1、材料力学第4章 弯曲应力本章目录本章目录n1 1 对称弯曲的概念及梁的计算简图对称弯曲的概念及梁的计算简图n2 2 梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图n3 3 平面刚架和曲杆的内力图平面刚架和曲杆的内力图n4 4 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件n5 5 梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力梁的切应力强度条件梁的切应力强度条件n6 6 梁的合理设计梁的合理设计杆件变形的基本形式杆件变形的基本形式n轴向拉伸或压缩：轴向拉伸或压缩：在一对作用线和直杆轴线重在一对作用线和直杆轴线重合的外力作用下，直杆的主要变形为长度改变。合的外力作用下，
2、直杆的主要变形为长度改变。n扭转：扭转：在一对转向相反、作用面垂直于杆轴线的在一对转向相反、作用面垂直于杆轴线的外力偶作用下，直杆的相邻横截面将绕轴线发生外力偶作用下，直杆的相邻横截面将绕轴线发生相对转动。相对转动。n弯曲：弯曲：在一对转向相反、作用面在包含杆轴线在在一对转向相反、作用面在包含杆轴线在内的纵向平面内的外力偶作用下，直杆的相邻横内的纵向平面内的外力偶作用下，直杆的相邻横截面将绕垂直于纵向平面的某一横向轴发生相对截面将绕垂直于纵向平面的某一横向轴发生相对转动，其轴线将弯成曲线。转动，其轴线将弯成曲线。n剪切：剪切：在一对相距很近的大小相等、指向相反的在一对相距很近的大小相等、指向相
3、反的横向外力作用下，直杆的主要变形为横截面沿外横向外力作用下，直杆的主要变形为横截面沿外力作用方向发生相对错动。力作用方向发生相对错动。1 1 对称弯曲的概念及梁的计算简图对称弯曲的概念及梁的计算简图n弯曲的概念：弯曲的概念：杆件承受垂直于其轴线方向的外力杆件承受垂直于其轴线方向的外力,或在其轴或在其轴线平面内作用有外力偶时线平面内作用有外力偶时,杆的轴线变为曲线杆的轴线变为曲线.凡是以弯曲为主要变形的杆件，通称为凡是以弯曲为主要变形的杆件，通称为梁梁。1 1 对称弯曲的概念及梁的计算简图对称弯曲的概念及梁的计算简图n力学模型：力学模型：n构件几何特征：构件几何特征：具有纵对称面的等截面直杆具
4、有纵对称面的等截面直杆n受力特征：受力特征：横向外力（或外力合力）或外力偶均横向外力（或外力合力）或外力偶均作用在杆的纵向对称面内作用在杆的纵向对称面内n变形特征：变形特征：杆件轴线变形后为外力作用面内的平杆件轴线变形后为外力作用面内的平面曲线，或任意两横截面间绕垂直于外力作用面的面曲线，或任意两横截面间绕垂直于外力作用面的某一横向轴作相对转动某一横向轴作相对转动杆轴杆轴XF1FAF2FByz形心纵对称面对称轴MeX杆轴纵向对称面F1F2FAFB1 1 对称弯曲的概念及梁的计算简图对称弯曲的概念及梁的计算简图n对称弯曲：对称弯曲：构件的构件的 几何形状、材料性能几何形状、材料性能 和外力作用均
5、对称于和外力作用均对称于 杆件的纵对称面，故杆件的纵对称面，故 变形后的轴线必定是变形后的轴线必定是 一条在该纵对称面内一条在该纵对称面内 的平面曲线。的平面曲线。n对称弯曲时，梁变形后的轴线所在平面与外力对称弯曲时，梁变形后的轴线所在平面与外力所在平面相重合所在平面相重合,也称为也称为平面弯曲平面弯曲。注意：对称弯曲必定是平面弯曲，而平面弯曲注意：对称弯曲必定是平面弯曲，而平面弯曲不一定是对称弯曲。不一定是对称弯曲。qFeMAyFByFxBAy对称面向纵1 1 对称弯曲的概念及梁的计算简图对称弯曲的概念及梁的计算简图n非对称弯曲：非对称弯曲：若构件不具有纵对称面，或虽若构件不具有纵对称面，或
6、虽有纵对称面但外力不作用在纵对称面时的弯曲有纵对称面但外力不作用在纵对称面时的弯曲变形变形墙梁楼板1 1 对称弯曲的概念及梁的计算简图对称弯曲的概念及梁的计算简图n梁的计算简图：梁的计算简图：由于研究对象是等截面的直梁，由于研究对象是等截面的直梁，且外力为作用在梁纵对称面内的平面力系，因此且外力为作用在梁纵对称面内的平面力系，因此梁的计算简图中就用梁的轴线代表梁。梁的计算简图中就用梁的轴线代表梁。n固定端固定端n固定铰支座固定铰支座n可动铰支座可动铰支座ql悬臂梁悬臂梁简支梁简支梁外伸梁外伸梁n静定梁：静定梁：如果梁具有如果梁具有1 1个固定端，或具有个固定端，或具有1 1个固定个固定铰支座和
7、铰支座和1 1个可动铰支座，则其支座反力可由静力个可动铰支座，则其支座反力可由静力平衡方程求解。平衡方程求解。n跨：跨：梁在两支座间的部分，其长度称为梁的跨长。梁在两支座间的部分，其长度称为梁的跨长。常见的静定梁大多是单跨的。常见的静定梁大多是单跨的。1 1 对称弯曲的概念及梁的计算简图对称弯曲的概念及梁的计算简图固定梁固定梁连续梁连续梁半固定梁半固定梁1 1 对称弯曲的概念及梁的计算简图对称弯曲的概念及梁的计算简图n超静定梁：超静定梁：有时为了工程上的需要，对一个梁设有时为了工程上的需要，对一个梁设置较多的支座，致使支座反力数目多于独立的平置较多的支座，致使支座反力数目多于独立的平衡方程数目
