1、3.1 从算式到方程第三章 一元一次方程3.1.1 一元一次方程学习目标1.通过算术与方程方法的使用与比较，体验用方程解 决某些问题的优越性，提高解决实际问题的能力.2.掌握方程、一元一次方程的定义以及解的概念，学 会判断某个数值是不是一元一次方程的解.（重点）3.初步学会如何寻找问题中的等量关系，并列出方程.（难点）导入新课导入新课情境引入数学无处不在，即便是一些综艺节目中，也时常会用到一些数学知识.其中在“奔跑吧，兄弟”中，有一期节目就涉及中国古代著名典型趣题之一 鸡兔同笼问题.观看视频，你能帮陈赫解决问题吗？今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？你有哪些方法解决这道经典
2、有趣的数学题？温故知新 小学我们已经学过简易方程，你能判断出下列各式哪些是方程吗？(1)()(2)()(3)()(4)()(5)()(6)()713xba23x8 yx01522 xx352含有未知数的等式叫做方程.一辆快车和一辆慢车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶，快车的行驶速度是70 km/h，慢车的行驶速度是60 km/h，快车比慢车早1 h经过B地，A，B两地间的路程是多少？讲授新课讲授新课方程及一元一次方程的概念一合作探究1h60 km/h70 km/h (1)上述问题中涉及到了哪些量？快车70 km/h，慢车60 km/h快车比慢车早1h经过B地AB之间的路程速度：时间：路程：A
3、B快车慢车1h快车每小时比慢车多走10km60km相同的时间，快车比慢车多走60km快车走了6h算式：60(70-60)70=420(km)（2）如果将AB之间的路程用x表示，用含x的式子表示 下列时间关系：快车行完AB全程所用时间：慢车行完AB全程所用时间：h70 xh60 x两车所用的时间关系为：快车比慢车早到1h即：（）-（）=116070 xx 慢车用时 快车用时方程AB快车慢车1h（3）如果用y表示快车行完AB的总时间，你能从 快车与慢车的路程关系中找到等量关系，从 而列出方程吗？方 程：70 y=60（y+1）等量关系:快车y小时路程=慢车（y+1）小时路程AB快车慢车1h（4）如
4、果用z表示慢车行完AB的总时间，你能 找到等量关系列出方程吗?方 程：70（z-1）=60z等量关系：慢车z小时路程=快车提前1小时走的路程AB快车慢车1h比较：列算式和列方程从算式到方程是数学的进步！列算式:列出的算式表示解题的计算过程,只能用已知数.对于较复杂的问题,列算式比较困难.列方程:方程是根据题中的等量关系列出的等式.既可用已知数,又可用未知数,解决问题比较方便.16070 xx 观察下列方程，它们有什么共同点？70 y=60（y+1）70（z-1）=60z观察与思考问题1 每个方程中，各含有几个未知数？问题2 说一说每个方程中未知数的次数.问题3 等号两边的式子有什么共同点？1个
5、1次都是整式知识要点这样的方程叫做一元一次方程.等号两边都是整式，（一次）只含有一个未知数,（一元）未知数的次数都是1,一元一次方程下列哪些是一元一次方程？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）.116x练一练12 x3152m4553xx0622 xxyx38.131593a例1 若关于x的方程 是一元一次方程，则 n 的值为 .0921nx【变式题】加了限制条件，需进行取舍 方程 是关于x的一元一次方程，则 m=.01)1(mxm2或21典例精析注：注：一元一次方程中求字母的值，需谨记两个条件：未知数的次数为1；未知数的系数不为0.例2 根据下列问题，设未知数并列出方程：(
6、1)用一根长24 cm的铁丝围成一个正方形，正方形 的边长是多少？424x 解：设正方形的边长为x cm.等量关系：正方形边长4=周长，列方程：.x 列方程二典例精析(2)一台计算机已使用1700 h，预计每月再使用 150 h，经过多少月这台计算机的使用时间 达到规定的检修时间2450 h？解：设x月后这台计算机的使用时间达到2450 h.等量关系：已用时间+再用时间=检修时间，列方程：.17001502450 x (3)某校女生占全体学生数的52%，比男生多80人，这个学校有多少学生？解：设这个学校的学生人数为x，那么女生人数为 0.52x，男生人数为(10.52)x.等量关系：女生人数男
7、生人数=80，列方程：0.52x(10.52)x=80.例3 某文具店一支铅笔的售价为1.2元，一支圆珠笔的售价为2元该店在“61”儿童节举行文具优惠售卖活动，铅笔按原价打8折出售，圆珠笔按原价打9折出售，结果两种笔共卖出60支，卖得金额87元.求卖出铅笔的支数.解：设卖出铅笔x支，则卖出圆珠笔（60 x）支.等量关系：x支铅笔的售价+（60 x）支圆珠 笔的售价=87，列方程：.1.2 0.82 0.9 6087xx 分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法.请同学们思考：1.怎样将一个实际问题转化为方程问题？2.列方程的依据是什么？设未知数列方程
