1、第四章 三角形 2.认识三角形的边、内角、顶点。 一、 认识三角形 1.了解三角形定义: A B C （1 1）边上的性质：）边上的性质： 三角形的任意两边之和大于第三边三角形的任意两边之和大于第三边 三角形的任意两边之差小于第三边三角形的任意两边之差小于第三边 （2 2）角上的性质：）角上的性质： 三角形三内角和等于三角形三内角和等于180180度度 二、三角形的性质二、三角形的性质 直角三角形的两个锐角和等于直角三角形的两个锐角和等于9090度度 A B C 1 1、下列每组分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成、下列每组分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成 三角形吗？（单位：厘米。填三角形
2、吗？（单位：厘米。填“能能”或或“不能不能”) ) 3 3，4 4，5 5（ ） 8 8，7 7，1515（ ） 1313，1212，2020（ ） 5 5，5 5，1111（ ） 不能不能 不能不能 能能 能能 直角三角形直角三角形 钝角三角形钝角三角形 2 2、根据下列条件判断它们是什么三角形？、根据下列条件判断它们是什么三角形？ （1 1）三个内角的度数是）三个内角的度数是1:2:31:2:3（ ） （2 2）两个内角是）两个内角是5050和和3030 （ ） 练一练：练一练： 3 3、ABCABC，ABAB5 5，BCBC9 9，那么，那么 ACAC _ 4 14 4 4、一个三角形的
3、两边长分别是、一个三角形的两边长分别是3 3和和8 8，而第三边长为，而第三边长为 奇数，那么第三边长是奇数，那么第三边长是 _ _ 7 7 或或 9 9 5 5、已知一个等腰三角形的一边是、已知一个等腰三角形的一边是3cm3cm，一边是，一边是7cm7cm， 这个三角形的周长是这个三角形的周长是 _ （第（第6 6题）题） （第（第7 7题）题） 6 6、如上图，、如上图，1=601=60，D=20D=20，则，则A=A= 度度 7 7、如上图，、如上图，ADBCADBC，1=401=40，2=302=30， 则则B=B= 度，度，C=C= 度度 A B C D E1 A B C D 1 2
4、 17cm 100 50 60 x 3x 5x 1 1、如图，求、如图，求ABCABC各内角的度数。各内角的度数。 2 2、已知三角形三个内角的度数比为、已知三角形三个内角的度数比为1 1：3 3：5 5， 求这三个内角的度数。求这三个内角的度数。 解：解：3x + 2x + x = 1803x + 2x + x = 180 6x=180 X=306x=180 X=30 三角形各内角的度数分别为：三角形各内角的度数分别为：3030 ，6060 ，9090 解：设三个内角分别为解：设三个内角分别为x x，3x3x，5x 5x 则则x + 3x + 5x = 180 x=20x + 3x + 5x
5、 = 180 x=20 三角形三个内角分别为：三角形三个内角分别为：2020 ，6060 ,100,100 2x 3x x A B C 则则ABCABC是是 （ ） A.A.钝角三角形钝角三角形 B.B.直角三角形直角三角形 C.C.锐角三角形锐角三角形 D.D.不能确定不能确定 B= 2 1 3 1 9.9.在在ABCABC中，如果中，如果A=A= C C B = 3B = 3 10.10.在在ABCABC中，如果中，如果A = 2A = 2 C C 则则ABCABC是是 （ ） A.A.钝角三角形钝角三角形 B.B.直角三角形直角三角形 C.C.锐角三角形锐角三角形 D.D.不能确定不能确
6、定 B A 8.8.在在ABCABC中，如果中，如果A AB B 2C2C，ABAB， 那么（那么（ ） A A、A A60600 0 B B、 、B B60600 0， C C、C C60600 0 D D、A A、B B、C C都不等于都不等于60600 0 C 1.了解三角形的角平分线，中线及高线的概念 三、三角形的中线、角平分线、高线、中垂线的概念三、三角形的中线、角平分线、高线、中垂线的概念 B C E A BE=ECBE=EC 线段线段AEAE是三角形是三角形BCBC边上的中线边上的中线. . B C D 1 2 A 1=2 1=2 线段线段ADAD是三角形是三角形BACBAC的角
7、平分线的角平分线. . A B C D 线段线段ADAD是是BCBC边上的高边上的高. . ADB=ADC =90ADB=ADC =90 B C E A 直线直线DE是是BC边上的边上的中垂线中垂线. DEB= =DEC =90 且且 BE=EC 连接连接DC DB=DC(中垂线的性质）中垂线的性质） D 四、三角形三线的性质四、三角形三线的性质 1.1.三角形的三条三角形的三条中线中线交于一点交于一点. .（三角形内部）（三角形内部） 2.2.三角形的三条三角形的三条角平分线角平分线交于一点交于一点. . （三角形内部）（三角形内部） 3.3.三角形的三条三角形的三条高所在直线高所在直线交于