8、，仅用静力平衡方程无法求解。衡方程数目，仅用静力平衡方程无法求解。均匀分布荷载均匀分布荷载线性线性(非均匀非均匀)分布荷载分布荷载分分 布布 荷荷 载载Me集中力偶集中力偶集中力集中力1 1 对称弯曲的概念及梁的计算简图对称弯曲的概念及梁的计算简图n作用在梁上的载荷形式作用在梁上的载荷形式lFaABFAFBFAFsxASFF MxFMA2 2 梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩.剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图n剪力：剪力：梁横截面上、作用线平行于截面的梁横截面上、作用线平行于截面的内内力分量力分量，记为，记为FsFsn弯矩：弯矩：梁横截面上、作用线垂直于截面的梁横截面上、作用线垂直于截面的内内力偶矩力
9、偶矩，记为，记为M MFs0Fs0M0M02 2 梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩.剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图n符号规定：符号规定：使微段梁有顺时针转动趋势的剪力使微段梁有顺时针转动趋势的剪力为正，反之为负；为正，反之为负；使微段梁产生向下凸变形的弯矩为正，反之使微段梁产生向下凸变形的弯矩为正，反之为负。为负。lFl2FlACDBCsFlACAFAMAFAMCMFl2FlCDBCsFCMFFCsFlMCBFDDsFDMFFDs0DM2 2 梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩.剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图n例题例题4.14.1 试确定截面试确定截面C C及截面及截面D D上的剪力和弯矩上的剪力和弯矩2
10、2 梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩.剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图n截开后取左边为示力对象：截开后取左边为示力对象：n向上的外力引起正剪力，向下的外力引起负剪力；向上的外力引起正剪力，向下的外力引起负剪力；n向上的外力引起正弯矩，向下的外力引起负弯矩；向上的外力引起正弯矩，向下的外力引起负弯矩；n顺时针引起正弯矩，逆时针引起负弯矩。顺时针引起正弯矩，逆时针引起负弯矩。n截开后取右边为示力对象：截开后取右边为示力对象：n向上的外力引起负剪力，向下的外力引起正剪力；向上的外力引起负剪力，向下的外力引起正剪力；n向上的外力引起正弯矩，向下的外力引起负弯矩；向上的外力引起正弯矩，向下的外力引起负弯矩；n顺
11、时针引起负弯矩，逆时针引起正弯矩。顺时针引起负弯矩，逆时针引起正弯矩。n例题例题4.24.2 一长为一长为2m2m的均质木料，欲锯下的均质木料，欲锯下0.6m0.6m长的一段。长的一段。为使在锯开处两端面的开裂最小，应使锯口处的弯矩为为使在锯开处两端面的开裂最小，应使锯口处的弯矩为零，木料放在两只锯木架上，一只锯木架放置在木料的零，木料放在两只锯木架上，一只锯木架放置在木料的一端，试问另一只锯木架放置何处才能使木料锯口处的一端，试问另一只锯木架放置何处才能使木料锯口处的弯矩为零弯矩为零。ACDBqma6.0 xml22 2 梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩.剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图ACDBqm
12、a6.0 xml20DMFA(l-x)-ql(l/2-x)=0 xxqFA2121.2.Mc=0FA(l-a)-q(l-a)(l-a)/2+Mc=0 22alqalFMAC0024.14.12122qxxqmx462.0先以整个梁做弯矩平衡方程先以整个梁做弯矩平衡方程2 2 梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩.剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图n剪力方程：剪力方程：表示沿梁轴线各横截面上剪力随截表示沿梁轴线各横截面上剪力随截面位置变化的函数，表示为面位置变化的函数，表示为Fs=Fs(x)n弯矩方程：弯矩方程：表示沿梁轴线各横截面上弯矩随截表示沿梁轴线各横截面上弯矩随截面位置变化的函数，表示为面位置变化的函
13、数，表示为M=M(x)n剪力图：剪力图：表示沿梁轴线各横截面上剪力随截面位表示沿梁轴线各横截面上剪力随截面位置变化的图线，规定正值的剪力画在置变化的图线，规定正值的剪力画在x x轴的上侧。轴的上侧。n弯矩图：弯矩图：表示沿梁轴线各横截面上弯矩随截面位表示沿梁轴线各横截面上弯矩随截面位置变化的图线，规定置变化的图线，规定正值的弯矩画在梁的受拉侧，正值的弯矩画在梁的受拉侧，即即x x轴的下侧轴的下侧。2 2 梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩.剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图qlABFAFBxqxqlFS2222qxxqlM2ql2ql82qllABFX FxFS FxxMFFLkNkNm2 2 梁的剪力和
