1、3.2 平面向量基本定理 思考：思考：（1 1）向量）向量 是否可以用含有是否可以用含有 , , 的式子的式子 来表示呢？怎样表示？来表示呢？怎样表示？ （2 2）若向量）若向量 能够用能够用 , , 表示，这种表示是否唯表示，这种表示是否唯 一？一？ a 1 e 2 e a 1 e 2 e 请进入本节课的学习！请进入本节课的学习！ 1.1.了解平面向量基本定理及其意义了解平面向量基本定理及其意义. .( (重点重点) ) 2.2.了解基底的含义了解基底的含义. . 3.3.会用任意一组基底表示指定的向量会用任意一组基底表示指定的向量. .( (难点难点) ) a b a+b a+2b 2a+
2、bAC 设设 ， 是是同同一一平平面面内内的的两两个个不不共共线线的的向向量量， 用用平平行行四四边边形形法法则则作作 探探究究点点一一 出出， ： ，（用用来来表表示示） 2.2.过点过点C C作平行于作平行于OBOB的直线，的直线， 与直线与直线OAOA相交于相交于M M； 过点过点C C作平行于作平行于OAOA的直线，的直线， 与直线与直线OBOB相交于相交于N N； O A A N N C C M M B B 则则 OMONOC 1.1. a b cca b 设设 ， 是是同同一一平平面面内内的的两两个个不不共共线线的的向向量量， 是是这这一一平平面面内内的的向向量量，我我们们能能否否
3、把把 用用 ： ，表表 探探究究点点二二 示示出出来来？ B B O O A A N N C C M M 3.3.又又 与与 共线共线, , 与与 共线共线. . OMOA ONOB 所以有且只有一个实数所以有且只有一个实数 1 1，使得 ，使得 1 OM OA， 有且只有一个实数 2 ，使得 2 ON OB， 即即 12 OC OA OB，亦即亦即 12 c a b. 平面向量基本定理平面向量基本定理 特别地：特别地： 1 1=0 =0， 2 20 0时，时， 共线共线. . 222 a e ,ae与 1 10 0， 2 2=0 =0时，时， 共线共线. . 111 a e ,ae与 1 1
4、= =2 2=0 =0时，时， a0. 我们把不共线的向量我们把不共线的向量 叫作表示这一平面内所叫作表示这一平面内所 有向量的一组有向量的一组基底基底. . 12 e e， 思考思考1 1：在平面向量基本定理中在平面向量基本定理中，为什么要求向为什么要求向 量量e1 1, , e2 2 不共线不共线？ 可以作为基底吗可以作为基底吗？ 0 思考思考2 2：平面向量的基底唯一吗？平面向量的基底唯一吗？ 提示：提示：平面向量的基底不唯一，只要两个向平面向量的基底不唯一，只要两个向 量不共线，都可以作为平面向量的一组基底量不共线，都可以作为平面向量的一组基底. . (2)(2)作平行四边形作平行四边
5、形OACBOACB B B O O A A C C 2 e 1 e 分析分析: :因为因为ABCDABCD为平行四边形为平行四边形, ,可知可知M M为为ACAC与与BDBD 的中点的中点. .所以所以 例例2 2 如右图所示，平行四边形如右图所示，平行四边形ABCDABCD的的 两条对角线相交于点两条对角线相交于点M M，且，且 用用 表示表示 ABa,ADb, a,bMA MB MCMD.,和 MCMA, MBMD, ACABADab, 1 MCAC, 2 1 MBDB, 2 DBABADab. M M C C A A B B D D a b 解解: :在平行四边形在平行四边形ABCDAB
6、CD中，因为中，因为 ， 所以所以 又因为又因为 所以所以 M M C C A A B B D D a b 注意注意: :我们在做有关向量的题目时我们在做有关向量的题目时, ,要先找清楚要先找清楚 未知向量和已知向量间的关系未知向量和已知向量间的关系, ,认真分析未知与认真分析未知与 已知之间的相关联系已知之间的相关联系, ,从而使问题简化从而使问题简化. . 说明：说明：同上题一样，我们要找到与未知相关联的同上题一样，我们要找到与未知相关联的 量来解决问题，避免做无用功！量来解决问题，避免做无用功！ OP：求求，分分析析由由图图可可知知 AP=tAB OP=OA+AP=OA+tAB=OA+t
