1、独立重复试验与二项分布独立重复试验与二项分布 前面我们学习了前面我们学习了互斥事件互斥事件、条件概率条件概率、相互独相互独 立事件立事件的意义，这些都是我们在具体求概率时需要的意义，这些都是我们在具体求概率时需要 考虑的一些模型，考虑的一些模型，吻合模型吻合模型用公式去求概率用公式去求概率简便简便. . ()( )( )P ABP AP B（当（当AB与与互斥时） ；互斥时） ； () (|) ()(0 ( ) ) P AB P B A P P A A ()( ) ( )P ABP A P B （当（当AB与与相互独立时）相互独立时） 那么那么求概率还有什么模型呢求概率还有什么模型呢？ 复习复
2、习回顾回顾 分析下面的试验，分析下面的试验，它们它们有什么共同特点有什么共同特点？ 投掷一个投掷一个质地质地均匀均匀骰子投掷骰子投掷 2 20 0 次次; ; 某人某人射击射击 1 1 次，击中目标的概率是次，击中目标的概率是 0.80.8， 他射击他射击 1010 次次; ; 实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比 赛，规定赛，规定 5 5 局局 3 3 胜制（即胜制（即 5 5 局内谁先赢局内谁先赢 3 3 局局 就算胜出并停止比赛）就算胜出并停止比赛）; ; 一个一个盒子中装有盒子中装有 5 5 个球（个球（3 3 个红球和个红球和 2 2 个个 黑球）
3、 ，有放回地依次从中抽取黑球） ，有放回地依次从中抽取 5 5 个球个球; ; 生产一种零件，出现次品的概率是生产一种零件，出现次品的概率是 0.04,0.04, 生产这种零件生产这种零件 4 4 件件. . 共同特点是共同特点是: : 多次重复多次重复地地做同做同一个一个试验试验. . 在在n次独立重复试验次独立重复试验中中，记记 i A是“第是“第i次试次试 验的结果”验的结果” 12 () n P A AA= = “相同条件下相同条件下” 等价于等价于各次试验的结果不会受其他试各次试验的结果不会受其他试 验的影响验的影响。 12 () ()() n P A P AP A 在相同的条件下，
4、重复地做n次试验，各次试 验的结果相互独立，就称它为n次独立重复试验 n次独立重复试验 解解: : 记事件 “第记事件 “第i次击中目标” 为次击中目标” 为 i A, ,则则 123 AAA、相相 互独立互独立. .且且 123 ()()()0.8P AP AP A. . 问题问题：某射手射击：某射手射击 1 1 次，击中目标的概率是次，击中目标的概率是 0.80.8，现连，现连 续射击续射击 3 3 次次. . 第一次命中，后面两次不中的概率；第一次命中，后面两次不中的概率； 恰有一次命中的概率恰有一次命中的概率; ; 恰有两次命中的概率恰有两次命中的概率. . 第一次命中，后面两次不中第
5、一次命中，后面两次不中的事件即的事件即 123 A A A 123123 ()() 1() 1()P A A AP AP AP A =0.032 =0.032 恰有恰有一次命中一次命中的事件即的事件即 123 A A A+ + 123 A A A+ + 123 A A A 恰有恰有一次命中一次命中的事件的概率的事件的概率 2 3 0.8 0.2 0.20.096P 恰有恰有两两次命中次命中的事件即的事件即 123 A A A+ + 123 A A A+ + 123 A A A 恰有恰有两两次命中次命中的事件的概率的事件的概率 3 3 0.8 0.8 0.20.384P 问题问题 1 1 的的推
6、广推广: : 一般地一般地, , 在在n次独立重复试验中次独立重复试验中, ,用用 X X 表示事件表示事件 A A 发生的次数， 设每发生的次数， 设每次试验中事件次试验中事件A发生的概率是发生的概率是p， 那么事件那么事件A恰好发生恰好发生k次的概率次的概率(X= ) n Pk是多少呢是多少呢? ? (X= )(1) kkn k nn PkC pp 或或(X= ) kkn k nn PkC p q （其（其 中中1qp, ,一次试验中事件一次试验中事件A发生的概率为发生的概率为 p） ） 注注: : ( )() kkn kn nn P kc p qpq 是是展开式中的第展开式中的第1k 项
7、项. . 此时称 随机变 量 X 服从二 项 分 布二 项 分 布 （binomial distribution）,记作 XB(n, p)，并称 p 为成功概率成功概率. 二项分布与二项分布与两两点分布、超几何分布有什么区别和联系？点分布、超几何分布有什么区别和联系？ 1两两点分布是特殊的二项分布点分布是特殊的二项分布(1)p 2一个袋中一个袋中放放有有 M 个红球，个红球，(NM )个白球，依次个白球，依次从袋中从袋中 取取n个球，记下红球的个数个球，记下红球的个数 . 如如果是果是不放回不放回地取地取, 则则 服从超几何分布服从超几何分布. . ()(0,1,2,) kn k MNM n