14、弯矩梁的剪力和弯矩.剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图n例题例题4.34.3 图示悬臂梁图示悬臂梁AB,AB,自由端受力自由端受力F F的作用的作用,试试作剪力图和弯矩图作剪力图和弯矩图.m4mkN 40mkN10kN20m1AB35kN25kNX1 kNxFS201101 x 1120 xxM101xX2221025xxFS402 x 210252222xxxM402x20152520202.525.31kNkNm2 2 梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩.剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图n例题例题4.44.4 图示外伸梁图示外伸梁,试作剪力图和弯矩图试作剪力图和弯矩图.归纳如下规律：归纳如下规律：n在集中
15、力或集中力偶作用处，梁的弯矩方程应在集中力或集中力偶作用处，梁的弯矩方程应分段列出。分段列出。n在梁上集中力作用处，剪力图有突变，其左右在梁上集中力作用处，剪力图有突变，其左右两侧横截面上剪力的代数差，即等于集中力值。两侧横截面上剪力的代数差，即等于集中力值。而在弯矩图上的相应处则形成一个尖角。与此而在弯矩图上的相应处则形成一个尖角。与此相仿，梁上受集中力偶作用处，弯矩图有突变，相仿，梁上受集中力偶作用处，弯矩图有突变，其左右两侧横截面上弯矩的代数差，即等于集其左右两侧横截面上弯矩的代数差，即等于集中力偶值。中力偶值。n全梁的最大剪力和最大弯矩可能发生在全梁或全梁的最大剪力和最大弯矩可能发生在
16、全梁或各段梁的边界截面，或极值点的截面处。各段梁的边界截面，或极值点的截面处。2 2 梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩.剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图n剪力、弯矩与分布荷载集度间的微分关系及应用剪力、弯矩与分布荷载集度间的微分关系及应用xmmnndxyx xFs)()(xdFxFSS)()(xdMxMdxmn)(xqmn)(xM 0sssdFFdxxqFqdxdFs 022dMMdxxqdxFMSSFdxdMqdxMdFdxdMqdxdFSs220dxdFsCFS剪力图是水平直线剪力图是水平直线.CdxdM弯矩图是斜直线弯矩图是斜直线.0dxdMCM 弯矩图是水平直线弯矩图是水平直线.qdxdFs剪
17、力图是斜直线剪力图是斜直线.弯矩图是二次抛物线弯矩图是二次抛物线.2 2 梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩.剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图n剪力、弯矩与分布荷载集度间的微分关系及应用剪力、弯矩与分布荷载集度间的微分关系及应用2 2 梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩.剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图n若若x x1 1,x,x2 2两截面间无集中力作用两截面间无集中力作用,则则x x2 2截面上的截面上的F FS1S1等于等于x x1 1截面上的截面上的F FS1S1加上两截面之间分布荷载图的加上两截面之间分布荷载图的面积面积.n若若x x1 1,x,x2 2两截面间无集中力偶作用两截面间无集中力偶作用,则则x
18、 x2 2截面上的截面上的M M2 2等于等于x x1 1截面上的截面上的M M1 1加上两截面之间剪力图的面加上两截面之间剪力图的面积积.2112xxSSdxxqFF 2112xxSdxxFMM dxxqdFxxFFSSS2121qcACDBAFabBFl+-AFBFx+aFAbFB2 2 梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩.剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图2 2 梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩.剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图n突变规律突变规律(从左向右画从左向右画)：集中力作用处，集中力作用处，F FS S图突图突变，方向、大小与力同，变，方向、大小与力同，M M图斜率突变，突变成的尖图斜率突变，突变成
19、的尖角与集中力角与集中力F F的箭头是同向；集中力偶作用处，的箭头是同向；集中力偶作用处，M M图图发生突变，顺下逆上，大小与发生突变，顺下逆上，大小与M M同，同，F FS S图不发生变化。图不发生变化。n叠加原理：叠加原理：当所求参数（内力、应力或位移等）当所求参数（内力、应力或位移等）与梁上荷载为线性关系时，则由几项荷载共同作用与梁上荷载为线性关系时，则由几项荷载共同作用时所引起的参数等于每项荷载单独作用下所引起的时所引起的参数等于每项荷载单独作用下所引起的该参数的叠加。该参数的叠加。n弯矩图的叠加：弯矩图的叠加：在线弹性、小变形的条件下，梁在线弹性、小变形的条件下，梁横截面上的弯矩与荷