7、OBOA =1-t OA+tOB 解解：因因为为 所所以以（） （） ， . . 因为因为 =10=10（kgkg）1010（m/sm/s2 2）=100=100（N N），）， |AG| 1 |AF| |AG| sin3010050(N), 2 A A F F E E G G N N MM 答：物体所受滑动摩擦力大小为答：物体所受滑动摩擦力大小为50N50N，方向与斜面平行向，方向与斜面平行向 上；所受斜面支持力大小为上；所受斜面支持力大小为 方向与斜面垂直向上方向与斜面垂直向上. . 50 3N, 3 |AE| |AG| cos3010050 3(N), 2 ,|AM| |AF| 50N,
8、|AN| |AE| 50 3N.所以 D D B B C C A A E E F F 1.1.下列说法中，正确的有（下列说法中，正确的有（ ） 一个平面内只有一对不共线向量可以作为表示一个平面内只有一对不共线向量可以作为表示 该平面所有向量的基底；该平面所有向量的基底； 一个平面内有无数多对不共线向量可以作为表一个平面内有无数多对不共线向量可以作为表 示该平面所有向量的基底；示该平面所有向量的基底； 零向量不可以为基底中的向量零向量不可以为基底中的向量. . 2.2.如图，在如图，在ABCABC中，中， AN= NCAN= NC，P P是是BNBN上的一点，上的一点， 若若 AP = mAB+
9、 ACAP = mAB+ AC，则实数，则实数m m的值为（的值为（ ） A. B. C. D.A. B. C. D. 1 3 2 11 9 11 5 11 2 11 3 11 分析：分析：由已知由已知ABCABC中，中， AN= NCAN= NC，P P是是BNBN上的一点，上的一点， 设设BP=BP=BNBN后，我们易将后，我们易将APAP表示为表示为(1(1- -) AB+ AC) AB+ AC 的形式，根据平面向量的基本定理我们易构造关于的形式，根据平面向量的基本定理我们易构造关于， m m的方程组，解方程组后即可得到的方程组，解方程组后即可得到m m的值的值. . 1 3 4 D D
10、 3.3.如图，已知梯形如图，已知梯形ABCDABCD，ABCDABCD，且，且AB=2DC,M,NAB=2DC,M,N分别分别 是是DC,ABDC,AB的中点的中点. .请大家动手请大家动手, ,从图中的线段从图中的线段AD,AB,BC,AD,AB,BC, DC,MNDC,MN对应的向量中确定一组基底，将其他向量用这对应的向量中确定一组基底，将其他向量用这 组基底表示出来组基底表示出来. . A A N N MM C C D D B B 121 12112 12112 1 ABe ,ADeDCe ; 2 11 BCBAADDCeeeee , 22 111 MNMDDAANeeeee . 42
11、4 取为基底,则有解： 1.1.平面向量基本定理平面向量基本定理 2.2.基底基底 （1 1）零向量不能作基底）零向量不能作基底. . （2 2）平面中的任意不共线向量都可以作为基底，一）平面中的任意不共线向量都可以作为基底，一 旦选定一组基底，则给定向量沿着基底的分解是唯一旦选定一组基底，则给定向量沿着基底的分解是唯一 的的. . 平面中的任一向量都可表示为其他的两个不共平面中的任一向量都可表示为其他的两个不共 线向量的线性组合线向量的线性组合, ,根据向量的加法和减法法则及其根据向量的加法和减法法则及其 几何特点即可解题几何特点即可解题. . 不用相当的独立功夫，不论在哪个严重的 问题上都不能找出真理；谁怕用功夫，谁 就无法找到真理. 列宁
