1、 样条是绘图员用于描绘光滑曲线的一样条是绘图员用于描绘光滑曲线的一种机械器件种机械器件,它是一些易弯曲材料制成的它是一些易弯曲材料制成的窄条或棒条窄条或棒条.在绘制需要通过某点的光滑在绘制需要通过某点的光滑曲线时曲线时,对它在这些点的位置上对它在这些点的位置上“压铁压铁”,它就被强制通过或接近图表上确定的描绘它就被强制通过或接近图表上确定的描绘点点.“.“样条函数样条函数”这个术语意在点出这种这个术语意在点出这种函数的图象与机械样条画出的曲线很象函数的图象与机械样条画出的曲线很象.第六节第六节 三次样条插值三次样条插值011(),:()0,1,2,nniyf xa ba baxxxxbf xi
2、nx 若若函函数数在在上上连连续续，对对于于区区间间上上的的一一个个分分划划给给定定节节点点上上函函数数值值，。若若函函数数S S定定(义义)满满足足NoImage011(),:()0,1,2,nniy f x ababa x xxx bf x inx 若若 函函 数数在在 上上 连连 续续，对对 于于 区区 间间上上 的的 一一 个个1 1.定定 义义分分 划划给给 定定 节节 点点 上上 函函 数数 值值，。若若 函函 数数 S S()满满 足足(一一)、k次样条函数的定义次样条函数的定义011(),:()0,1,2,nniyf xa ba baxxxxbf xinx 若若函函数数在在上上
3、连连续续，对对于于区区间间上上的的一一个个1 1.定定义义分分划划给给定定节节点点上上函函数数值值，。若若函函数数S S()满满足足NoImage21110(1)()0 1(2)(),(3)(),0 11(),.,iiiinnS xyinS xCa bS xx xinS xxxxx ，；，即即在在整整体体上上是是二二阶阶连连续续的的；在在每每一一个个小小区区间间（，）是是三三次次多多项项式式;则则称称为为三三次次样样条条函函数数。称称为为内内节节点点称称为为外外节节点点.(二二)、三次样条插值函数的提法、三次样条插值函数的提法00()(),()(3).1nnSxfxSxfx 边边常常见见的的边
4、边界界条条件件有有界界条条件件（）给给定定端端点点一一阶阶导导以以下下三三种种：称称为为固固支支边边数数值值界界条条件件。011(),:()0,1,2,nniyfxababaxxxxbfxinx 若若 函函 数数在在上上 连连 续续，对对 于于 区区 间间上上 的的 一一 个个1 1.定定 义义分分 划划给给 定定 节节 点点 上上 函函 数数 值值，。若若 函函 数数 S S()满满 足足1()(),1,2,.,111iiiiSxSxinnn 可可利利用用在在节节点点上上一一阶阶导导数数连连续续条条件件由由导导出出三三弯弯矩矩方方程程（个个方方程程要要解解个个未未知知数数）2、插插 值值 条
5、条 件件 分分 析析11111(),(,),()()()()()1.iiiiiiiiiiiiiiiiiiS xmmymymx xHermiteS xh x yhx yh x mhx m 设设只只是是如如果果已已知知，则则在在每每个个小小区区间间上上，可可构构造造两两点点三三次次插插值值建建立立三三转转角角方方程程011(),:()0,1,2,nniyfxababaxxxxbfxinx 若若函函数数在在上上连连续续，对对于于区区间间上上的的一一个个1 1.定定义义分分划划给给定定节节点点上上函函数数值值，。若若函函数数S S()满满足足011(),:()0,1,2,nniyf xa ba bax
6、xxxbf xinx 若若函函数数在在上上连连续续，对对于于区区间间上上的的一一个个1 1.定定义义分分划划给给定定节节点点上上函函数数值值，。若若函函数数S S()满满足足21112(),()(),()(),()(),1,2,.,1iiiiiiiiiiiiSx CabS x Sx S x SxS x S x in 由由（）隐隐 含含 着着 在在 内内 节节 点点 上上 应应 有有011(),:()0,1,2,nniy f x ababa x xxx bf x inx 若若 函函 数数在在 上上 连连 续续，对对 于于 区区 间间上上 的的 一一 个个1 1.定定 义义分分 划划给给 定定 节