20、载成线性关系。因此，由几项横截面上的弯矩与荷载成线性关系。因此，由几项荷载共同作用时梁的弯矩图等于每项荷载单独作用荷载共同作用时梁的弯矩图等于每项荷载单独作用下梁弯矩图的叠加。下梁弯矩图的叠加。ABaqq2qa2qaa2qa2qa2qa2a2a82qa82qa2 2 梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩.剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图n结构对称，载荷反对称，则结构对称，载荷反对称，则F FS S图对称，图对称，M M图反图反对称对称2F2F2F2F2Fa2FaABFaaaa2F2FFF2 2 梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩.剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图n结构对称，载荷对称，则结构对称，载荷对称，则F FS
21、 S图反对称，图反对称，M M图图对称对称2 2 梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩.剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图n例题例题4.5 4.5 作图示梁的内力图作图示梁的内力图kN3ACDBkNFB2EmkN5.4mkN 2kNFA10m1m2m2m156.1x323722kNkNm4m2m1mkN 4mkN2kN6m14.51.55.55.87kNkNm2 2 梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩.剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图n例题例题4.64.6lABqFlABFAlBqFqLFF+qLFL1/2qL21/2qL2+FL2 2 梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩.剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图n例题例题4.7 4.
22、7 叠加法作弯矩图叠加法作弯矩图ACBFlm41F2l2lCABF2l2lACFlm41l+Fl41-Fl41+-Fl81Fl412 2 梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩.剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图n例题例题4.8 4.8 叠加法作弯矩图叠加法作弯矩图kN6mkN2m2m2m2kN6ACDBmkN2m2m2m2+6-4+44-2 2 梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩.剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图n例题例题4.9 4.9 叠加法作弯矩图叠加法作弯矩图3 3 平面刚架和曲杆的内力图平面刚架和曲杆的内力图n平面刚架：平面刚架：由在同一平面内、不同取向的两根或由在同一平面内、不同取向的两根或两根以上的杆件，
23、通过杆端相互刚性连接而组成两根以上的杆件，通过杆端相互刚性连接而组成的结构。在平面载荷作用下，组成刚架的杆件横的结构。在平面载荷作用下，组成刚架的杆件横截面上一般存在截面上一般存在轴力、剪力和弯矩轴力、剪力和弯矩三个内力分量。三个内力分量。n弯矩图：弯矩图：画在杆受拉的一侧，不注明正负号。画在杆受拉的一侧，不注明正负号。n剪力图和弯矩图：剪力图和弯矩图：可画在刚架轴线的任一侧，可画在刚架轴线的任一侧，不过通常正值画在刚架的外侧，须注明正负号。不过通常正值画在刚架的外侧，须注明正负号。立柱立柱横梁横梁 当杆件变形时，两杆连接处保持刚当杆件变形时，两杆连接处保持刚性，即角度（一般为直角）保持不变。
24、性，即角度（一般为直角）保持不变。qLLABCqLqL/2qL/2qL2qL)(kNFs2qL)(kNFN22qL22qL)(kNmM3 3 平面刚架和曲杆的内力图平面刚架和曲杆的内力图n例题例题4.10 4.10 求做图示刚架的内力图求做图示刚架的内力图轴力轴力剪力剪力Bql22qlyqBql22ql解：解：1 1、确定约束力、确定约束力22ql2 2、写出各段的内力方程、写出各段的内力方程FN(y)FS(y)M(y)竖杆竖杆ABAB：A A点向上为点向上为y y lyqyqlyFqlqyyFFSSx000 lyqlyFqlyFFNNy02/02/0 lyqyqlyyMqlyyqyyMyM0