8、一元一次方程抓关键句子找等量关系实际问题方程的解三 对于方程4x=24，容易知道 x=6可以使等式成立，对于方程 170+15x=245，你知道 x 等于什么时，等式成立吗？我们来试一试.x3 我们知道当x=5时，170+15x的值是245，所以方程 170+15x=245中的未知数的值应是5185200215230245260170+15x思考 使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解.求方程解的过程叫做解方程.x=420是 方程的解吗?16070 xx 知识要点方程的解例4 x=1000和x=2000中哪一个是方程 0.52x-(1-0.52)x =80的解？解：当x=1000时，方程左边
9、=0.521000-(1-0.52)1000=520-480=40，右边=80，左边右边，所以x=1000不是此方程的解.当x=2000时，方程左边=0.522000-(1-0.52)2000=1040-960=80，右边=80，左边=右边，所以x=2000是此方程的解.1.将数值代入方程左边进行计算，2.将数值代入方程右边进行计算，3.若左边右边，则是方程的解，反之，则不是 判断一个数值是不是方程的解的步骤：方法归纳练一练检验 x=3是不是方程 2x3=5x15的解.解：把 x=3分别代入方程的左边和右边，得当x=4，5，6时呢?左边233=3，右边5315=0.左边右边，x=3不是方程的解
10、.当堂练习当堂练习2.若 x=1是方程x2 2mx+1=0的一个解，则m的值为 （）A.0 B.2 C.1 D.-11.x=1是下列哪个方程的解 （）A.B.C.D.21 xxx3412221xx254xxBC3.下列方程：；.其中是方程的是 ，是一元一次方程的 是 (填序号)xx12 113 x152 xx342yy12yx4.根据下列问题，找出等量关系，设未知数列出方程，并指出其是不是一元一次方程.（1）环形跑道一周长400m，沿跑道跑多少周，可 以跑3000 m？总路程周数一周长解：设沿跑道跑x周.400 x=3000，是一元一次方程.（2）甲种铅笔每支0.3 元，乙种铅笔每支0.6 元
11、，用 9 元钱买了两种铅笔共20 支，两种铅笔各买 了多少支？元买乙种共用的钱买甲种共用的钱9支乙种支数甲种支数20解：设甲种铅笔买了x支，乙种铅笔买了(20-x)支.0.3x+0.6(20 x)=9，是一元一次方程.（3）一个梯形的下底比上底多2 cm，高是5 cm，面 积是40 cm2，求上底解：设上底为x cm，则下底为(x+2)cm.，是一元一次方程.1(2)5402xx 12(上底+下底）高=梯形面积5.已知方程 是关于x的一元一 次方程，求m的值，并写出其方程53)2()1(mxmm解：因为方程 是关于x的一元 一次方程，所以|m|1=1，且m20，得m=2.所以原方程为4x+3=
12、7.(1)(2)35mmxm课堂小结课堂小结1.一元一次方程的概念：只含有一个未知数，未知数的次数是1，等号两 边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程.2.方程的解：解方程就是求出使方程中等号两边相等的未知 数的值，这个值就是方程的解.第三章 一元一次方程3.1 从算式到方程3.1.2 等式的性质学习目标1.理解、掌握等式的性质.(重点)2.能正确应用等式的性质解简单的一元一次方程.(难点)对比天平与等式，你有什么发现？把一个等式看作一个天平，把等号两边的式子看作天平两边的砝码，则等号成立就可看作是天平保持两边平衡.等号等号等式的左边等式的右边导入新课导入新课情境引入 下列各式中哪些是等式？；
13、3；2+3=5；34=12；9x+10=19；.abc21ba23 5312 yxyaabba2rS用等号表示相等关系的式子叫做等式.我们可以用a=b表示一般的等式.讲授新课讲授新课等式的性质一观察与思考观察天平有什么特性？天平两边同时加入相同质量的砝码天平仍然平衡天平两边同时拿去相同质量的砝码天平仍然平衡天平两边同时天平仍然平衡加入拿去相同质量的砝码相同的数(或式子)等式两边同时加上减去等式仍然成立换言之，等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等.如果a=b，那么ac=bc.合作探究等式的性质等式的性质1由天平看等式的性质2你能发现什么规律？c等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的
14、数，结果仍相等.等式的性质等式的性质2如果a=b，那么ac=bc；如果a=b（c0），那么 .cbca(2)怎样从等式 3+x=1 得到等式 x=2?(3)怎样从等式 4x=12 得到等式 x=3?依据等式的性质1两边同时减3.依据等式的性质2两边同时除以4或同乘 .14依据等式的性质2两边同时除以 或同乘100.1100例1(1)怎样从等式 x5=y5 得到等式 x=y?依据等式的性质1两边同时加5.典例精析(4)怎样从等式 得到等式 a=b?100100ba例2 已知mx=my，下列结论错误的是 （）A.x=y B.a+mx=a+my C.mxy=myy D.amx=amy解析：根据等式的
