1、经济应用数学经济应用数学第二章第二章 极限与变化趋势分析极限与变化趋势分析1234案例分析案例分析知识讲解知识讲解例题分析例题分析课堂练习课堂练习第一节第一节 变化趋势问题变化趋势问题5应用模型应用模型 一尺之锤，日取其半，万世不竭.一根1米长的棒，每次截去一半，观察剩余量.1212n01411618n1234 102n()n 1lim02nn 案例分析一案例分析一 【连续开方问题连续开方问题】用计算器对数字2连续开平方，观察结果，分析为什么？1.41422n11411618n1234 102n()n 12lim21nn 案例分析二案例分析二一、数列的极限一、数列的极限 ,(),.lim().
2、nnnnnnxnnxAAxnxAxA nn 设设数数列列如如果果当当 无无限限增增大大时时，无无限限接接近近于于一一个个确确定定的的常常数数则则称称常常数数 为为数数列列当当时时的的极极限限，或或称称数数列列收收敛敛于于A A 记记作作或或否否则则，称称时时数数列列没没有有极极限限或或数数列列发发散散.1 1、极限的描述、极限的描述2.1 2.1 变化趋势与极限变化趋势与极限(1)lim1(2)lim0(0)(3)lim0(1)(4)lim1(0)nnnnnnCCnqqaa 2 2、常见数、常见数列的极限列的极限、时，函数的极限1x 二、函数的极限二、函数的极限 设函数如果当无限增大时，函数无
3、限接近于一个确定的常数，则称 为函数当时的极限，记作：或否则称函数当时没有极限(),()()lim()()().xf xxxf xAAxf xAf xA xx 0一般地，当且 无限增大时，函数的极限为，记为 ,()lim()xxxf xAf xAlim()lim()lim()xxxf xAf xf xA0当且无限增大时，函数的极限为记为 ,(),lim()xxxf xAf xA【注注】关于无穷大量和无穷小量关于无穷大量和无穷小量（1）若函数在变化过程中的极限为0，则称函数在该变化过程中为无穷小量，简称无穷小；（2）若函数在变化过程中，其函数值无限增大，则称函数在变化过程中为无穷大量，简称无穷大
4、；（）在函数的变化过程中，如果为无穷大，则为无穷小，若为非零无穷小，则为无穷大 3()1()()1.()f xf xf xf x、时，函数的极限02xx 设函数在 附近有定义 如果当 无限接近时，函数无限接近于一个确定的常数，则称 为函数当时的极限，记作：或否则称函数当时没有极限，记作不存在00000000(),()()lim()()()lim().xxxxf xxxx xxf xAAxxf xAf xA xxxxf x 极限基本公式极限基本公式为任意常数000limlim()xxxxxxCC C (2)2nx (4)nxn=lim2 2nlimnnx 例1、观察数列的变化趋势，确定数列的极限
5、1(1)1nxn1lim(1)1nn，(3)(1):1 11 1,nnx limnnx不存在无穷大 3 1 5(2):1,;2 3 4nx(1)lim0,nnx 数列收敛；例2、用观察的方法判断下列数列是否收敛，若收敛，写出它们的极限 11 1(1):1,;23 4nx (3):0.1 0.11 0.111,0.11,nnx个，解：解：+221(2)lim1,lim0nnnnxx ，数列发散；1(3)lim,9nnx 数列收敛.(2)sin()yx x (1)(1)(1)limlim0,nnnnnnxxnnn 观察可得，所以当时为无穷小；例3、判断下列函数在给定的变化过程中，哪些为无穷小？哪些
6、是无穷大？哪些既不是无穷小也不是无穷大?(1)(1)()nnxnn +(3)ln()yx x 解：解：(2)sinsinxyxyxx 时，的值上下波动没有极限，所以当时，既不是无穷大也不是无穷小；(3)lnlnxyxyxx 当时，的值无限增大，所以当时为无穷大.22(1)1(),1（）xf xx ()1,(2)f xx1(3)(),1f xx 2112(1)lim()lim4.1xxxf xx 11lim()lim 12.xxf xx1lim().xf x 1x 例4、观察函数当时的变化趋势，确定极限yx42o11(1)1(1)(2)(1)(3)2(4)2(1)nnnnnnnxxnxxnn 一
7、、观察下列数列的变化趋势，判断其是否收敛，若是写出极限一、观察下列数列的变化趋势，判断其是否收敛，若是写出极限课堂练习课堂练习 11(1)2()(2)2(0)(3)()(4)cos()xxyxyxxyexyx x 二、分析下列函数的变化趋势，确定其极限二、分析下列函数的变化趋势，确定其极限变量在变化过程中的变化趋势模型变量在变化过程中的变化趋势模型 变量在变化过程中无限接近于一个确定的常数A，称变量在此变化过程中以A为极限。lim ylimnnxlim()f x0(im)lxxf x(lim)xf x0nxxx 0lim()xxf x变量：变量：数列或函数数列或函数极限符号极限符号极限过程极限
8、过程n x 0 xx要求：完整规范！某实验室用100只老鼠做某种病毒的传播实验，以检验它的传播理论。由实验分析得到 t天后，感染病毒的老鼠数目N的数学模型如下：0.5100199tNe （1）实验开始时，有多少只老鼠感染此疾病？（2）什么时候有一半的老鼠感染此疾病？（3）预测很多天后，传染病的传播数量。病毒传播模型解：(1)(0)1N(2)2ln99t 0.5100(3)lim199ttNe 100?运动是不存在的.假设物体从A点运动到B点，显然必须经过中点C，之前必须经过D点，以此类推.因为中点有无数多个，所以永远找不到离A最近的中点，因此也无法运动到B点.ABCDE二分法悖论解释：设解释：设AB=1，那么第，那么第n个中点到个中点到A的距离为：的距离为：12n1lim02nn 因因为为所以离所以离A最近的中点就是自己最近的中点就是自己.