25、2/02/02yn例题4.10 已知平面刚架上的均布载荷集度q,长度l求做图示刚架的内力图3 3 平面刚架和曲杆的内力图平面刚架和曲杆的内力图解：解：横杆横杆CBCB：C C点向左为点向左为x x lxqlxFqlxFFSSy02/02/0 lxxFFNx000 lxqlxxMqlxxMxM02/02/0Bql22ql22qlyB22qlFN(x)M(x)xFS(x)x3 3 平面刚架和曲杆的内力图平面刚架和曲杆的内力图n例题4.10 已知平面刚架上的均布载荷集度q,长度l求做图示刚架的内力图顺时针为正顺时针为正竖杆竖杆ABAB：qyqlyFS 2/qlyFN 2/2qyqlyyMBql22q
26、l22qly横杆横杆CBCB：2/qlxFS 0 xFN 2/qlxxMMFNFSql22ql2ql2ql2ql2ql3 3 平面刚架和曲杆的内力图平面刚架和曲杆的内力图n例题4.10 已知平面刚架上的均布载荷集度q,长度l，求做图示刚架的内力图画在杆受拉一侧，不注明正负号画在杆受拉一侧，不注明正负号3 3 平面刚架和曲杆的内力图平面刚架和曲杆的内力图n平面曲杆平面曲杆:n某些构件（吊钩等）其轴线为平面曲线称为平面某些构件（吊钩等）其轴线为平面曲线称为平面曲杆。当外力与平面曲杆均在同一平面内时，曲曲杆。当外力与平面曲杆均在同一平面内时，曲杆的内力有轴力、剪力和弯矩。杆的内力有轴力、剪力和弯矩。
27、n平面曲杆横截面上的内力情况及其内力图的绘制平面曲杆横截面上的内力情况及其内力图的绘制方法，与刚架的相类似。方法，与刚架的相类似。sinFFN解：写出曲杆的内力方程解：写出曲杆的内力方程FRmmF NF SF M cosFFS sinFRMFNF FSF FRMn例题例题4.11 4.11 画出该曲杆的内力图画出该曲杆的内力图3 3 平面刚架和曲杆的内力图平面刚架和曲杆的内力图4 4 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力梁的正应力强度条梁的正应力强度条件件n纯弯曲：纯弯曲：梁（如梁（如CD段）各横截面上的剪力为零，弯矩为常段）各横截面上的剪力为零，弯矩为常量量.对其在横截面上正应力的计算公式，
28、要综合考虑对其在横截面上正应力的计算公式，要综合考虑几何几何，物理物理和和静力学静力学三方面。三方面。n横力弯曲：横力弯曲：梁（如梁（如AC和和BD段）各横截面同时有剪力和弯矩，段）各横截面同时有剪力和弯矩，且弯矩为截面位置且弯矩为截面位置x的函数。的函数。4 4 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力梁的正应力强度条梁的正应力强度条件件n纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力几何关系几何关系 先研究该截面上任一点处沿横截面法线方向的先研究该截面上任一点处沿横截面法线方向的线应变，即纵向线应变线应变，即纵向线应变。找出纵向线应变在该截。找出纵向线应变在该截面上的变化规律，进而得出正
29、应力的变化规律。面上的变化规律，进而得出正应力的变化规律。正应力的分布规律正应力的分布规律4 4 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力梁的正应力强度条梁的正应力强度条件件n纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力几何关系几何关系平面假设：平面假设：梁在受力弯曲后，其原来的横截面仍为平面，并绕梁在受力弯曲后，其原来的横截面仍为平面，并绕垂直于纵对称面的某一轴旋转，且仍垂直于梁变形后的轴线。垂直于纵对称面的某一轴旋转，且仍垂直于梁变形后的轴线。4 4 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力梁的正应力强梁的正应力强度条件度条件n中性层：中性层：梁弯曲变形时，其纵向线段无长度改变梁弯曲变形时
30、，其纵向线段无长度改变（不伸长也不缩短）的面。（不伸长也不缩短）的面。n中性轴：中性轴：中性层与横截面的交线，即横截面上正中性层与横截面的交线，即横截面上正应力为零的各点的连线。弯曲变形时，各横截面应力为零的各点的连线。弯曲变形时，各横截面间绕其中性轴作相对转动。间绕其中性轴作相对转动。n中性轴位置：中性轴位置：梁发生对称弯曲、且处于弹性范围梁发生对称弯曲、且处于弹性范围时，中性轴通过横截面形心，并垂直于荷载作用时，中性轴通过横截面形心，并垂直于荷载作用平面。平面。n纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力几何关系几何关系n纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力几何关
31、系几何关系4 4 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力梁的正应力强度条梁的正应力强度条件件 该式表明横截面上任一点处的纵向线应变该式表明横截面上任一点处的纵向线应变与该点与该点在截面上之位置成正比在截面上之位置成正比。中性层中性层的曲率的曲率4 4 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力梁的正应力强度条梁的正应力强度条件件n若设各纵向线之间没有因纯弯曲而引起的相互挤压，若设各纵向线之间没有因纯弯曲而引起的相互挤压，则可认为横截面上各点处的纵向线段均处于单轴应则可认为横截面上各点处的纵向线段均处于单轴应力状态。力状态。n当材料处于线弹性范围内且拉伸和压缩弹性模量相当材料处于线弹性范围内且拉伸和压缩
