1、第十四章 实数14.3 实数第1课时 实数的概念知识回顾1.什么叫做有理数？2.利用计算器把下列分数写成小数的形式，它们有什么特征？53 27 11 9,2549 1152.5,230.6,5 276.75,4.111.2,9.90.81.11整数和分数统称有理数.它们都可以化为有限小数或无限循环小数情景导入 如图是由4条横线，5条竖线构成的方格网，它们相邻的行距、列距都是1（即每个小正方形的边长为1）.从这些纵横相交得出的20个点(称为格点)中，我们可以选择其中4个格点作为顶点连接成一个正方形，叫做格点正方形.(1)有面积分别是1,4,9的格点正方形吗？(2)有面积是2的格点正方形吗？把它画
2、出来.获取新知知识点无理数1 一起探究 如图(1)所示，在半透明纸上画一个两条直角边都是2 cm的直角三角形ABC，然后剪下这个三角形，再沿斜边上的高CD剪开后，拼成如图(2)所示的正方形.(1)这个三角形的面积和拼成的正方形的面积是不是相等？面积是多少？(2)如果设正方形的边长为x cm，那么x与这个正方形的面积有怎样的关系？(1)(2)ABCD 事实上，因为SABC 222cm2.如果设正方形的边长为x cm，那么x2=2.因为正方形的边长是正数，所以x是2的算术平方根，即x 是一个什么样的数呢？122.2概念学习1.是整数吗?-3,-2,-1,0,1,2,3的平方等于2吗?你认为有平方后
3、等于2的整数吗?2.是分数吗?的平方等于 2吗?你认为有平方后等于2的分数吗?3.会是有理数吗?223532312121313235，2 事实上，不是有理数.借助计算机可以得到 =l.414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569 .它是一个无限不循环小数.我们早就认识的圆周率，它也是一个无限不循环小数：=3.141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 1.有理数包括整数和分数两部分.(1)整数可以写成小数的形式，如 10=10.0，1=1.0，0=0.0，50=50.0.对于任
4、意给定的一个整数，你能将它写成小数的形式吗？(2)分数可以写成有限小数或无限循环小数，如 =0.01，0.6，=3.5，=0.187 5,=0.333 330.3，=0.666 66=0.6，1100 观察与思考35 7231613.23.有理数总可以写成有限小数或无限循环小数.318 18=0.318.任意给定一个分数，你能将它写成有限小数或无限循环小数的形式吗？(可以借助计算器计算）(3)有理数是不是总可以写成有限小数或无限循环小数的形式呢？事实上，有理数总可以写成有限小数或无限循环小数的形式，而 ，是无限不循环小数.7222.结 论 我们把无限不循环小数叫做无理数.其实，无理数有很多，像
5、 1.732 05，2.236 06，2.449 48，1.259 92，1.442 24，2.154 43，1.212 212 221(每两个1之间依次多一个2)等，都是无限不循环小数，它们都是无理数.无理数包括正无理数和负无理数.如 等，都是正无理数；等，都是负无理数.一般地，如果a是一个正无理数，那么a是一个负无理数.35632333102,3,5,72,-3,5,7 例题讲解解析：3.141 59是有限小数，3.141 59是有理数；2，是有理数；5，是有理数；是分数，是有理数；0.232 232 223(每两个3之间依次多一个2)，都是无限不循环小数，0.232 232 223(每两
6、个3之间依次多一个2)，是无理数.共2个无理数.例1 下列各数：3.141 59，0.232 232 223(每两个3之间依次多一个2)，中，无理数有()A1个 B2个C3个D4个B172538383825251717(1)判断一个数是不是无理数，一是看它是不是无限小数；二是看它是不是不循环小数，满足“无限”和“不循环”这两个条件，才是无理数.归纳(2)初中阶段所学的无理数主要包含以下几种:特殊意义的数:如圆周率及含的一些数，如2-等；开方开不尽的数，如 ，等；特殊结构的数，如1.01001000100001（每两个1之间依次多一个0）等.5239 变式练习1在下列各数中，哪些是有理数，哪些是