7、节 点点 上上 函函 数数 值值，。若若 函函 数数 S S()满满 足足000(0)(0)(0)(0)(0)(0)3nnnSxSxSxSxSxSx （）周周 期期 边边 界界 条条 件件，4.()S x构构造造三三次次样样条条插插值值函函数数的的基基本本方方法法00()()nnS xyS xy 已已知知两两端端点点一一阶阶导导2 2.加加边边界界条条件件构构造造封封闭闭值值和和方方程程组组 数数011(),:()0,1,2,nniyfxababaxxxxbfxinx 若若 函函 数数在在上上 连连 续续，对对 于于 区区 间间上上 的的 一一 个个1 1.定定 义义分分 划划给给 定定 节节
8、 点点 上上 函函 数数 值值，。若若 函函 数数 S S()满满 足足以以下下面面问问题题为为例例介介绍绍三三弯弯矩矩插插值值法法.2111111111 (-0)(0)()()32,iiiiiiiiiiiiiiiiixS xS xS x S xa hb h c ca b cc 在在 节节 点点上上 应应 有有，即即，得得 到到将将 前前 已已 得得 到到 的的和和的的 表表 达达 式式 代代 入入 上上 式式 有有(三三)、三弯矩插值法、三弯矩插值法0,()(0,1,.,)(),()()()(1,2,.,1)(),()()(0,)iiniijjjjyfxinfxfxSxSxyinSxySxf
9、xjn 对对于于分分划划已已给给相相应应的的函函数数值值以以及及边边界界点点上上的的一一阶阶导导数数值值.求求一一个个三三次次样样条条函函数数使使之之满满足足问问题题1()(),(,)iiiiiiiiyfxSxMMyMy（）未未知知，但但可可设设三三弯弯矩矩插插值值法法的的基基本本只只是是思思想想2 (),1()3(-)2(-)SxxxiiSxaxxbxxciiiiii 利利用用在在内内节节点点上上一一阶阶导导数数连连续续的的条条件件，在在区区间间上上4,(0,1,2,.,)iM in （）再再 由由 三三 弯弯 矩矩 方方 程程 边边 界界 条条 件件（补补 充充 两两 个个 方方 程程）封
10、封 闭闭 的的 方方 程程 组组，可可 求求 出出1,0,1,2,.,iyin 由由（）已已 知知 节节 点点 上上 函函 数数 值值。这这 是是 n n+1 1 个个 条条 件件011(),:()0,1,2,nniyf xa ba ba xxxxbf xinx 若若函函数数在在上上连连续续，对对于于区区间间上上的的一一个个1 1.定定义义分分划划给给定定节节点点上上函函数数值值，。若若函函数数S S()满满足足11323211(),()()()()()1,iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiS xxxhxxyS xa xxb xxc xxddyS xa hb
11、 ha b cc hdMd在在中中代代入入两两个个端端点点 和和并并（）建建立立记记和和之之的的关关系系得得到到间间011(),:()0,1,2,nniyfxa ba baxxxxbfxinx 若若 函函 数数在在上上 连连 续续，对对 于于 区区 间间上上 的的 一一 个个1 1.定定 义义分分 划划给给 定定 节节 点点 上上 函函 数数 值值，。若若 函函 数数 S S()满满 足足011(),:()0,1,2,nniy f x ababa x xxx bf x inx 若若 函函 数数在在 上上 连连 续续，对对 于于 区区 间间上上 的的 一一 个个1 1.定定 义义分分 划划给给
12、定定 节节 点点 上上 函函 数数 值值，。若若 函函 数数 S S()满满 足足211()()3()2()()6()2()6()22()62iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiS xSxa xxb xxcSxa xxbMSxa xxbbMSxa hb 对对求求导导于于是是（2）构造三弯矩方程）构造三弯矩方程011(),:()0,1,2,nniyf xa ba baxxxxbf xinx 若若函函数数在在上上连连续续，对对于于区区间间上上的的一一个个1 1.定定义义分分划划给给定定节节点点上上函函数数值值，。若若函函数数S S()满满足足 111011121 0222212223
13、333233343 4203(,)23(,)023(,)mf x xf x xymf x xf x xmf x xf x xy 011(),:()0,1,2,nniyfxa ba baxxxxbfxinx 若若 函函 数数在在上上 连连 续续，对对 于于 区区 间间上上 的的 一一 个个1 1.定定 义义分分 划划给给 定定 节节 点点 上上 函函 数数 值值，。若若 函函 数数 S S()满满 足足(1)3(1)4 2,nnn 共共 有有个个 条条 件件缺缺 两两 个个 条条 件件，由由 边边 界界 条条 件件 给给 出出。11-1-1-1-1-1-1-1-1-12-6(-)-2-26iii