32、弹性模量相同时，由单轴应力状态下的胡克定律可得物理关系：同时，由单轴应力状态下的胡克定律可得物理关系：En纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力物理关系物理关系yE 该式表明横截面上任一点处的该式表明横截面上任一点处的正应力正应力与该点到中性轴与该点到中性轴的距离成正比，而在距中性轴为的距离成正比，而在距中性轴为y y的等高线上各点处的正应的等高线上各点处的正应力均相等。力均相等。n纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力静力学静力学4 4 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力梁的正应力强度条梁的正应力强度条件件 根据梁上只有外力偶根据梁上只有外力偶Me的受力条件，由
33、截面法可知，的受力条件，由截面法可知，FN和和My均等于零，而均等于零，而Mz就是横截面上的弯矩就是横截面上的弯矩M。其中其中dA为横截为横截面上的法向内力元素，面上的法向内力元素，S指静矩，指静矩，I指惯性矩。指惯性矩。ZIMy4 4 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力梁的正应力强度条梁的正应力强度条件件yEZ1EIMn纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力静力学静力学 式中，式中，M为横截面上的弯矩，为横截面上的弯矩，Iz为横截面对中性轴的惯性矩，为横截面对中性轴的惯性矩，y为所求应力点的纵坐标。为所求应力点的纵坐标。将弯矩将弯矩M和坐标和坐标y按规定的正负号代入，所得到的
34、正应力按规定的正负号代入，所得到的正应力若为正值，即为拉应力，若为负值则为压应力。若为正值，即为拉应力，若为负值则为压应力。在具体计算中，可根据梁变形的情况来判断，即以中性层在具体计算中，可根据梁变形的情况来判断，即以中性层为界，梁变形后凸出边的应力为拉应力，而凹入边的应力则为为界，梁变形后凸出边的应力为拉应力，而凹入边的应力则为压应力。压应力。4 4 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力梁的正应力强度条梁的正应力强度条件件n适用于均匀连续、各向同性材料，在线弹性范围内（适用于均匀连续、各向同性材料，在线弹性范围内（maxp）对称弯曲的小变形情况下。对称弯曲的小变形情况下。nWz称为弯曲截面系
35、数，其值与横截面的形状和尺寸有关。称为弯曲截面系数，其值与横截面的形状和尺寸有关。n在横截面上离中性轴最远的各点处，正应力值最大；反之最小。在横截面上离中性轴最远的各点处，正应力值最大；反之最小。n在纯弯曲时，横截面在弯曲变形后保持平面，公式为精确解；横在纯弯曲时，横截面在弯曲变形后保持平面，公式为精确解；横力弯曲时，横截面不再保持平面，公式在多数情况下存在误差。力弯曲时，横截面不再保持平面，公式在多数情况下存在误差。当梁的跨高比当梁的跨高比l/h 5时，误差时，误差1%。n若中性轴为截面对称轴，则受拉若中性轴为截面对称轴，则受拉t,max=受压受压c,max，反之不相等，反之不相等Zmaxm
36、axIMyZmaxWMmaxZZyIW minZWMn纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力正应力分布正应力分布常见截面的常见截面的IZ和和WZ圆截面圆截面矩形截面矩形截面空心圆截面空心圆截面空心矩形截面空心矩形截面AdAyI2ZmaxZZyIW 644ZdI323ZdW)1(6444ZDI)1(3243ZDW123ZbhI 62ZbhW 12123300ZbhhbI)2/()1212(03300ZhbhhbW4 4 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力梁的正应力强度条梁的正应力强度条件件n纯弯曲理论的推广横力弯曲纯弯曲理论的推广横力弯曲4 4 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应
37、力梁的正应力强度条梁的正应力强度条件件ZmaxmaxmaxIyM横力弯曲最大正应力横力弯曲最大正应力n弹性力学精确分析表明，当弹性力学精确分析表明，当跨度跨度l与横截面高度与横截面高度h之比之比l/h 5（细长梁）时，纯弯（细长梁）时，纯弯曲正应力公式对于横力弯曲曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。近似成立。4 4 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力梁的正应力强度条梁的正应力强度条件件n纯弯曲理论的推广横力弯曲纯弯曲理论的推广横力弯曲弯曲正应力分布弯曲正应力分布ZIMy细长梁的细长梁的纯弯曲纯弯曲或或横力弯曲横力弯曲横截面惯性矩横截面惯性矩 I IYZYZ=0=0弹性变形阶段弹性变形阶段n纯弯
