1、第一章第一章 2 2 角的概念的推广角的概念的推广 第一章第一章 第一章第一章 2 课堂典例讲练课堂典例讲练 2 课课 时时 作作 业业 4 课前自主预习课前自主预习 1 易错疑难辨析易错疑难辨析 3 第一章第一章 2 课前自主预习课前自主预习 第一章第一章 2 在花样滑冰比赛中，运动员的动作是那么优美！尤其是原 地转身和空中翻转动作都让我们叹为观止运动员在原地转身 的动作中，仅仅几秒内就能旋转十几圈，甚至二十几圈，因 此，花样滑冰美丽而危险你能算出他们在一次原地转身的动 作中转过的角度吗？ 第一章第一章 2 1角的概念 角可以看成平面内_绕着_从一个位置 _到另一个位置所形成的图形 一条射线
2、 端点 旋转 第一章第一章 2 2角的分类 按旋转方向可将角分为如下三类： 类型 定义 图示 正角 按_形成的角 负角 按_形成的角 零角 一条射线_，称它形成 了一个零角 逆时针方向旋转 顺时针方向旋转 没有作任何旋转 第一章第一章 2 3.象限角、坐标轴上的角 使角的顶点与_重合，角的始边与_ 重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个 角是第几象限角 特别地，如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于 任一象限 4终边相同角的表示 一般地，所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成 一个集合：_，即任何一个与 角终边相同的角，都可以表示成角与周角的_倍的 和 原点 x轴的非负
3、半轴 S|k360，kZ 整数 第一章第一章 2 1下列说法错误的是( ) A按逆时针方向旋转所成的角是正角 B按顺时针方向旋转所成的角是负角 C没有作任何旋转所成的角是零角 D终边和始边相同的角是零角 答案 D 解析 选项A、B、C分别是正角、负角、零角的概念， 若射线旋转后，终边与始边重合所形成的角不是零角 第一章第一章 2 2下列命题中正确的是( ) A三角形的内角必是第一、二象限角 B第一象限角必是锐角 C不相等的角的终边一定不相同 D若k360(kZ)，则和终边相同 答案 D 解析 90的角可以是三角形的内角，但它不是第一、 二象限角，故A错；390的角是第一象限角，但它不是锐角，
4、故B错；390角和30角不相等，但终边相同，故C不正确； 对于D，由终边相同的角的概念可知正确 第一章第一章 2 3给出下列四个命题：75是第四象限角；225 是第三象限角；475是第二象限角；615是第一象限 角其中正确的命题有( ) A1个 B2个 C3个 D4个 答案 C 解析 正确，错误 第一章第一章 2 4在180360范围内，与2000角终边相同的角 有_ 答案 160，200 解析 因为20002005360，2000 1606360，所以在180360范围内与2000角 终边相同的角有160，200两个 第一章第一章 2 5若将钟表拨慢了10分钟，则时针转了_度，分 针转了_度
5、 答案 5 60 解析 钟表拨慢 10 分钟，时针按逆时针方向转了 10 360 12605 . 分针转了 10360 60 60 . 第一章第一章 2 课堂典例讲练课堂典例讲练 第一章第一章 2 角的有关概念与表示 已知集合M第一象限角，N锐角，P 小于90 的角，则下面正确的是( ) AMNP BMP CMPN D以上都不对 思路分析 从角的概念入手“第一象限角”是终边落 在第一象限内的角，有正角，也有负角；“锐角”只是大于0 而小于90 的角；“小于90 的角”除了锐角外，还有零角和所 有负角 第一章第一章 2 答案 D 规范解答 M|k36090k360，kZ， N|090，P|90)
6、，故选D 规律总结 (1)要区分清易混的概念如锐角一定是第一 象限的角，而第一象限角不全是锐角；(2)小于90的角是 |90，显然包括锐角、零角、负角 第一章第一章 2 写出下图中的角，的度数 解析 要正确识图，确定好旋转的方向和旋转的大 小由角的概念可知330，150，570. 第一章第一章 2 已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的 非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限角，且指 出在0360范围内与其终边相同的角 (1)420 (2)75 (3)855 (4)510 思路分析 将已知角化成k360(kZ)，其中 0360，再判断所处的象限 终边相同的角 第一章第一章 2 规范
7、解答 作出各角的终边如下图所示： 第一章第一章 2 由图可知： (1)420是第一象限角；在0360范围内，60角与 其终边相同 (2)75是第四象限角；在0360范围内，285角 与其终边相同 (3)855是第二象限角；在0360范围内，135角与 其终边相同 (4)510是第三象限角；在0360范围内，210角 与其终边相同 第一章第一章 2 规律总结 象限角的判定有两种方法：一是根据图像， 二是将角转化到0360范围内，利用图像实际操作时，依 据的还是终边相同的角的思想 第一章第一章 2 在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限 角： (1)240 (2)300 (3)390