14、iiiiiiiiiiiiiiiiyyh Mh MhMMhyyhMhMMhh (2 2)三三转转角角插插值值法法(1 1)三三 弯弯 矩矩 插插 值值 法法011(),:()0,1,2,nniy f xababa x xxx bf xinx 若若 函函 数数在在上上 连连 续续，对对 于于 区区 间间上上 的的 一一 个个1 1.定定 义义分分 划划给给 定定 节节 点点 上上 函函 数数 值值，。若若 函函 数数 S S()满满 足足,12()3(-)2(-)1111112()32111111nxxnnSxax xbx xcnnnnnnySxahbhcnnnnnnn 在上00010100111
15、111111126(,)2()6(,)(1,2,1)26(,)iiiiiiiiiiiiinnnnnnnnhMhMfxxyghMhhMhMfxxfxxginhMhMyfxxgM 将将以以上上求求解解的的方方程程合合在在一一起起,得得方方程程组组011(),:()0,1,2,nniy f xababa xxxxbf xinx 若若 函函 数数在在上上 连连 续续，对对 于于 区区 间间上上 的的 一一 个个1 1.定定 义义分分 划划给给 定定 节节 点点 上上 函函 数数 值值，。若若 函函 数数 S S()满满 足足即即：00001100111122111122()2()2nnnnnnnnnn
16、MghhMghhhhMghhhhhhMg 系数矩阵是对称三对角阵，且是严格对角占优的矩系数矩阵是对称三对角阵，且是严格对角占优的矩阵，是非奇异的，所以三弯矩方程解是存在唯一的。阵，是非奇异的，所以三弯矩方程解是存在唯一的。3200000000,013211111111,12321111111,()()()()(),;()()()(),;()()()()3.()iiiiinnnnnnnnMa b c dS xS xa x xb x xc x xd xx xS xa x xb x xc x xd xx xSxax xbx xcxdS xx 由由三三次次样样条条插插值值函函数数计计算算，就就可可得得
17、到到分分段段三三次次样样条条插插值值函函数数是是：1,1,;nnxxx 以以下下面面问问题题为为例例介介绍绍三三转转角角插插值值法法.0,()(0,1,.,)(),()()()(1,2,.,1)(),()()(0,)iiniijjjjyf xinfxfxS xS xyinS xySxfxjn 对于分划已给相应的函数值对于分划已给相应的函数值以及边界点上的一阶导数值.以及边界点上的一阶导数值.求一个三次样条函数使之满足求一个三次样条函数使之满足问题问题四三转角插值法四三转角插值法4,(0,1,2,.,)imin （）再再由由三三转转角角方方程程边边界界条条件件（补补充充两两个个方方程程）封封闭闭
18、的的方方程程组组，可可求求出出1()(),(,)iiiiiiiiyfxS xmmymy （）未未知知，但但可可三三转转角角插插值值法法的的基基设设只只是是本本思思想想111112,()()()()()1.iiiiiiiiiiiiimx xHermiteS xh x yhx yh x mhx mnm （）如如能能求求出出，则则可可在在上上构构造造三三次次插插值值函函数数共共有有个个待待求求1(3)()(),1,2,.,111iiiiimSxSxinnn 如如何何求求？利利用用在在节节点点上上二二阶阶导导数数连连续续的的条条件件由由导导出出三三转转角角方方程程（个个方方程程要要解解个个未未知知数数
19、）,012()3(-)2(-)000000-(2)10001()-00006026(,-)0001010 xxSxaxxbxxcyyhMMySxchhMhMfxxy 在上得 补 充 方 程 11(),(),(),()iiiihxhxhxhxHermite 为为插插值值基基函函数数2211311()2()()12iiiiiiiiiiixxxxxxhxxh xxxxxh2113()(2()()iiiiixxhxxhxh 2211122()()()()()()iiiiiiiixxxxxxxxh xhxhh ，1,iixx 于于是是,在在 上上22111332211122()(2()()(2()()(