38、曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力正应力分布正应力分布n弯曲正应力公式适用范围弯曲正应力公式适用范围4 4 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力梁的正应力强度条梁的正应力强度条件件 IyMzmaxmaxmaxn等直梁的最大正应力发生在最大弯矩的横截面上距中性轴最等直梁的最大正应力发生在最大弯矩的横截面上距中性轴最远的各点处，而该处的切应力等于零或与该点处的正应力相远的各点处，而该处的切应力等于零或与该点处的正应力相比很小。而且纵截面上由横向力引起的挤压应力可略去不计。比很小。而且纵截面上由横向力引起的挤压应力可略去不计。n故可将横截面上最大正应力所在各点处的应力状态看作是单故可将
39、横截面上最大正应力所在各点处的应力状态看作是单轴应力状态。所以按照单轴应力状态下强度条件的形式，来轴应力状态。所以按照单轴应力状态下强度条件的形式，来建立梁的正应力强度条件：梁的横截面上的最大工作正应力建立梁的正应力强度条件：梁的横截面上的最大工作正应力不得超过材料的许用弯曲正应力，即不得超过材料的许用弯曲正应力，即4 4 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力梁的正应力强度条梁的正应力强度条件件n梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件4 4 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力梁的正应力强度条梁的正应力强度条件件n强度校核：强度校核：n截面设计：截面设计：由由Wz计算截面尺寸。计算截面尺寸。n许
40、可荷载计算：许可荷载计算：由由Mmax计算许可荷载值。计算许可荷载值。MWmaxzn梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件 zmaxWM IyMzmaxmaxmax 关于许用弯曲正应力的确定，一般就以材料的许用拉应力关于许用弯曲正应力的确定，一般就以材料的许用拉应力作为其许用弯曲正应力。事实上，由于弯曲和轴向拉伸时杆横作为其许用弯曲正应力。事实上，由于弯曲和轴向拉伸时杆横截面上正应力的变化规律不同，材料在弯曲与轴向拉伸时的强截面上正应力的变化规律不同，材料在弯曲与轴向拉伸时的强度并不相同，因而在某些设计规范中所规定的许用弯曲正应力度并不相同，因而在某些设计规范中所规定的许用弯曲正应力就比其许用拉
41、应力略高。就比其许用拉应力略高。BAl=3mq=60kN/mxC1mMxm67.5kN8/2ql 30zy180120K1.1.C 截面上截面上K点正应力点正应力2.2.C 截面上截面上最大最大正应力正应力3.3.全梁全梁上上最大最大正应力正应力4.4.已知已知E=200GPa，C 截面的曲率半径截面的曲率半径 FSx90kN90kNmkN605.0160190CM1.求支反力求支反力kN90AyFkN90ByF4533Zm10832.51218.012.012bhIMPa7.61Pa107.6110832.510)302180(10606533ZKCKIyM（压应力）（压应力）解：解：4 4
42、 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力梁的正应力强度条梁的正应力强度条件件n例题例题4.124.12BAl=3mq=60kN/mxC1mMxm67.5kN8/2ql 30zy180120K FSx90kN90kN2.C 截面最大正应力C 截面弯矩mkN60CMC 截面惯性矩45Zm10832.5IMPa55.92Pa1055.9210832.510218010606533ZmaxmaxIyMCCn例题例题4.124.124 4 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力梁的正应力强度条梁的正应力强度条件件BAl=3mq=60kN/mxC1mMxm67.5kN8/2ql 30zy180120K FSx
43、90kN90kN3.全梁最大正应力全梁最大正应力最大弯矩最大弯矩mkN5.67maxM截面惯性矩截面惯性矩45m10832.5zIMPa17.104Pa1017.10410832.5102180105.676533ZmaxmaxmaxIyMn例题例题4.124.124 4 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力梁的正应力强度条梁的正应力强度条件件BAl=3mq=60kN/mxC1mMxm67.5kN8/2ql 30zy180120K FSx90kN90kN4.C 截面曲率半径截面曲率半径C 截面弯矩截面弯矩mkN60CMC 截面惯性矩截面惯性矩45Zm10832.5Im4.19410601083