8、(4)480. 第一章第一章 2 解析 在直角坐标系中，作出以上各角，如下所示 由图可知：(1)240角是第三象限角；(2)300角是第四 象限角；(3)390角是第一象限角；(4)480角是第二象限角 第一章第一章 2 如图所示，写出终边落在阴影部分(实线包括边 界，虚线不包括边界)的角的集合 思路分析 观察图形，找出边界上的角，用不等式形式 表示出阴影部分内的角的集合 区域角及其求法 第一章第一章 2 规范解答 (1)由图可知，按逆时针方向旋转，应由l1 旋转至l2，与l1终边相同的角有60角，与l2终边相同的角有 310角 图阴影部分中角的集合为 S|60k360310k360，kZ (
9、2)由图知，第一象限内阴影部分中角的集合为S1 |45k36090k360，kZ 第三象限内阴影部分中角的集合为 S2|225k360270k360，kZ 第一章第一章 2 所求阴影部分中角的集合为SS1S2 |452k180902k180， kZ|45(2k1)18090(2k1)180， kZ|45n18090n180，nZ (3)由图知，逆时针方向旋转，应由l2旋转至l1，与l2终边 相同的角有30角，与l1终边相同的角有30角 图阴影部分中角的集合为 S|30k36030k360，kZ 第一章第一章 2 规律总结 数形结合是表示区域角的一种重要方法：首 先应按逆时针方向由小到大找出一个
10、代表区间角，再在两端加 上k360(kZ)；若是对顶区域，如图可用一个表达式表 示：先在一个阴影中找出区间角45，90，然后再在两边 加上n180(nZ)即可；若区域包括了x轴非负半轴，则可由 负角到正角，如图，两边再加上k360(kZ) 第一章第一章 2 如图所示 (1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合； (2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合 第一章第一章 2 解析 (1)终边落在OA位置上的角的集合为|90 45k360，kZ|135k360，kZ，终 边落在OB位置上的角的集合为|30k360， kZ (2)由图可知，阴影部分是由介于30，135之间的 所有与之终边
11、相同的角组成的集合，故该区域可表示为| 30k360135k360，kZ 第一章第一章 2 判断角的终边所在的位置 如果是第二象限的角，那么 3 的终边落在何 处？ 思路分析 首先根据题意写出角的范围90 k 360 180 k 360 ，kZ，不等式两边同乘1 3，可求出 3的 范围 第一章第一章 2 规范解答 为第二象限的角， 90 k 360 180 k 360 ，kZ， 30 k 120 360 k 120 . 当k3n时，有30 n 360 360 n 360 ， 3是第一象限的角； 当k3n1时，有150 n 360 3180 n 360 ， 3是第二象限的角； 第一章第一章 2
12、当k3n2时，有270 n 360 3300 n 360 ， 3是第四象限的角 综上， 3 的终边可能落在第一象限、第二象限或第四象 限 第一章第一章 2 规律总结 (1)解决此类问题，需熟练掌握各象限角的表 示方法 (2)注意分类讨论思想的应用，讨论依据是：相差360 的 整数倍的角的终边相同 (3)已知角所在象限，应熟练地确定 2所在象限： 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 2 第一或第三象限 第二或第四象限 区 域 第一章第一章 2 即 2所在的象限问题可以这样处理 作出各个象限的角平分线，它们与坐标 轴把周角等分成8个区域，从x轴的非负半轴 起，按逆时针方向把这8个区域依次循环标
13、 上号码1、2、3、4，则标号是几的两个区 域，就是为第几象限角时， 2终边落在的区 域， 2所在的象限就可以直观地看出，如图所示 第一章第一章 2 (4) 3 所在象限的问题：作出三等分各个 象限的从原点出发的射线，它们与坐标轴把 周角等分成12个区域从x轴的非负半轴起， 按逆时针方向把这12个区域依次循环标上号 码1、2、3、4，则标号是几的区域，就是为第几象限角时， 3 终边落在的区域， 3 所在的象限就可直观地看出了，如图所 示 第一章第一章 2 如果是第一象限角，那么 2，2是第几象限角？ 解析 是第一象限角，得k 360 k 360 90 ，k Z，则k 180 2k 180 45
14、 ，2k 360 22k 360 180 . 当k2n，nZ时，2n 180 2 2n 180 45 ，nZ， 则 2是第一象限角； 第一章第一章 2 当k2n1，nZ时，2n 180 180 2 2n 180 225 ，nZ，则 2是第三象限角 综合可知， 2 是第一或第三象限角因为 2k 360 22k 360 180 ，所以2是第一、第二象限角或是 终边落在y轴正半轴上的角 第一章第一章 2 易错疑难辨析易错疑难辨析 第一章第一章 2 已知角与x45 有相同的终边，角与x45 有相同的终边，判断与的关系 错解 因为与x45 有相同的终边， 所以k 360 x45 ，kZ. 又因为角与x45 有相同的终边， 所以k 360 x45 ，kZ，所以90 . 辨析 错误的原因是误认为k 360 x45 ，kZ与 k 360 x45 ，kZ中的k取值完全相同 第一章第一章 2 正解 因为与x45有相同的终边， 所以k1360x45，k1Z. 又与x45有相同的终边， 所以k2360x45，k2Z. 由可知(k1k2)36090，(k1k2)Z， 即k36090，kZ. 规律总结 与的终边相同的角的一般形式为 k360，kZ，应清楚以下几点：kZ；是任意角； 终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同，终边 相同的角有无限多个，它们相差360的整数倍
