1、图像变换 图象变换可以看成是一幅图象经过一个系统生成的结果：f(x,y)h(x,y)g(x,y)。如果系统h(x,y)满足一定的条件：齐次性、可加性和时不变性，就成为了线性时不变系统（LTI）。一般而言，都将图像处理系统看成为线性时不变(位置不变)系统。于是，可将图像变换看成是图象经过一线性位置不变系统的结果。所有线性系统理论都可以拿来使用。图像变换是将图像从空域变换到其它域，如频域。图像变换需满足某些条件。图像处理通过某种方法将数字图像中的像素进行改变，以达到预期效果。通常，图像处理在以下三个域中进行：空域处理：利用某种方法直接对数字图像中的象素进行修改。频域处理：将空域图像经过傅立叶变换，
2、使其成为“频域图象”，而后对其各个频率成分进行处理；处理完成后，将“频域图像”图像经过傅立叶反变换为空域图像。其它域处理：空域图象经过某种变换，使其成为“对应域图像”，而后进行相应处理；处理完成后，将“对应域图像”图像经过对应反变换为空域图像。图像处理的手段图象为什么要变换o利用变换的某些性质，可以大大简化或加速图象处理过程o空域图象经过变换后形成“对应域图象”，从中会看到在空域图象中不易看到的某些“东西”。o变换后形成“对应域图象”，会呈现某些性态，利用这些性态可完成图象处理中某个应用领域的应用。应选择什么样的变换才能满足各种要求是下面要讨论的主要问题之一。变换选择的原则1)变换必须是可逆的
3、。2)变换不能损失信息。3)变换必须是有好处的。4)变换算法必须是不复杂的。G(i,j)=I f(x,y)G(i,j)=I f(x,y)f(x,y)=If(x,y)=I-1-1 G(i,j)G(i,j)虽然满足虽然满足1 1、2 2、4 4条件，但不满足第三条。条件，但不满足第三条。一维变换1、正交函数集合的正交性和完备性设：一维连续实值函数集合un(t)=u0(t),u1(t),u2(t)，若此集合中的函数满足 时，称集合un(t)为正交函数集合。当C=1时，称集合un(t)为归一化正交函数集合。从几何的观点来看正交性相互垂直其它0)()(00nmifCdttutuTttnm若f(x)是定义
4、在t0和t0+T区间的实值信号，可以用展开式表示为：0)()(nnnxuaxf10)()(NnnnxuaxfTttxxfxf00d)()(2对任何平方可积的分段连续信号f(x)，对任意小的0，存在充分大的N和有限项展开式 使得一维变换一维变换o 则称函数un(x)集合是完备的。o 如果能够找到一组正交且完备的函数集合，则任何平方可积的分段连续信号f(x)都可由这个函数集合的加权和表示。这N个函数构成了N维正交基。任何一个满足条件的函任何一个满足条件的函数都可以由一个函数簇数都可以由一个函数簇的加权和来逼近的加权和来逼近2、离散情况111110111110111010000 ,nnnnnnnaa
5、aaaaaaaaaajijiCaankkjki010对上述一维连续实值正交函数集合un(t)进行等间隔采样，可以看作是下列向量的集合：若它们彼此正交，则向量的元素应满足下式：当C=1时，称归一化正交，每一向量为单位向量，彼此垂直。这n个矢量构成了n维空间的n维正交基。矢量的点积矢量的点积自点积常数自点积常数互点积互点积0 0用满足上式的n维正交基矢量组成矩阵111110112110101100nnnnnnaaaaaaaaaAIAAAATT 一定满足：1 AAT该矩阵称为正交矩阵。3、一维正交变换利用上述矩阵对任一数据向量f f进行运算为：g=Af 例若要恢复f，则gAgAfT1以上过程称为正交
6、变换。正变换：将任意一个矢量分解成为一个由该矢量投影在给定正交基上的分量组成的矢量。反变换：将任意一个由给定正交基上的分量组成的矢量合成为空间矢量。32100000032kjikji4、酉变换若A为复数方阵，正交的条件为：其中A*为A的复数共轭矩阵，满足这个条件的矩阵为酉矩阵。对于任意向量f用酉矩阵的变换和恢复称为酉变换。将aij写成a(k,n)，有：T*1AA10*101-N0,1,2n )(),()(1-N0,1,2k )(),()(NkTNnkgnkanfnfnkakggAfAfg正交函数数字化后完备性的体现形式任何一个矢量可以分解成正交投影的线性组合。二维变换 与一维的思想一样，设：二