44、2.510200359CZCMEIEIM1n例题例题4.124.124 4 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力梁的正应力强度条梁的正应力强度条件件6-3n切应力分布规律：切应力分布规律：切应力方向与剪力平行，大切应力方向与剪力平行，大小沿截面均匀分布，沿高度呈抛物线变化小沿截面均匀分布，沿高度呈抛物线变化n矩形截面梁：矩形截面梁：对于狭对于狭 长矩形截面，由于梁的长矩形截面，由于梁的 侧面上无切应力，故横侧面上无切应力，故横 截面上侧边各点处的切截面上侧边各点处的切 应力必与侧边平行，而应力必与侧边平行，而 在对称弯曲情况下，对在对称弯曲情况下，对 称轴称轴y y处的切应力必沿处的切应力必沿
45、y y方向，且狭长矩形截面上方向，且狭长矩形截面上切应力沿截面宽度的变化不可能大，于是可作如切应力沿截面宽度的变化不可能大，于是可作如下假设：下假设：5 5 梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力梁的切应力强度条梁的切应力强度条件件6-3n矩形截面梁切应力假设：矩形截面梁切应力假设：n横截面上各点处的切应力均与侧边平行横截面上各点处的切应力均与侧边平行n横截面上距中性轴等远各点处的切应力大小相等横截面上距中性轴等远各点处的切应力大小相等n矩形截面梁矩形截面梁AFS23 5 5 梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力梁的切应力强度条梁的切应力强度条件件SzSz*为面积为面积A A*对横截面中性轴的静
46、矩；对横截面中性轴的静矩；A A*为横截面上距中性轴为横截面上距中性轴为为y y的横线以外部分的面积（即绿色部分）的横线以外部分的面积（即绿色部分）悬臂梁由三块木板粘接悬臂梁由三块木板粘接而成。跨度为而成。跨度为1m1m。胶合面。胶合面的许可切应力为的许可切应力为0.34MPa0.34MPa，木材的木材的=10 MPa=10 MPa，=1MPa=1MPa，求许可载荷。，求许可载荷。21maxmax6bhlFWMz1.1.画梁的剪力图和弯矩图画梁的剪力图和弯矩图2.2.按正应力强度条件计算许可载荷按正应力强度条件计算许可载荷 SF FM Fl 3.75kNN3750610150100106927
47、21 lbhF bhFAFS2/32/32max3.3.按切应力强度条件计算许可载荷按切应力强度条件计算许可载荷 kN01N100003/101501001023/2662 bhF Fl100505050z解：解：n例题例题4 413135 5 梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力梁的切应力强度条梁的切应力强度条件件 gZZSbhFbbhhbFbISF 341233323*g4.4.按胶合面强度条件按胶合面强度条件计算许可载荷计算许可载荷 3.825kNN382541034.010150100343663 gbhF 5.5.梁的许可载荷为梁的许可载荷为 3.75kNkN825.3kN10kN7
48、5.3minmin iFFFl100505050M FlzSF Fn例题例题4 413135 5 梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力梁的切应力强度条梁的切应力强度条件件n工字形截面梁的切应力：工字形截面梁的切应力：n腹板部分腹板部分任一点处铅垂切应力任一点处铅垂切应力 最大切应力发生在中性轴各点处最大切应力发生在中性轴各点处n翼缘部分任一点出水平切应力翼缘部分任一点出水平切应力 Sz,max Sz,max*为中性轴任一边半个横截面面积对中性轴的静矩；为中性轴任一边半个横截面面积对中性轴的静矩；为翼缘厚度为翼缘厚度n薄壁环形截面梁的切应力：薄壁环形截面梁的切应力：n任一点处切应力任一点处切应力
49、nSzSz*为自为自y y轴一侧至轴一侧至角所包面积对中性轴角所包面积对中性轴z z的静矩的静矩n最大切应力发生在中性轴各点处最大切应力发生在中性轴各点处bISFzzs*5 5 梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力梁的切应力强度条梁的切应力强度条件件bISFzs*maxmaxzzslISFzzsISF*AFs2maxn圆截面梁切应力：圆截面梁切应力：n任一点处切应力任一点处切应力 A A为圆截面面积；为圆截面面积；为距为距z z轴轴y y处的截面切面角处的截面切面角 最大切应力发生在中性轴各点处最大切应力发生在中性轴各点处n梁的切应力强度条件：梁的切应力强度条件：梁的最大切应力不得超梁的最大切
50、应力不得超过材料的许用切应力过材料的许用切应力n切应力强度计算：切应力强度计算：切应力的强度计算有强度校切应力的强度计算有强度校核、截面设计和许可荷载三类问题。核、截面设计和许可荷载三类问题。cos1*bISFzzs5 5 梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力梁的切应力强度条梁的切应力强度条件件AFs34max zmaxs,maxs,maxbI*SFZmaxmaxWMn降低降低M Mmaxmax：合理安排支座合理安排支座6 6 梁的合理设计梁的合理设计FFF梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件n降低降低M Mmaxmax：合理安排支座合理安排支座6 6 梁的合理设计梁的合理设计bISFzzs*