8、N C C Pkkm C ( (其中其中min(, )mM n 如果是如果是有放回有放回地取，则地取，则( ,) M B n N 例例1 1:1:1名学生每天骑自行车上学名学生每天骑自行车上学, ,从家到学校的途中有从家到学校的途中有5 5个个 交通岗交通岗, ,假设他在交通岗遇到红灯的事件是独立的假设他在交通岗遇到红灯的事件是独立的, ,并且概并且概 率都是率都是1/3.(1)1/3.(1)求这名学生在途中遇到求这名学生在途中遇到3 3次红灯的概率次红灯的概率.(2).(2) 求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率. . 解解: :记记x x为学生在途中
9、遇到红灯次数，则为学生在途中遇到红灯次数，则 (1)(1)遇到遇到3 3次红灯的概率为：次红灯的概率为： 332 5 1240 (3)( ) ( ) 33243 P xC (2)(2)至少遇到一次红灯的概率为至少遇到一次红灯的概率为: : 1 (5, ) 3 xB 5 2211 1101 ( ). 3243 P xP x 解：甲、乙两队实力相等，所以每局比赛甲获胜的概率为解：甲、乙两队实力相等，所以每局比赛甲获胜的概率为 1 2 ，乙获胜的概率为，乙获胜的概率为 1 2 甲打完甲打完 5 5 局才能取胜局才能取胜, ,相当于进行相当于进行 5 5 次独立重复试验，次独立重复试验， 且甲第且甲第
10、 5 5 局比赛取胜，前局比赛取胜，前 4 4 局恰好局恰好 2 2 胜胜 2 2 负负 奎屯 王新敞 新疆 甲打完甲打完 5 5 局才能取胜局才能取胜的概率的概率 222 14 1113 ( )( ) 22216 PC. . 例例 2 2 实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定 5 5 局局 3 3 胜制胜制（即（即 5 5 局内谁先赢局内谁先赢 3 3 局就算胜出并停止比赛） 局就算胜出并停止比赛） 试求甲打完试求甲打完 5 5 局才能取胜的概率局才能取胜的概率 按比赛规则甲获胜的概率按比赛规则甲获胜的概率 (2)(2) 记事件记事件A “
11、甲打完“甲打完 3 3 局才能取胜” ，局才能取胜” ， 事件事件B= =“甲打完“甲打完 4 4 局才能取胜” ，局才能取胜” ， 事件事件C= =“甲打完“甲打完 5 5 局才能取胜” 局才能取胜” 事 件事 件D “ 按 比 赛 规 则 甲 获 胜 ”， 则 “ 按 比 赛 规 则 甲 获 胜 ”， 则 DABC，又因为事件又因为事件A、B、C彼此互斥，彼此互斥， 故故()()( )( )( )P DP ABCP AP BP C 1331 816162 答：按比赛规则甲获胜的概率为答：按比赛规则甲获胜的概率为 1 2 C 4455 55 0.60.40.60.34CC 3 3某人对一目标
12、进行射击，每次命中率都是某人对一目标进行射击，每次命中率都是 0.250.25，若使至少命中，若使至少命中 1 1 次的概率不小于次的概率不小于 0.750.75，至，至 少应射击几次？（少应射击几次？（lg20.3010,lg30.4771） 解：设要使至少命中解：设要使至少命中 1 1 次的概率不小于次的概率不小于 0.750.75，应射击，应射击n次次奎屯 王新敞 新疆 记事件记事件A“射击一次，击中目标” ，则“射击一次，击中目标” ，则( )0.25P A 射击射击n次相当于次相当于n次独立重复试验，次独立重复试验， 事件事件A至少发生至少发生 1 1 次的概率为次的概率为1(0)1
13、 0.75n n PP 由题意，令由题意，令1 0.750.75 n ， 31 ( ) 44 n ， 1 lg 4 4.82 3 lg 4 n，n至少取至少取 5 5 答：要使至少命中答：要使至少命中 1 1 次的概率不小于次的概率不小于 0.750.75，至少应射击，至少应射击 5 5 次次 奎屯 王新敞 新疆 思考思考 ., 1 , , 次打开门的概率次打开门的概率求该人在第求该人在第的概率被选中的概率被选中 即每次以即每次以开门开门他随机地选取一把钥匙他随机地选取一把钥匙打开这个门打开这个门 其中仅有一把能其中仅有一把能把钥匙把钥匙他共有他共有一个人开门一个人开门 k n n 则则次打开