15、性质1，可知B、C正确；根据等式的性质2，可知D正确；根据等式的性质2，A选项只有m0时才成立，故A错误，故选AA易错提醒：此类判断等式变形是否正确的题型中，尤其注意利用等式的性质2等式两边同除某个字母参数，只有这个字母参数确定不为0时，等式才成立.(2)从 a+2=b+2 能不能得到 a=b，为什么?(3)从3a=3b 能不能得到 a=b，为什么?(4)从 3ac=4a 能不能得到 3c=4，为什么?说一说(1)从 x=y 能不能得到 ，为什么?99yx能，根据等式的性质2，两边同时除以9能，根据等式的性质1，两边同时加上2能，根据等式的性质2，两边同时除以-3不能，a可能为0利用等式的性质
16、解方程二例3 利用等式的性质解下列方程：x+7=26 解:得 方程两边同时减去7，x+7 =26 77 于是 =x19小结：解一元一次方程要“化归”为“x=a”的形式.两边同时除以5，得解:方程 (2)5x=20 思考：为使(2)中未知项的系数化为1，将要用到等式的什么性质？化简，得 x=4-5x(5)=20(5)1543x解：方程两边同时加上5，得 化简，得 155453x 193x方程两边同时 乘 3，得 x=27x=27是原方程的解吗?思考：对比(1)，(3)有什么新特点？(3)一般地，从方程解出未知数的值以后，可以代入原方程检验，看这个值能否使方程的两边相等.例如，将 x=27 代入方
17、程 的左边，4531x1(27)5=95=4.3 方程的左右两边相等，所以 x=27 是原方程的解.针对训练：(1)x+6=17;(2)-3x=15;1123x (4)(3)2x-1=-3;解：(1)两边同时减去6，得x=11.(2)两边同时除以-3，得x=-5.(3)两边同时加上1，得2x=-2.两边同时除以2，得x=-1.(4)两边同时加上-1，得13,3x 两边同时乘以-3，得x=9.当堂练习当堂练习A2.下列各式变形正确的是 （）A.由3x1=2x+1得3x2x=1+1B.由5+1=6得5=6+1C.由2(x+1)=2y+1得x+1=y+1D.由2a+3b=c6 得2a=c18bB3.
18、下列变形，正确的是 （）A.若ac=bc，则a=b B.若 ，则a=b C.若a2=b2，则a=b D.若 ，则x=2cbca631xB4.填空 (1)将等式x3=5 的两边都_得到x=8，这是 根据等式的性质_；(2)将等式 的两边都乘以_或除以 _得 到 x=2，这是根据等式性质 _；121x加312212减y1除以x2(3)将等式x+y=0的两边都_得到x=y，这是 根据等式的性质_；(4)将等式 xy=1的两边都_得到 ，这是根据等 式的性质_1yx 5.应用等式的性质解下列方程并检验:(1)x+3=6；(2)0.2x=4；(3)-2x+4=0；(4)113.2x解：(1)x=3；(2
19、)x=20；(3)2x ；(4)x=4.6.已知关于x的方程 和方程3x 10=5 的解相同，求m的值.62741mx解：方程3x10=5的解为x=5，将其代入方程 ，得到 ，解得m=2.17642mx57642m课堂小结课堂小结等式的基本性质基本性质1基本性质2应用如果a=b，那么ac=bc.如果a=b，那么ac=bc；如果a=b（c0），那么 .cbca运用等式的性质把方程“化归”为最简的形式 x=a 1.上课认真听讲，理解透彻这都是老师家长说烂了的东西，确实重要。与其他科目不同的是，数学强调知识与逻辑的迁移与转化。所以，对于数学知识根本不需要去死记硬背，能理解，会推导即可。如何学好初中数
20、学？2.积极解决难题与错题在数学学习中，肯定会遇到我们毫无头绪或一知半解的题目。千万不要嫌麻烦，多向老师、同学请教，向老师请教也能给老师留下好印象。不要放过每道不会的题，要学会在问题中寻找知识。3.认真反思错题并不是简单的想想自己为什么错，留下没有思路、计算错误、逻辑不清的字眼，应该仔细分析思路结果与已知条件的关系（敲重点！）对于几何辅助线（一个大难点吧），要建立起常规思路。比如说，已知中点有哪些可能性来应用，是用三线合一连接，是用斜中半连接，还是倍长中线延长，亦或是建立平行得中位线等等。从多条件的共同指向和所求问题联合思考。下一次怎么做？能得到什么启示？这是更重要的。4.坚持练习题目“练习”并不一定是“刷题”。有针对性、有效率地练习，才是最有效的。题最好坚持每天，或者两天一次做，抽一点点时间，坚持按一定频率做少量题，也是对你很有帮助的。做题并不是刻意地要去押到题或者短时间内突击提高，更多的是学习思路，打开思维。5.善于总结巧记跟3比较类似，总结其实就是从问题中找规律。此外，一些方法、技巧，在总结的基础上，可以通过编口诀（自己懂的语言就好）、调动想象与情感等方式来记忆。个人认为数学在理解的基础上记方法和技巧还是很重要的（方法其实与1类似）。同时技巧也是在不断尝试中习得的。