20、)()()()iiiiiiiiiiiiiiiiiiix xhx xx xhxxS xyyhhx xx xx xx xmmhh 11122113624642()6(2)()iiiiiiiiiiiiiixxxxxxSxmmhhxxxyyh 求求二二阶阶导导数数有有1111122111131624642()6(2)(),iiiiiiiiiiiiiiiixxxxxxSxmmhhxxxyyhxx 同同理理，在在也也可可以以得得到到11,2,-1()()iiiiiinSxSxx （）上上，由由在在内内节节点点11112211111112()3()iiiiiiiiiiiiiyyyymmmhhhhhh 111
21、123(,)(1,2,1)iiiiiiiiiiimmmfxxfxxin 化化简简整整理理得得到到三三转转角角方方程程111,1iiiiiiiiihhhhhh 其其中中 0000,()()nnnnmmS xyS xyyy 这这时时，得得到到方方程程组组2 2.加加边边界界条条件件构构造造已已知知两两端端点点一一阶阶导导数数闭闭方方值值和和封封程程组组 1122222211101112102122232322211211122223(,)3(,)3(,)3(,)nnnnnnnnnnnnnnnnnmmmmfxxfxxyfxxfxxfxxfxxfxxfxx 1nny 11110(1)()0 1(2)(
22、),(3)(),0 11(),.,iikiinnSxyinSxCabSxxxinSxkxxxx ，；，即即 在在 整整 体体 上上 是是 k k-1 1 阶阶 连连 续续 的的；在在 每每 一一 个个 小小 区区 间间是是 k k 次次 多多 项项 式式（，）则则 称称为为次次 样样 条条 函函 数数。称称 为为 内内 节节 点点称称 为为 外外 节节 点点.123122390282mmm 2 21 1/2 20 0 1 1/2 21 1/2 2 1 1/2 2方方 程程 组组 为为011(),:()0,1,2,nniyfxababaxxxxbfxinx 若若函函数数在在上上连连续续，对对于于
23、区区间间上上的的一一个个1 1.定定义义分分划划给给定定节节点点上上函函数数值值，。若若函函数数S S()满满足足五样条插值的收敛性五样条插值的收敛性0101,(),()nnm mmf xMMMf x就就是是的的近近似似值值。就就是是的的近近似似值值。用用三三转转角角方方程程求求出出函函数数在在节节点点处处一一阶阶导导数数用用三三弯弯矩矩方方程程求求出出函函数数在在节节点点处处二二阶阶导导数数 (,)(0,8),(1,7),(2,0),(3,19),(4,56)()(0)0,(4)4x yyf xyy 的的数数据据点点。已已知知函函数数并并给给出出两两端端点点一一阶阶导导数数值值。试试用用三三
24、转转角角方方程程求求在在节节点点上上的的一一阶阶导导数数近近似似值值。例 401,()na ba baxxxbxfxC 插插 值值 区区 间间的的 一一 个个 剖剖 分分 是是设设 被被 插插 值值 函函 数数 S S()是是 满满 足足 第第 一一 类类 或或 第第 二二 类类 边边 界界 条条 件件 的的 三三 次次 样样 条条 插插 值值，则则 在在 插插 值值 区区 间间 上上 有有 估估 计计 式式定定 理理这这是是三三转转角角方方程程第第一一类类边边界界条条件件的的问问解解：题题。方方程程组组为为1012111(),1 62iii nx x cc c 0 0其其 中中 h h=m
25、m a a x x由已知数据算出由已知数据算出1001112113(),(),;(),;()(),;iinnnSxxxSxxxxSxxxxSxSxxxx 由由（）在在 每每 个个上上 表表 达达 式式 不不 同同，故故 应应 分分 段段 构构 造造：123 3.786,8.857,38.786()mmmyf xyyyyy ,0 01 12 23 34 4解解出出 于于是是得得到到各各节节点点上上函函数数的的一一阶阶导导数数近近似似值值为为=0 0,=3 3.7 78 86 6,=8 8.8 85 57 7,=3 38 8.7 78 86 6,=4 4(3)iM如如 何何 求求?Chzh1.m二版习题二版习题 P229-11,12(1)三版习题三版习题 P196-13,15(1)