7、维连续实值函数集合Au,v(x,y)=a0,0(x,y),a0,1(x,y),a0,2(x,y),a0,v(x,y),a1,0(x,y),a1,1(x,y),a1,2(x,y),a1,v(x,y)au,0(x,y),au,1(x,y),au,2(x,y),au,v(x,y)若此集合中的函数(UV个)满足其它0,),(),(0000ljkiifCdxdyyxayxaTtytTtxtklij时，称集合Au,v(x,y)为正交函数集合。当C=1时，称集合Au,v(x,y)为归一化正交函数集合。对正交函数集合的理解如果对正交函数集合auv(x,y)在某个给定区域内等间隔采样，则每个aij(x,y)就是
8、一个矩阵，其元素值既和x、y有关，又和i、j有关。则这uv个矩阵构成了uv维空间的uv维的正交基。),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(11,11,01,11,11,01,10,10,00,nmvumvumvunvuvuvunvuvuvuvuyxayxayxayxayxayxayxayxayxayxajijijijijijijijijiji124350n在对应点上定义了在对应点上定义了un(t)对每一个对每一个un(t)在在t方向上采样方向上采样v124350u1234在对应交叉点上在对应交叉点上定义了定义了au,v(x,y)对每一个对每一个au,v(x,y)在在x,y方
9、向上采样方向上采样u=0,1,m-1v=0,1,n-1结论:如果能够找到一组正交且完备的函数集合au,v(x,y)，则任何平方可积分段连续的二维函数f(x,y)图像，都可由这个函数集合的加权和表示。如果f(x,y)以离散形式(mn矩阵)表示数字图像，该数字图像f(x,y)可分解为在mn维正交空间内，在mn维正交基au,v(x,y)上的投影。同一维情况类似，有：正变换：将任意一个数字图像分解成为一个由该图像投影在给定正交基上的分量组成的图像。反变换：将任意一个由给定正交基上的分量组成的图像合成为空域图像。1、二维变换将上式写成),(,yxavu则：有下式(设f(x,y)为一NN维矩阵)1,0),
10、(),(),(1,0),(),(),(1010*,1010,NyxyxavuFyxfNvuyxayxfvuFNuNvvuNxNyvu正变换核(逆基图像)反变换核(基图像)空域图像点),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(11,11,01,11,11,01,10,10,00,nnvunvunvunvuvuvunvuvuvuvuyxayxayxayxayxayxayxayxayxayxajijijijijijijijijiji如果矩阵为正交复数矩阵且是对称的au,v(x,y)二维变换的理解F(u,v)中的任何一个像素为原图像所有像素的加权和。F(0,0)为f(x,y)在uv维正
11、交基a0,0(x,y)分量上的投影。1,0),(),(),(1,0),(),(),(1010*,1010,NyxyxavuFyxfNvuyxayxfvuFNuNvvuNxNyvuF(u,v)f(x,y)a0,0(x,y)F(0,0)对应点积之和F(u,v)f(x,y)a*u,v(x,y)基图像加权和2、变换核的可分离性 上述f(x,y)、F(u,v)的计算所需的乘法和加法的次数是与NM有关的数。如果uv维空间的正交基ai,j(x,y)可以写成：一个二维完备正交基两个一维完备正交基之积 其中au(x),u=0,1,N-1,bv(y),v=0,1,N-1为一维完备正交基向量的集合。用矩阵表示：A=
12、a(u,x)，B=b(v,y)通常选择A=B，如果A、B是复数矩阵则它们为酉阵：AA*T=ATA*=I BB*T=BTB*=I A-1=A*T B-1=B*T则称该正交基变换核是可分离的。),(),()()(),(,yvbxuaybxayxavuvu例如 设：二维连续实值函数集合，UVN Au,v(x,y)=a0,0(x,y),a0,1(x,y),a0,2(x,y),a0,v(x,y),a1,0(x,y),a1,1(x,y),a1,2(x,y),a1,v(x,y)au,0(x,y),au,1(x,y),au,2(x,y),au,v(x,y),.,.,.,.,),(210121110102010