7、无理数？2.141,14.3,18.,00010100100010.1,6,711,8,03，解：解：有理数：无理数：整数0整数38分数711的倍数6无限不循环小数不能开方的数1.01001000100001.14有限小数3.14能开方41无限循环小数1.2温馨提示：(1)对有理数和无理数进行区分时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据最后结果进行分类，切忌看到用根号表示的数就认为是无理数(2)是无理数，化简后含的数也是无理数知识点实数2有理数和无理数统称为实数.概念学习无理数与有理数的区别：（1）有理数是有限循环小数或无限循环小数，而无理数是无限不循环小数；（2）有理数是正数或者分数，任何一
8、个有理数都可以写成分数的形式，无理数都不能写成整式或分数的形式.联系：无理数和有理数属于实数；实数包括无理数和有理数.例2 把下列各数填入相应的大括号内：7，0.32，1.414，0，0.202 002 000 2 (相邻两个2之间0的个数逐次加1)，.有理数：，；无理数：，；实数：138123927，0.32，1.414，013 ，0.202 002 000 2(相邻两个2之间0的个数逐次加1)，812392138123927，0.32，1.414，0，0.202 002 000 1(相邻两个2之间0的个数逐次加1)，变式练习2.把下列各实数分别填入相应的集合内：,41,23,7,25,2,
9、320,5,83,94,0 3737737773.0（相邻两个3之间的7的个数逐次加1）有理数集合 无理数集合,83,41,25,94,0 ,23,7,2,320,5 3737737773.0随堂演练1.在实数0，中，无理数的个数有()BA.1个B.2个C.3个D.4个72229-2.下列说法：带根号的数是无理数；不含根号的数一定是有理数；无理数是开方开不尽的数；无限小数是无理数；是无理数.其中正确的有()A.4个 B.3个 C.2个D.1个D3.下列各数3.57，0.333，2.13131331（相邻两个1之间3的个数逐次多1），其中无理数的个数为（）A2个B3个C4个D5个B4.有一个数值
10、转换器，原理如下，当输x=81时，输出的y是（）输入x取算术平方根是无理数输出y是有理数A.9 B.3 C.D.3 3C 5.下列说法正确的有_.无理数都是实数；实数都是无理数；无限小数都是有理数；带根号的数都是无理数；不带根号的数都是有理数.解析:2的平方根及立方根均为无理数,共3个；3的平方根及立方根均为无理数,共3个；4的立方根是无理数,共1个；5的平方根及立方根均为无理数,共3个;6的平方根及立方根均为无理数,共3个;7的平方根及立方根均为无理数,共3个;8的平方根是无理数,共2个;9的立方根是无理数,共1个;10的平方根及立方根均为无理数,共3个.综上,可得无理数共22个.故填22.
11、6.在0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的平方根及立方根中，无理数有个.227.把下列各数填入相应的集合内：935646.04339313.0有理数集合 无理数集合 ：实数集合 ：35399646.0433935646.04339313.00.138.已知实数x,y满足关系式 +|y2-1|=0.(1)求x,y的值;(2)判断 是有理数还是无理数.解:(1)由题意,得x-2=0,y2-1=0,解得x=2,y=1.(2)当x=2,y=1时,=,是无理数;当x=2,y=-1时,=2,是有理数.9.如图是44的网格,每个小正方形的顶点叫做格点,且每个小正方形的边长为1.(1)求图(a)中正
12、方形ABCD的面积与边长.(2)依照图(a)的作法,在图(b)的网格中作一个正方形,使它同时满足下列两个要求:所作的正方形的顶点必须都在格点上;所作的正方形的边长为.解:(1)正方形ABCD的面积为44-4 31=10,则正方形ABCD的边长为 .(2)如图.小故事：2500年前，当时的数学家毕达哥拉斯认为“宇宙中存在的数都是有理数”，拥护他的人认为毕达哥拉斯是至高无上的，他所说的一切都是真理但后来有一位年轻学者希伯苏斯发现边长为1的正方形的对角线的长不能用有理数来表示，这个发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条，为此希伯苏斯被投入大海他为真理献出了宝贵的生命，但真理是不可战胜的后来人们正视了希伯索斯的发现，也就是我们前面谈到的x22中的x不是有理数通过这个故事，要向希伯苏斯学习什么？课堂延伸 我们学习他为追求真理而大无畏的精神现在所学的知识都是前人总结出来的，我们一方面应积极地学习这些经验，另一方面我们也不能死搬教条，要敢于质疑，积极探索.课堂小结实数有理数无限不循环小数叫做无理数.无理数正无理数负无理数