8、一点交于一点 锐角三角形的三条高交于同一点锐角三角形的三条高交于同一点. （三角形内部）（三角形内部） 直角三角形的三条高交于直角顶点直角三角形的三条高交于直角顶点. 钝角三角形的三条高不相交于一点钝角三角形的三条高不相交于一点 钝角三角形的三条高所在直线交于一点钝角三角形的三条高所在直线交于一点（三角形外部）（三角形外部） 1.如图，在如图，在ABC中中,BE是边是边AC上的中线。已知上的中线。已知 AB=4，AC=3，BE=5，ABE的周长的周长=_. C B A E 2.如图如图,CE,CF分别是分别是ABC的内角平分线和外角平的内角平分线和外角平 分线分线,则则ECF的度数的度数=_度
9、度. B C D F E A 练一练练一练: 10.5 90 邻补角的角平分线的夹角为邻补角的角平分线的夹角为9090度。度。 p A BC D E 4、如图，在、如图，在ABC中，中，BD平分平分ABC， CE是是AB边上的高，边上的高，BD，CE交于点交于点P。 已知已知ABC=600，ACB=700, 求求ACE，BDC的度数。的度数。 400 800 A B C E D F 3.如图，如图，AD、BF都是都是ABC 的高线，若的高线，若CAD=30CAD=30度，则度，则 CBF=_CBF=_度。度。 30 三角形中线的性质：三角形中线的性质： 三角形的中线把三角形分成三角形的中线把三
10、角形分成 两个面积相等的三角形两个面积相等的三角形 A B C D 如图，若如图，若AD是是ABC中中BC边上的中线，边上的中线， 则有则有 ABD的面积的面积=ACD的面积的面积 A B C D E 如下图，已知如下图，已知AD是是ABC的中线，的中线，CE是是ADC 的中线，若的中线，若ABC的面积是的面积是8，求，求DEC的面积。的面积。 五、三角形全等的判定方法五、三角形全等的判定方法 （1 1）全等三角形的定义）全等三角形的定义 （2 2）边边边公理（）边边边公理（SSSSSS） （3 3）边角边公理（）边角边公理（SASSAS） 三边对应相等的两个三角形全等三边对应相等的两个三角形
11、全等 两边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等两边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等 能够完全重合能够完全重合的两个三角形是全等三角形的两个三角形是全等三角形 （4 4）角边角公理（）角边角公理（ASAASA） 两角及它们的夹边对应相等的两个三角形全等两角及它们的夹边对应相等的两个三角形全等 （5 5）角角边公理（）角角边公理（AASAAS） 两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 A B C D E F 40 40 结论：结论：两边及其一边所对的角相等，两边及其一边所对的角相等， 两个三角形两个三角形不一定不一定全等全等 ASS 三个角对应
12、相等的两个三角形不一定全等 AAA 不能把不能把“AASAAS”、“ASAASA”简述为简述为 “两角和一边对应相等的两个三角形全等两角和一边对应相等的两个三角形全等”？ A B C D E 在在ADEADE和和ABCABC中中 但但ABCABC和和ADEADE不全等不全等 BCAD BADE AA 结论：说明两个三角形全等时说明两个三角形全等时, , 特别注意特别注意边和角边和角“位置上对应相等位置上对应相等” 。 判断两个三角形全等的方法有：判断两个三角形全等的方法有： (1)： ； (2)： ； (3)： ； (4)： ； SSS SAS ASA AAS 4 4三角形全等的条件思路：三角
13、形全等的条件思路： 当两三角形已具备两角对应相等时，第三条件应当两三角形已具备两角对应相等时，第三条件应 找找 。 当两三角形已具备两边对应相等时，第三条件应当两三角形已具备两边对应相等时，第三条件应 找找 。 当两三角形已具备一角一边对应相等时，第三条当两三角形已具备一角一边对应相等时，第三条 件应找件应找 。 5 5找三角形全等的条件时经常见到的隐含条件找三角形全等的条件时经常见到的隐含条件 有：有： 。 如图如图,已知已知AC平分平分BCDBCD, 要说明要说明ABCADC, 还需要增加一个什么条件还需要增加一个什么条件?请说明理由。请说明理由。 D C A B 或或BAC=DAC BC
14、=CD 或或B=D 1、如图、如图AD=BC，要判定，要判定ABCCDA， 还需要的条件是还需要的条件是 . A B C D AB=CDAB=CD 或或DACDACBCABCA B A F C D E 2、如图、如图,已知已知AB=ED,AF=CD,EF=BC, 说明说明EFD=BCA的理由。的理由。 1 1. .如图，已知如图，已知AB=CDAB=CD，AD=BCAD=BC， 问问B=DB=D吗？请说明理由。吗？请说明理由。 A C D B A B C D 2 2. . 如图，如图， A= A= D,D, ACB= ACB= DBCDBC 问问AB=DCAB=DC吗？试说明理由。吗？试说明理