13、00yvxuyvxuyvxuyvxuyvxuyvxuyvxuyvxuyvxuyvxuyvxuyvxuuvNNNNNNNeeeeeeeeeeeeyxA对集合内的每个函数沿对集合内的每个函数沿x，y方向进行等间隔采样，采方向进行等间隔采样，采样点数为样点数为NN，于是集合中的每一个函数都成为一个，于是集合中的每一个函数都成为一个NN的矩阵。的矩阵。可分离变换核举例(采样网格为行、列数相等)ljkijixvxulvkuyvxuvueeybxaeyxa)()(),(51321253,),(),(),(),(110NiiikixuaxuaxuaxuaiTA),(),(),(),(110Njjjljyvb
14、yvbyvbyvbjBTBAjivuyxaji),(,TAfBF 于是对于一个图像的变换可以写成),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(11,11,01,11,11,01,10,10,00,NNvuNvuNvuNvuvuvuNvuvuvuvuyxayxayxayxayxayxayxayxayxayxajijijijijijijijijiji矩阵中的任何一项都可写成可分离形式。例当A=B且为方阵为酉阵时，二维酉变换的正变换表示为用矩阵表示：FA f AT反变换表示为用矩阵表示：fA*TFA*类似的，对于MN的二维函数f(x,y)1010),(),(),(),(NxNyyvay
15、xfxuavuF*NNMNTMMTNNMNMMBFAfBfAF1100(,)*(,)(,)*(,)NNTuvf x yau x F u v av y对一幅图像的变换可以先对其列进行变换，然后在对行进行变换；反之亦然。行变换列变换问题Y=X/Z变换log(Y)=log(X)-log(Z)复杂的分析普通笔算除法简化的分析查表和相减问题的解逆变换查反对数表1、傅立叶变换分析的基本概念变换分析：变换分析的基本目的之一是使问题的分析求解得到简化。傅立叶变换分析的直观说明把一个信号的分解为许多不同频率的信号之和。自然光光谱三棱镜傅立叶变换uF(u)傅立叶变换分析的图形表示通常把分解后的各个频率的振幅和频率
16、用一张图表示出来(对周期信号而言)。傅立叶变换：把一个自变量定义于-到+的函数变换为频率定义于-到+的函数。频率频率幅值幅值1-ff2f-2f设f(x)为连续可积函数，其傅立叶变换定义为：dxexfuFuxj2)()(从F(u)恢复f(x)称为傅立叶反变换，定义为：dueuFxfuxj2)()(实函数的傅立叶变换，其结果多为复数，表示为：F(u)=R(u)+jI(u)=|F(u)|expj(u)幅度谱：相位谱：)(/)(arctan)()()()(2122uRuIuuIuRuF2、一维连续傅立叶变换傅立叶提供的正交函数族2、二维傅立叶变换二维傅立叶变换由一维傅立叶变换推广而来：yxvyuxjy
17、xfvuFdd)(2exp),(),(逆变换：vuvyuxjyxFyxfdd)(2exp),(),(幅度谱：相位谱：功率谱：F(u,v)=R(u,v)+jI(u,v)=|F(u,v)|expj(u,v),(),(),(),(),(/),(arctan),(),(),(),(2222122vuIvuRvuFvuPvuRvuIvuvuIvuRvuF3、二维离散傅立叶变换对于二维傅立叶变换，其离散形式为：1100(,)(,)e x p2MNxyu xv yFuvfxyjMN 逆变换为：11001(,)(,)e x p2MNuvu xv yfxyFuvjM NMN 幅谱(频谱)、相位谱、功率谱：),(
18、),(),(),(),(/),(arctan),(),(),(),(),(),(),(),(2222122),(vuIvuRvuFvuPvuRvuIvuvuIvuRvuFvujIvuRevuFvuFvuj谱图像二维傅立叶变换实例图 10102exp),(),(MuNvNvyMuxjvuFyxf由反变换公式可知基图像为NvyMuxj2exp若图像为44，则基图像为3,2,1,0,3,2,1,0,2expvuyxvyuxj0 1 2 3 WWWWWWWWWWWWWWWWB0WB0WB0WB0WBBBB0000WWWWBBBBWWWWBBBBWWWW0000BBBBWWWW00WBWB00BWBWB