14、门次打开门表示第表示第令令,kBk ,)()(21 11 1 1 k nn BP k k 解解 注注: :事件首次发生事件首次发生所需要的试验次数所需要的试验次数服从服从几何分布几何分布 1 2 3 k P p pq pq2 pqk-1 几几 何何 分分 布布 思考思考 2 2 解解: : 练习练习:某射手有某射手有5发子弹，射击一次命中的概率为发子弹，射击一次命中的概率为0.9, 如果命中了就停止射击，否则一直射击到子弹用完，如果命中了就停止射击，否则一直射击到子弹用完， 求耗用子弹数求耗用子弹数 的分布列的分布列. 解：解： 的所有取值为：的所有取值为：1、2、3、4、5 ”5“ 表示前四
15、次都没射中表示前四次都没射中 (1)0.9P (2)0.1 0.9P 2 (3)0.10.9P 3 (4)0.10.9P 4 (5)0.1P P 4 3 2 1 5 0.90.1 0.9 2 0.10.9 3 0.10.9 4 0.1 故所求分布列为故所求分布列为: : 小小 结结 独立重复试验独立重复试验 ()(1),0,1,2, kkn k n PkC ppkn 二项分布二项分布 ( ,)B n p 在相同的条件下，重复地做n次试验，各次试 验的结果相互独立，就称它为n次独立重复试验 事件首次发生事件首次发生所需要的试验次数所需要的试验次数服从服从几何分布几何分布 1 2 3 k P p
16、pq pq2 pqk-1 几几 何何 分分 布布 练练1.某人有一串某人有一串8把外形相同的钥匙把外形相同的钥匙,其中只有一其中只有一 把可以打开家门把可以打开家门,一次该人醉酒回家一次该人醉酒回家,每次从每次从8把钥把钥 匙中随便拿一把钥匙开门匙中随便拿一把钥匙开门,试用后又不加记号放回试用后又不加记号放回, 则该人第三次打开家门的概率为则该人第三次打开家门的概率为_. 49 512 练习练习2. 某单位某单位6个员工借助互联网展开工作个员工借助互联网展开工作, 每个员工上网的概率都是每个员工上网的概率都是0.5.(相互独立相互独立), 则则 (1)至少至少3人同时上网的概率为人同时上网的概
17、率为_. 21/32 (2)至少至少_人同时上网的概率小于人同时上网的概率小于0.3? 5 992 910211 1112 35335 ()() () 888 C PC 练练4.一个学生每天骑车上学一个学生每天骑车上学,从他家到学校从他家到学校 要经过要经过4个交通岗个交通岗,假设他在每个交通岗遇到假设他在每个交通岗遇到 红灯的事件是相互独立的红灯的事件是相互独立的,并且概率都是并且概率都是1/3. (1)设设X为该学生在途中遇到红灯的次数为该学生在途中遇到红灯的次数,求求X的的 分布列分布列. 分析分析:(1)“该生过每个交通岗”是相互独立事件，该生过每个交通岗”是相互独立事件， 故故XB(
18、4,1/3) P(X=k)= 4 4 12 0,1,2,3,4 33 kk k Ck X的分的分 布列为：布列为： X 0 1 2 3 4 p 16/81 32/81 24/81 8/81 1/81 (2)该学生在途中至少遇到一次红灯的概率。该学生在途中至少遇到一次红灯的概率。 分析分析:(2)该学生在途中至少遇到一次红灯的事件该学生在途中至少遇到一次红灯的事件 为为X1 所以所求概率为所以所求概率为 P(X1)=1-P(X=0)= 4 2 1 3 65 81 (3)设设Y为该学生在首次停车前经过的路口次数为该学生在首次停车前经过的路口次数, 求求Y的分布列的分布列.(若没有停车若没有停车,认
19、为认为Y=4) 分析分析:(3)Y=0时时,该生第一个路口就遇到红灯该生第一个路口就遇到红灯; Y=1时时,该生第一个路口遇到绿灯该生第一个路口遇到绿灯,并且第二个路并且第二个路 口遇到红灯口遇到红灯.依次递推依次递推. 所以所以 P(Y=k)= 12 33 k 0,1,2,3.k P(Y=4)= 4 2 3 Y的分的分 布列为布列为 Y 0 1 2 3 4 P 1/3 2/9 4/27 8/81 16/81 练练5. 某人抛掷一枚硬币某人抛掷一枚硬币,出现正反面的概率都是出现正反面的概率都是 1/2.构造数列构造数列an, 1 1 n a 第第n次出现正面时次出现正面时 第第n次出现反面时次出现反面时 记记Sn=a1+a2+an (nN ) (1)求求S8=2时的概率时的概率. 分析分析:设出现正面的次数为设出现正面的次数为X,则则XB(8,1/2) S8=2 X=5 P(X=5)= 53 5 8 11 1 22 C 7 32 S8=2时的概率为时的概率为7/32. (2)求求S20, 且且S8=2时的概率时的概率. 分析分析: S20, 前两次抛掷硬币为前两次抛掷硬币为2次都是正面或次都是正面或2次都是反面次都是反面. 所求概率为所求概率为P= 23325 35 66 111111 111 222222 CC =13/128
