1、空间向量的基本定理空间向量的基本定理 庄河高中数学组庄河高中数学组 李天作李天作 1 1、平行向量基本定理、平行向量基本定理 复习复习 对于任意两个向量对于任意两个向量 ，则向量，则向量 与与 共线的充要条件是存在实数共线的充要条件是存在实数 , ,使得使得 a(0)ab a，b l bal= 2.2.平面向量基本定理平面向量基本定理 如果如果 是平面内的两个是平面内的两个不共线不共线向量，那么对于这向量，那么对于这 一平面内的任一向量一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数，有且只有一对实数1,2，使，使 得得 12 ,e e a 1 122 aeell=+ 这表明这表明:平面内任一向量可以用
2、该平面内的两个平面内任一向量可以用该平面内的两个 不共线不共线向量向量线性表示线性表示. 我们把不共线的两个向量我们把不共线的两个向量 叫做表示这一平叫做表示这一平 面内所有向量的一组面内所有向量的一组基底基底. 12 ,e e 新定义 共面向量： / . /a a a 向量 平行于平 如果向量在平面 内或平行于 ， 称，记作 平行于同一平面的向量，叫做 的基线 共面向量 面 a a 对于两个不共线向量对于两个不共线向量 , ,则向量则向量 与向量与向量 共面的充要条件是存在共面的充要条件是存在唯一唯一的实数对的实数对( (x,y), ,使使 得得 , a b c , a b 3.共面向量定理
3、共面向量定理 cxayb=+ 共面向量也 称线性相关。 我们怎样表示空间向量中的任一向量呢我们怎样表示空间向量中的任一向量呢? (1)两个不共线向量能否表示空间任一向量两个不共线向量能否表示空间任一向量? 通过通过平面向量基本定理平面向量基本定理来类似地推出来类似地推出空间空间 向量基本定理向量基本定理.猜想猜想:空间向量基本定理的内容空间向量基本定理的内容 是什么是什么? (2)空间任一向量能用三个不共面的向量来线性空间任一向量能用三个不共面的向量来线性 表示吗表示吗? 空间向量分解定理空间向量分解定理: 建构数学建构数学: , , ( , , ) a b c px y z 如果三个向量不共
4、面， 那么对空间任一 向量 ，的有序实数组，使存存在在惟惟一一 pxaybzc=+ 如果三个向量如果三个向量 不共面不共面, ,那么对空间任一向那么对空间任一向 量量 , ,存在唯一有序实数组存在唯一有序实数组(x,y,z),(x,y,z),使得使得 O A P A C B B P 证明证明:（1）先证）先证存在性存在性 ， ，作作过空间一点过空间一点是三个不共面的向量，是三个不共面的向量，设设 pOPeOCeOB eOAOeee 32 1321 过点过点P作直线作直线PPOC，交平面，交平面 OAB于点于点P； 在平面在平面OAB内，过点内，过点P作直线作直线 PAOB，PBOA，分别，分别
5、 交直线交直线OA，OB于点于点A，B. 空间向量分解定理空间向量分解定理: 321 ezeyexp 123 ,e e e p 存在实数则存在实数则(x,y,z),使使 , 1 OAxOAxe , 2 OByOBye , 3 OCzOCze 123 pxeyeze C (2)再证再证惟一性惟一性 用反证法用反证法 2.假设存在实数组假设存在实数组 , 使使 2 12223, px ey ez e=+ 123 xeyeze+所以所以 2 xx 212223 ()()()0xx eyy ezz e-+-+-= 即即 因因 2 12223 x ey ez e=+ 22 123 22 yyzz eee
6、 xxxx - = - - 123 ,e e e 从而从而 共面共面, 这与这与 123 ,e e e不共面矛盾不共面矛盾, 所以有序实数组所以有序实数组(x,y,z)惟一惟一. 222 (,)xy z 2 xx 空间向量分解定理空间向量分解定理: 建构数学建构数学 (2)空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底. 123123 ,e e ee e e基底-基向量 ，使，使的有序实数组的有序实数组 ，那么对空间任一向量那么对空间任一向量不共面，不共面，如果三个向量如果三个向量 ),( , 321 zyx peee存在唯一存在唯一 321