19、WBWBWBWBWBWBWBWWBWWWBBWWBWW0WWW0W0WWW0WB0W0WBWB0B0WW0BW0BBW00BW0BW0BW0BW0BW00WBWB00BWBWWBWBBWBWWBWBBWBWWW0W0WW0W0WWW0W0WWW0W0WWWWWWB0WBWBW0BWWWWWB0WBWBW0BW v 0 1 2 3 y 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 30 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 0123二 维 傅 里 叶 基 图 像=-jW=1B=-10=ju x 3,2,1,0,3,2,1,0,2expvuyxvyuxj4、二维离散傅立叶变换的
20、性质(,)F f x y(,)f x y1)、线性性质：),(),(),(),(22112211vufFavufFayxfayxfaF2)、比例性质：1(,),uvFfax byFabab3)、可分离性：110 2exp),(2exp1),(110 2exp),(2exp1),(10101010.,N-,x,yNvyjvuFNuxjNyxf.,N-,u,vNvyjyxfNuxjNvuFNvNuNyNx 表示离散函数 的傅里叶变换，即(,)(,)Ff xyFuv卷积的定义o 对于两个函数 和 ，其卷积定义为o 式中*表示卷积运算，在matlab中为C=conv2(A,B)。)(xh)(xf )(
21、*)()(xhxfdxhfxgo 原函数o 折叠o 位移o 相乘得到被积函数 其它）其它）(0)10(21xh(0)10(1)(xxxf卷积过程图示（1）)(*)()(xhxfdxhfxg卷积过程图示（2）/2,01()*()1/2,120,xxf xg xxx其它o 展宽o 平滑化：被积函数经过卷积运算，其微细结构在一定程度上被消除，函数本身的起伏变得平缓圆滑。卷积过程的两个效应1、交换律2、分配律3、结合律 xfxhxhxf*)(*xhxwxhxvxhxwxv*)(*xhxwxvxhxwxv*)(*卷积运算定理互相关在两函数有相似性时出现峰值，自相关则会在位移到重叠时出现极大值互相关与自相
22、关比较()()()()f xg xfg xd冲击函数（狄拉克函数）o 在二维情况下可写成o 函数在 为无限大，其它各位置上值为0，包含的体积是10000000000(,)1(,)|0(,)|x xyyx xy yxxyy dxdyxxyyxxyy 00 x xy y函数的数学表示o 在方块内的方柱体冲激为o 当底边长减小时，方柱体冲激面积 变小，必趋于无限大，但是方柱体冲击所包含的体积仍然为1.xy2100(,)xy00(,)xxyy002001/2/2(,)0,xxyyxxyy，和其它221函数的性质o 筛选性质o 积分 可写成00(,)(,)xyf x yxxyy d d 000(,)(,
23、)limf x yxxyy dxdy 000022202200(1/)(,)(,)limxyxyf x y dxdyf xy函数的性质o 函数是偶函数o 卷积性质o 说明函数 与 的卷积，再次产生原函数0000(,)(,)(,)f x yxx yy dxdyf xy(,)(,)(,)fxyd df x y (,)*(,)(,)f x yx yf x y(,)f x y(,)x y(,)f x y函数的性质o 将卷积性质推广，有o 可分离性质11221212(,)*(,)(,)(,)*(,)(),()f x yxyf xyf xx yyxxyyf xxxyyy11221212(,)*(,)(),()xx yyxxyyxxxyyy0000(,)()()xxyyxxyySinc 函数xSinc(x/a)0-aa2a-2a3a-3asinc函数，用sinc(x)表示，有两个定义，有时区分为归一化sinc函数和非归一化的sinc函数。它们都是正弦函数和单调递减函数1/x的乘积。归一化sinc函数通常定义为：主瓣宽度:2asin()sin()xc xx
