1、第十七章 特殊三角形17.1 第1课时 等腰三角形及性质1、等腰三角形的定义.2、等腰三角形是不是轴对称图形?有两边相等的三角形是等腰三角形等腰三角形是轴对称图形知识回顾北京五塔寺北京五塔寺西安半坡博物馆西安半坡博物馆斜拉桥梁斜拉桥梁体育观看台架体育观看台架埃及金字塔埃及金字塔情景导入图中有些你熟悉的图形吗?它们有什么共同特点?等腰三角形的性质问题1 在我们的身边，许多物体的形状是两边相等的三角形，如房屋的钢梁架、红领巾、交通标志的外沿形状等.它们是什么特殊的三角形呢？获取新知有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边。两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角
2、叫做底角。ACB腰腰腰腰底边底边顶角顶角底角底角底角底角 ABC中，AB=AC定义：顶角是直角的等腰三角形是 等腰直角三角形剪一剪：如图，把一张长方形的纸按图中的红线对折，并剪去阴影部分（一个直角三角形），再把得到的直角三角形展开，得到的三角形ABC有什么特点？ABC获取新知一起探究等腰三角形的性质问题2 把等腰三角形沿折痕对折，找出其中重合的线段和角.BCDAB线段角AB与_重合BAD与_重合AD与_重合ABD与_重合BD与_重合ADB与_重合ACADCDCADACDADC猜一猜：由这些重合的线段和角，你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想.猜想1 等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）
3、.猜想2 等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合（通常说成等腰三角形的“三线合一”）.现在，我们用学过的知识来验证这两个猜想.已知：ABC中，AB=AC,求证：B=C.思考：如何构造两个全等的三角形？猜想1:等腰三角形的两个底角相等如何证明两个角相等呢？可以运用全等三角形的性质“对应角相等”来证已知：如图，在ABC中，AB=AC.求证：B=C.ABCD证明：作底边的中线AD，则BD=CD.AB=AC (已知)，BD=CD(已作)，AD=AD(公共边)，BAD CAD(SSS).B=C(全等三角形的对应角相等).在BAD和CAD中方法一：作底边上的中线还有其他的证法吗？已知：如
4、图，在ABC中，AB=AC.求证：B=C.ABCD证明：作顶角的平分线AD，则BAD=CAD.AB=AC (已知),BAD=CAD(已作),AD=AD(公共边),BAD CAD(SAS).B=C(全等三角形的对应角相等).方法二：作顶角的平分线在BAD和CAD中思考：由BAD CAD，除了可以得到B=C之外，你还可以得到那些相等的线段和相等的角？和你的同伴交流一下，看看你有什么新的发现？解：BAD CAD，由全等三角形的性质易得BD=CD,ADB=ADC，BAD=CAD.又 ADB+ADC=180，ADB=ADC=90，即AD是等腰ABC底边BC上的中线、顶角BAC的角平分线、底边BC上的高线
5、.ABCD讨论交流性质1:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).ACB如图,在ABC中,AB=AC(已知),B=C(等边对等角).性质2:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(三线合一）.归纳ACBD12AB=AC,1=2(已知)，BD=CD,ADBC（等腰三角形三线合一）.AB=AC,BD=CD(已知)，1=2,ADBC（等腰三角形三线合一）.AB=AC,ADBC(已知)，BD=CD,1=2（等腰三角形三线合一）.综上可得：如图,在ABC中,等腰三角形等边三角形一般三角形在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底与腰底与腰相等，即三
6、角相等，即三角形的三边相等，我们把三条边都相等的三角形叫作形的三边相等，我们把三条边都相等的三角形叫作等边三角形等边三角形.获取新知等边三角形的性质问题1 把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？等边三角形的三个角都相等，并且每一 个角都等于60.等腰三角形等边三角形等腰三角形的两个底角相等.问题2 运用所学知识，证明你的结论.ABC已知：AB=AC=BC，求证：A=B=C=60.证明：AB=AC.B=C(等边对等角).同理 A=C.A=B=C.A+B+C=180,A=B=C=60.问题3 等腰三角形“三线合一”的性质同样存在与等边三角形中吗?等腰三角形顶角的平分线、底边的高、底边的
7、中线三线合一（一条对称轴）等腰三角形等边三角形等边三角形顶角的平分线、底边的高、底边的中线三线合一（三条对称轴）图形等腰三角形性 质 每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合三个角都相等，对称轴（3条）等边三角形对称轴（1条）两个底角相等底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合且都是60两条边相等三条边都相等ABCABC类比探究ABCD 例1 如图，在ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求ABC各角的度数.【分析分析】（1 1）找出图中所有相等的角；）找出图中所有相等的角；（2 2）指出图中有几个等腰三角形？）指出图中有几个等腰三角形？A=ABD,C=BDC=ABC
8、；ABC,ABD,BCD.例题讲解ABCDx2x2x2x（3 3）观察）观察BDCBDC与与A A、ABDABD的关系，的关系，ABCABC、C C呢？呢？BDC=A+ABD=2A=2ABD,BDC=A+ABD=2A=2ABD,ABC=BDC=2A,ABC=BDC=2A,C=BDC=2A.C=BDC=2A.（4 4）设）设A=xA=x,请把请把 ABCABC的内角和用含的内角和用含x x的的式子表示出来式子表示出来.A+ABC+C=180 A+ABC+C=180，x+2x+2x=180 x+2x+2x=180,ABCD解：AB=AC，BD=BC=AD，ABC=C=BDC，A=ABD.设A=x,
9、则BDC=A+ABD=2x,从而ABC=C=BDC=2x,于是在ABC中，有A+ABC+C=x+2x+2x=180 ，解得x=36，在ABC中，A=36，ABC=C=72.x2x2x2x例例2 2 如图，在如图，在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，BDBD，CE CE 分别为分别为ABCABC，ACBACB的平分线。的平分线。求证：求证：BD=CE.BD=CE.ABCDE1.等腰三角形的一个内角是50，则这个三角形的底角的大小是()A65或50 B80或40C65或80 D50或80A随堂演练2.如图，在ABC中，AB=AC，过点A作ADBC，若1=70，则BAC的大小为（）A40 B
10、30 C70 D50 A3.(1)等腰三角形一个底角为75,它的另外两个角为_；(2)等腰三角形一个角为36,它的另外两个角_；(3)等腰三角形一个角为120,它的另外两个角为_.75,3072,72或36,10830，30 4.在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交得的锐角为50，则底角的大小为_70或20ABCABC【解析解析】当题目未给定三当题目未给定三角形的形状时，一般需分角形的形状时，一般需分锐角三角形和钝角三角形锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论两种情况进行讨论.5.某城市几条道路的位置关系如图所示，已知ABCD，AE与AB的夹角为48，若CF与EF的长度
11、相等，则C的度数为_度.246.如图，在ABC中，AD=BD=BC,若DBC=28,求ABC和C的度数.设A=x.AD=BD,ABD=A=x,BDC=2x.BD=BC,C=BDC=2x.DBC=28,BDC+C+DBC=180,2x+2x+28=180,x=38,C=76,ABC=ABD+DBC=38+28=66.解：7.如图，在ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BEAC于点E.求证：CBE=BAD.证明：AB=AC，AD是BC边上的中线，BEAC，CBE+C=CAD+C=90，CBE=CAD.又CAD=BAD，CBE=BAD.等 腰 三角 形 的性质等腰三角形的性质等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线及底边上的高互相重合等边三角形的三个角都相等，并且每一 个角都等于60.等边三角形的性质课堂小结