7、ezeyexp 强调：对于基底强调：对于基底 123 , e e e 123 1,e e e（ )不共面 123 ,30e e e（ ）中能否有 ? (4) 基底指一个向量组，基向量是指基底中的某一个向基底指一个向量组，基向量是指基底中的某一个向 量量,二者是二者是相关联的不同概念相关联的不同概念。 如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直, 那么这个基底叫那么这个基底叫正交基底正交基底. 特别地特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单当一个正交基底的三个基向量都是单 位向量时位向量时,称为称为单位正交基底单位正交基底，通常用通常用 , ,i j k
8、 建构数学建构数学: 1.可以根据空间向量的基本定理可以根据空间向量的基本定理确定空间任意一点的位确定空间任意一点的位 置置。这样，就建立了。这样，就建立了空间任意一点空间任意一点与惟一的与惟一的有序实数组有序实数组 （x、y、z）之间的关系，从而为空间向量的坐标运算之间的关系，从而为空间向量的坐标运算 作准备，也为用向量方法解决几何问题提供了可能。作准备，也为用向量方法解决几何问题提供了可能。 2.推论中若推论中若x+y+z=1，则必有，则必有P、A、B、C四点共面四点共面. O A B CP, (x y z) OP xOA yOB zOC 推论：设 、 、 、 是不共面的四点，则对空间任一
9、点 都存在唯一的有序实数组 ， ， ，使得 推论说明：推论说明： 数学运用数学运用 ？构成空间的另一个基底构成空间的另一个基底 以与向量以与向量中选哪个向量，一定可中选哪个向量，一定可 是空间的一个基底，从是空间的一个基底，从、已知向量、已知向量例例 baqbap cbacba , ,1 有什么关系？有什么关系？那么点那么点构成空间的一个基底构成空间的一个基底 不不为空间四点，且向量为空间四点，且向量、判断：、判断： CBAO OCOBOACBAO , ,2 1, a b ab 、如果与任何向量都不能构成空间的一个基底， 则 与 有什么关系？ 练习练习 共线共线 共面共面 ccababcab向
10、量 ，因为如果 与，共面，那么 与 ， 共面，这与已知矛盾。 例例2、如下图如下图,在正方体在正方体OADB-CADB中中,点点E 是是AB与与OD的交点的交点,M是是OD与与CE的交点的交点,试分试分 别用向量别用向量OA,OB,OC 表示向量表示向量OD和和OM。 A A D D B O C B E 数学运用数学运用 M ,的中点分别是空间四边形BCOANMOABC ,cOCbOBaOA设 MN ）（ 2 ，满足点ENMEE2 表示下列向量用,cba OE ）（ 3 ,的重心是 ABCG OG ）（ 1 思思 考考 （用基底表示）。（用基底表示）。基底，求基底，求 为一个为一个，的中心，以
11、向量的中心，以向量和和是是 、的六边都相等，的六边都相等，、如图所示，四面体、如图所示，四面体练习练习 21 21 3 OO ADACABACDBCD OOABCD O1 O2 D E C B A 解：由正三角形的性质知解：由正三角形的性质知 BO1=2O1E，AO2=2O2E O1O2AB，且，且O1O2=1/3 AB。 1212 1 1 O OBAO OBA 3 3 1 1 AB0 AC0 ADAB0 AC0 AD 3 3 4、如图，在空间四边形、如图，在空间四边形OABC中，已知中，已知E,F 分别是分别是BC,OA的中点，的中点，G在在AE上，且上，且 AG=2GE，试用向量，试用向量
12、OA、OB、OC表示向量表示向量. G E C B A O (2)OG (1)EF F 小结小结: 空间向量基本定理空间向量基本定理: ，使，使的有序实数组的有序实数组，向量向量 那么对空间任一那么对空间任一不共面，不共面，如果三个向量如果三个向量 ),( , 321 zyxp eee 存在惟一存在惟一 123 pxeyeze=+ O A B CP, (x y z) OP xOA yOB zOC 推论：设 、 、 、 是不共面的四点，则对空间任一点 都存在唯一的有序实数组 ， ， ，使得 当当x+y+z=1时，必有时，必有P、A、B、C四点共面四点共面. 欢迎你的提问！ 课本第 85页练习题、习题 能力培养
