1、北京师范大学数学学院北京师范大学数学学院授课教师：刘永平授课教师：刘永平第四章第四章 一元函数的变化性态（一元函数的变化性态（III）今天主要内容今天主要内容:绝对连续函数和康托函数绝对连续函数和康托函数(1)绝对连续函数的性质；绝对连续函数的性质；(2)微积分基本定理微积分基本定理(牛顿牛顿-莱布尼兹莱布尼兹公式）；公式）；(3)康托集与康托函数康托集与康托函数；(4)一些例子一些例子.(5)小结小结.1.绝对连续函数的基本性质1 ,;AC a b线（是一个性空间）(2),.AC a bBV a bC a b例3.11 Lip1,.ffA C a b（）若在 a,b是的1(2)(0,1()s
2、in,(0)0.cxf xxxffAC当时,那么 0,1.其中c0.定理3.1 ,()0,.,.fAC a bfxae xa bf若且 则 为常值函数定理3.2,()(),()().,.a xfL a bF xf y dyFAC a bF xf xae xa b若且=则且定理3.3.微积分基本定理（Newton-Leibniz公式）,()()().a bfAC a bf bf afy dy若则=例3.1 ,(),.xafAC a bVfAC a b若 康托集与康托函数康托集：将0，1三等分，去掉开区间 然后将剩下的两个闭区间分别三等分并去掉中间的开区间 仿此继续,当进行到第n步时,去掉 个开区
3、间(依其元素小大1,1:(1/3,2/3).I2,12,2(1/9,2/9),(7/9,8/9).II12n区间长为 .那么进行第n+1步，在 的 个闭区间中，分别三等分并去掉他们的中间的开区间:(1/3)n1211,0,1()knkjk jI2n1,1,2,2,.,nnnnIII为序):1211,jG=,kkjIk令且P 0,1 G.P称 为康托集.1,=1,2,.,2,1,2,.nn kIkn归纳地，可从0,1中去掉开区间族：1,11,21,2,.,.nnnnIII康托集的性质(1)P为,(2)P为,(不可数3)P是的,(4)P零测集完全集是稀疏的.康托函数,1,21(),2=1,2,.,
4、2.n knnnkxxIk对于每个定义(0)=0;,0,()=sup():tx.xP xxt令对于定义.康托(Cantor)函数称 为康托函数的性质0,1()0,a.e.0,1;(3)()1(1)(0).xxx (1)是单调且连续的；(2)例子4.1 推广的康托集1,11,11=(-,),2626,j=1,2,.,2,=2,3.nn jaan对于00,()0,x 0.x()1().1xx 跳跃函数 设 f是a,b上的单调增加函数，是其全体不连续点.定义：xn(,)(0)()()()(0)().1f xf xf xxxnnnnf xf xxxnnnn定理3.4.单调函数的勒贝格分解 设 f 是a,b上的单增函数，则()(,)()()csf xf xf xf x(,)()()csf xfxfx绝零函数其中 是，或跳是的,是零函数或对连续跃函数是奇异的.小结(1)绝对连续函数使得微积分基本公式成立；(2)康托三分集是测度为零、不可数、稀疏的完全集；(3)康托函数是导数几乎处处为零、函数值充满0,1的连续单调增函数,故它是奇异的；(4)单增函数的勒贝格分解：跳跃（或0）+绝对连续+奇异（或0）.习题4.3 4、5、6、7、8、9.
