1、经济应用数学经济应用数学第五章第五章 经济总量问题分析经济总量问题分析1234案例分析案例分析知识讲解知识讲解例题分析例题分析课堂练习课堂练习第二节第二节 基本积分法基本积分法5应用模型应用模型 222,()15(:/),(0),.(),(),()15.,15,tttHtf teHH tH tf tee dt 某某储储蓄蓄所所根根据据前前几几年年存存款款情情况况 知知该该现现金金净净存存量量的的变变化化率率是是时时间间 的的函函数数单单位位 万万元元 年年目目前前的的现现金金净净存存量量为为求求现现金金净净存存量量函函数数分分析析 设设现现金金净净存存量量函函数数为为则则现现金金净净存存量量的
2、的变变化化率率函函数数就就是是因因此此求求现现金金净净存存量量函函数数就就是是求求的的原原函函数数那那么么 如如何何计计算算呢呢？被被积积函函数数为为复复合合函函数数 此此时时不不能能直直接接用用公公式式法法则则求求出出 为为此此我我们们学学习习换换元元积积分分法法和和分分部部积积分分.法法案例分析：现金存量问题案例分析：现金存量问题 =+3=101031011311(3)(3)1111311xuu xxdxxd xu duuCxC 令令回回代代解解一、凑微分法一、凑微分法5.2 基本积分法基本积分法110(3).xdx 【引引例例】计计算算不不定定积积分分2=2=2222221(2)2112
3、21211(2)22xxx uuuuxxxxxe dxe dxe dueCeCe dxe dxeC 令令回回代代解解：22.xe dx【引引例例】计计算算不不定定积积分分()g x dx()()fx dx()f u du()F uC()FxC凑微分代换求积分还原()xu()ux第一类换元积分法第一类换元积分法()g x dx()()fxx dx()()fx dx()FxC常用的凑微分关系式常用的凑微分关系式22211(1)()(2)()21113()(4)(ln)(0)1(5)(arctan)(6)()1(7)cos(sin)(8)sin(cos)xxdxd axbxdxd xadxddxdx
4、xxxxdxdxe dxd exxdxdxxdxdx （）换元积分法具有一定的技巧，表现在如何凑微分上。换元积分法具有一定的技巧，表现在如何凑微分上。上面这些凑微分式子可以灵活运用。上面这些凑微分式子可以灵活运用。二、二、分部积分法分部积分法问题问题?dxxex解决思路解决思路利用两个函数乘积的求导法则利用两个函数乘积的求导法则.设函数设函数)(xuu 和和)(xvv 具有连续导数具有连续导数,vuvuuv ,vuuvvu ,dxvuuvdxvu .duvuvudv 分部积分公式分部积分公式 由此可见，下述几种类型的积分，均可用分部积分公式求由此可见，下述几种类型的积分，均可用分部积分公式求解
5、，且解，且u,dv u,dv 的选择有规律可循的选择有规律可循 .(1)(1)对于对于 ,sin,cos,naxnnx e dxxaxdxxaxdx (nuxn 可可选选为为自自然然数数）ln,arcsin,arctannnnxxdxxxdxxxdx(2)(2)对于对于可选可选u=lnx,arcsinx,arctanx,nu=lnx,arcsinx,arctanx,n为非负整数为非负整数 sin,cosaxaxebxdxebxdx (3)(3)对于对于可选可选u=sinbx,cosbx,u=sinbx,cosbx,也可选也可选 axue 例例1 1：求下列不定积分：求下列不定积分10(1)(3
6、4)xdx 1(2)61dxx 101(34)(34)3xdx 1013u du 11133uC 34ux34xu111(34)33xC11(61)661dxx 116duu 1ln6uC 1ln 61.6xC61xu 61ux例例2 2、求下列不定积分、求下列不定积分212xdxdx 注注意意到到：12(12ln)dxxx ()()1(ln)(12ln)dxx 21xxe dx（）221()2xe d x 21.2xeC 11(2ln1)2(12ln)dxx 1lndxdxx 注注意意到到：1ln 12ln.2xC例例3 3、求不定积分、求不定积分ln cos.xC sincosxdxx 1
7、(cos)cosdxx tan xdx sincosxxedx sin(sin)xedx sin.xeC *例例4 4、求不定积分、求不定积分214dxx214dxx111422dxdxxx12ln.42xCx111422dxxx1ln 2ln 24xxC21141()2dxx1arctan.22xC2112()421()2xdx =ln 1 =222222222231323232321(2)2514121arctan2xdxd xxxxxxxxCd xdxdxxxxxxC 解解：(1 1)5 (2)22233225xdxdxxxxx 例例求求下下列列不不定定积积分分(1)(1)例例6 6 求
8、积分求积分.cos xdxx解（一）解（一）212xdxdxdv xdxxcos xdxxxxsin2cos222显然，显然，选择不当，积分更难进行选择不当，积分更难进行.v,u解（二）解（二）令令,xu dvxdxdx sincos xdxxcos xxdsin xdxxxsinsin.cossinCxxx 令令u=cosx应用公式的关键是选择应用公式的关键是选择 u,v，选择，选择u的的次序是：反、对、幂、三、指次序是：反、对、幂、三、指例例7 7 求积分求积分.2 dxexx解：解：,2xu ,dvdedxexx dxexx2 dxxeexxx22.)(22Cexeexxxx （再次使用
9、分部积分法）（再次使用分部积分法）,xu dvdxex 若被积函数是幂函数和正若被积函数是幂函数和正(余余)弦函数或幂函数弦函数或幂函数和指数函数的乘积和指数函数的乘积,就考虑设幂函数为就考虑设幂函数为 ,使其降使其降幂一次幂一次(假定幂指数是正整数假定幂指数是正整数)u例例8 8 求积分求积分.ln3 xdxx解：解：,ln xu ,443dvxddxx xdxx ln3 dxxxx3441ln41.161ln4144Cxxx 若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函
10、数为为 .u课堂练习课堂练习21sin(2).xdxx(1)axbdx 一、计算下列不定积分一、计算下列不定积分2(ln)(3)xdxx sin(4)cosxexdx 二、计算下列不定积分二、计算下列不定积分(1)xxedx (2)ln(1)xdx (),(),(),(0),()()(0)SS ttI tSS tI t dtS 资资本本存存量量是是时时间间 的的函函数数 它它的的导导数数等等于于净净投投资资即即边边际际资资本本存存量量 如如果果已已知知净净投投资资为为给给定定资资本本存存量量为为则则有有：资本存量模型1000610002221550030500305001000,5.6,.tttHe dteet 解解 设设现现在在开开始始t t年年后后可可积积存存现现金金万万元元,现现金金净净存存量量函函数数为为（t t）=令令可可解解得得因因此此 经经过过大大约约 年年后后可可积积存存现现金金万万元元50010002()15(:/),tf te【现现金金存存量量问问题题】某某储储蓄蓄所所根根据据前前几几年年存存款款情情况况，知知该该现现金金净净存存量量HH的的变变化化率率为为单单位位万万元元 年年 目目前前的的现现金金净净存存量量为为万万元元 求求现现金金净净存存量量函函数数,并并计计算算大大约约多多少少年年后后可可积积存存现现金金万万元元.