15、由。 EB A DC 3.已知已知 ABC 和和 AED 中中, B =E ,AB=AE 试说明试说明ABC AED 5.5.如图如图,O,O是是ABAB的中点，的中点， O O是是CDCD的中点，试的中点，试 说明：说明：ACBDACBD O A B C D F F E E D DC C B B A A 6.如图,AC DE, B= F,BD=CF, 试说明AB=EF A C B O D 3、如图:AC和DB相交于点O,若AB=DC， AC=DB，则B=C,B=C,请说明理由请说明理由. . 思考题：思考题： 斜边斜边和一条和一条直角边直角边对应相等的两个三角对应相等的两个三角 形全等，简写
16、为形全等，简写为“斜边、直角边斜边、直角边”或或 “HLHL”。 数学语言：数学语言： AB=A B 在在RtABC和和RtA B C 中中 RtABC RtA B C B C A B C A （HL） BC=B C 判断两个直角三角形全等的方法有：判断两个直角三角形全等的方法有： (1)： ； (2)： ； (3)： ； (4)： ； SSS SAS ASA AAS (5)： ； HL (1) _, A=D ( ASA ) (2) AC=DF,_ (SAS) (3) AB=DE,BC=EF ( ) (4) AC=DF, _ ( HL ) (5) A=D, BC=EF ( ) (6) _,AC
17、=DF ( AAS ) B C A E F D 把下列说明把下列说明RtABCRtDEF 的条件或根据补充完整的条件或根据补充完整. AC=DF BC=EF HL AB=DE AAS B=E 2.如图，如图，ACB =ADB=90，要使要使ABC BAD， 还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应 的括号内填写出判定它们全等的理由。的括号内填写出判定它们全等的理由。 （1） （ ） （2） （ ） （3） （ ） （4） （ ） A B D C AD=BC DAB= CBA BD=AC DBA= CAB HL HL AAS AAS 。 如图，
18、如图，AC=ADAC=AD，C C，D D是直角，将上述条件标注是直角，将上述条件标注 在图中，你能说明在图中，你能说明BCBC与与BDBD相等吗？相等吗？ C D A B 解：解：BC=BD 在在RtACB和和RtADB中中 AB=AB, AC=AD. RtACBRtADB (HL). BC=BD 1、图中三角形的个数是（、图中三角形的个数是（ ） A. 3个个 B. 4个个 C. 5个个 D. 6个个 E A 当增加当增加n条线的时候，有多少个三角形？条线的时候，有多少个三角形？ 2 )2)(1(nn 2、如图，、如图，1=2，AB=CD，AC与与BD相相 交于点交于点O，则图中必定全等的
19、三角形有（，则图中必定全等的三角形有（ ） A. 2对对 B. 3对对 C. 4对对 D. 6对对 C 3.3.有一次柯南看见这样一个图，要计算：有一次柯南看见这样一个图，要计算： A+B+C+D+E+F= A+B+C+D+E+F= 度度 B C D A G M H E F 360 4、已知等腰三角形底边为、已知等腰三角形底边为8，一腰上的中线分此，一腰上的中线分此 三角形的周长成两部分，其差为三角形的周长成两部分，其差为2，则腰长为，则腰长为 . 5、如图，、如图，AD是是ABC的高，且的高，且AD平分平分BAC， 请指出请指出B与与C的关系，并说明理由的关系，并说明理由。 6或或10 解：
20、解： ABCABC和和ADEADE全等。全等。 1 12 2（已知）（已知） 1 1DACDAC2 2DACDAC 即即BACBACDAEDAE 在在ABCABC和和ADCADC 中中 A A B B C C D D E E 1 1 2 2 2.2.如图，已知如图，已知C CE E，1 12 2，ABABADAD， ABCABC和和ADEADE全等吗？为什么？全等吗？为什么？ CE BACDAE ABAD （已知） （已证） （已知） ABCABCADEADE （AASAAS） 4、如图，B、E、F、C在同一直线上，AFBC于F， DEBC于E， AB=DC，BE=CF，你认为AB平行于CD吗
21、？ 说说你的理由 如图线段如图线段AB是一个池塘的长是一个池塘的长, 现在想测量这个池塘的长度，在现在想测量这个池塘的长度，在 水上测量不方便，你有什么好的水上测量不方便，你有什么好的 方法较方便地把池塘的长度测量方法较方便地把池塘的长度测量 出来吗？想想看。出来吗？想想看。 B A 开启 你说 智慧 我说 8 8、把两个形状把两个形状,大小都相同的火柴盒如图放置大小都相同的火柴盒如图放置, 判断判断AB和和CD两条对角线是否互相垂直两条对角线是否互相垂直,并说明并说明 理由理由. 你们可要好好动动你们可要好好动动 脑哟！脑哟！ 这是一种什么图形这是一种什么图形 变换？变换？ 小莉的设计方案：先在池塘旁取一个小莉的设计方案：先在池塘旁取一个 能直接到达能直接到达A A和和B B处的点处的点C C，连结，连结ACAC并延长并延长 至至D D点，使点，使AC=DCAC=DC，连结，连结BCBC并延长至并延长至E E点，点， 使使BC=ECBC=EC，连结，连结CDCD，用米尺测出，用米尺测出DEDE的长，的长， 这个长度就等于这个长度就等于A A，B B两点的距离。请你说两点的距离。请你说 明理由。明理由。 AC=DC ACB=DCE BC=EC ACBDCE(SAS) AB=DE E C B A D 解：解：
