x(x- -a)a)2 2+(y+(y- -b)b)2 2=r=r2 2
6、 x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0（D D2 2+E+E2 2- -4F4F0 0） (2) (2) 圆的一般方程的特点圆的一般方程的特点: : (a)x(a)x2 2 , y , y2 2 的系数为的系数为1 1 (b)(b)没有没有xyxy项项 (c)D(c)D2 2 +E+E2 2 - -4F4F0 0 例例1.1.求过点求过点M M（- -1 1，1 1），且圆心与已知圆），且圆心与已知圆C C：x x2 2+y+y2 2- - 4x+6y4x+6y- -3=03=0相同的圆的方程相同的圆的方程. . 解解: :将已知圆的方程化为标准方程将已知圆的方程
7、化为标准方程(x(x- -2)2)2 2+(y+3)+(y+3)2 2=16.=16. 圆心圆心C C的坐标的坐标为为 (2,(2,- -3),3),半径为半径为4,4,故所求圆的半径为故所求圆的半径为 22 |(2 1)( 3 1)5. rCM 所求圆的方程为所求圆的方程为(x(x- -2)2)2 2+(y+3)+(y+3)2 2=25.=25. 求下列各圆的半径和圆心坐标：求下列各圆的半径和圆心坐标： (2) x(2) x2 2+y+y2 2+2by=0(b0).+2by=0(b0). (1)x(1)x2 2+y+y2 2- -6x=0.6x=0. 圆心为圆心为(0,(0,- -b),b)
8、,半径为半径为 圆心为圆心为(3,0),(3,0),半径为半径为3 3 b 【变式练习变式练习】 例例2.2.求过三点求过三点O O(0,0),M(0,0),M1 1(1,1),M(1,1),M2 2(4,2)(4,2)的圆的方程的圆的方程, , 并指出这个圆的半径和圆心坐标并指出这个圆的半径和圆心坐标. . 将将O, MO, M1 1, , M M2 2 的坐标代入圆的方程的坐标代入圆的方程, ,得得: : 0, 20, 42200, F DEF DEF 解得解得:F=0,D=:F=0,D=- -8,E=6.8,E=6. 解解: :设所求圆的一般方程为设所求圆的一般方程为x x2 2+y+y
9、2 2+Dx+Ey+F=0,+Dx+Ey+F=0, 待定系数法待定系数法 所求圆的一般方程为所求圆的一般方程为x x2 2+y+y2 2- -8x+6y=0,8x+6y=0, 22 1 45 2 rDEF半径为半径为 圆心坐标为圆心坐标为(4,(4,- -3).3). (1)(1)根据题意选择圆的方程的形式根据题意选择圆的方程的形式标准方程或标准方程或 一般方程一般方程. . (2)(2)根据条件列出关于根据条件列出关于a a，b b，r r 或或D D，E E，F F 的方程组的方程组; ; (3)(3)解出解出a a，b b，r r 或或D D，E E，F,F,代入标准方程或一般代入标准方
10、程或一般 方程方程. . 用待定系数法求圆的方程的步骤用待定系数法求圆的方程的步骤: : 【提升总结提升总结】 1.1.判断下列方程是不是表示圆：判断下列方程是不是表示圆： 22 (1)4640.xyxy 22 (2)(3)9xy 以（以（2 2，3 3）为圆心，以）为圆心，以3 3为半径的圆为半径的圆 22 (2)46130.xyxy 22 (2)(3)0xy 表示点（表示点（2 2，3 3） 2,3xy时等式成立， 22 (3)46150.xyxy 22 (2)(3)2xy 不表示任何图形不表示任何图形 3.3.方程方程x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0表示
11、的曲线是以表示的曲线是以( (- -2,3) 2,3) 为圆为圆 心心,4,4为半径的圆为半径的圆. .求求D,E,FD,E,F的值的值. . 答案答案: :D=4,E=D=4,E=- -6,F=6,F=- -3 3 2.2.已知圆已知圆x x2 2+y+y2 2- -4x+2y4x+2y- -4=0,4=0,则圆心坐标、半径的长分别则圆心坐标、半径的长分别 是（是（ ） A.(2,A.(2,- -1),3 B.(1),3 B.(- -2, 1),3 C.(2, 1),3 C.(- -2,2,- -1),3 D.(2,1),3 D.(2,- -1),91),9 A A 4.4.求经过三点求经过
12、三点A(1,A(1,- -1),B(1,4),C(4,1),B(1,4),C(4,- -2)2)的圆的方程的圆的方程. . 待定系数法待定系数法, ,答案答案: :x x2 2+y+y2 2- -7x7x- -3y+2=0.3y+2=0. 22 0xyDxEyF 22 2222 4 ()()( 224 40) DEDEF xDEFy 1.1.圆的一般方程的形式及特点圆的一般方程的形式及特点: : 2.2.利用待定系数法求圆的方程：利用待定系数法求圆的方程： 设为 222222 2222 方方程程 (x-a) +(y-b) =r(x-a) +(y-b) =r (或(或x +y +Dx+Ey+F =0)x +y +Dx+Ey+F =0) 列关于列关于a a，b b，r r（或（或D D，E E，F F） 的方程组的方程组 解出解出a a，b b，r r（或（或D D，E E，F F），）， 写出标准方程（或一般方程）写出标准方程（或一般方程）
