1、 连续函数的运算与初等函数的连续性连续函数的运算与初等函数的连续性第十节第十节 连续函数的运算连续函数的运算与初等函数的连续性与初等函数的连续性2022-12-121由连续函数的定义和极限的四则运算法则由连续函数的定义和极限的四则运算法则,有有一、连续函数的和、差、积及商的连续性一、连续函数的和、差、积及商的连续性 定理定理1 1.)0)()()(),()(),()(,)(),(000处也连续处也连续在点在点则则处连续处连续在点在点若函数若函数xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 例如例如,),(cos,sin内连续内连续在在xx.csc,sec,cot,tan在其定义域内连续在其定义域内
2、连续故故xxxx2022-12-122例如例如,2,2sin上单调增加且连续上单调增加且连续在在 xy.1,1arcsin上上也也是是单单调调增增加加且且连连续续在在故故 xy;1,1arccos上单调减少且连续上单调减少且连续在在同理同理 xy.,cot,arctan上单调且连续上单调且连续在在 xarcyxy反三角函数在其定义域内皆连续反三角函数在其定义域内皆连续.定理定理2如果函数如果函数y=f(x)在其定义区间在其定义区间 是是连续连续且单调增加且单调增加fD1()yfx (或减少或减少),则它的反函数则它的反函数 在在 上也上也连续连续且单调增加且单调增加fR(或减少或减少)二、反函
3、数与复合函数的连续性二、反函数与复合函数的连续性 2022-12-123000lim(),(),lim()()3lim().xxxxxxxaf uafxf afx 若若函函数数在在点点 连连续续 则则有有 定定理理注注 1.1.内函数的极限存在内函数的极限存在,外函数在该极限点连续外函数在该极限点连续,则求复则求复合函数的极限时极限符号可以与外函数符号互换合函数的极限时极限符号可以与外函数符号互换;2.().ux 变变量量代代换换的的理理论论依依据据例例8 8.)1ln(lim0 xxx 求求.1 xxx10)1ln(lim 原式原式)1(limln10 xxx eln 解解2022-12-1
4、24例例9.1lim0 xexx 求求.1)1ln(lim0yyy 原式原式解解,1yex 令令),1ln(yx 则则.0,0yx时时当当yyy10)1ln(1lim 00000(),(),(),().uxxxxuyf uuuyfxxx 设设函函数数在在点点连连续续 且且而而函函数数在在点点连连续续 则则复复合合函函数数在在点点也也连连续续定理定理4 422cos,cos.yuuxyx 是是连连续续函函数数 故故复复合合函函数数 也也是是连连续续函函数数注注定理定理4 4是定理是定理3 3的特殊情况的特殊情况.2022-12-125例例 求求.)21(limsin30 xxx解解原式原式eli
5、m0 x)21ln(sin3xx说明说明 若若,0)(lim0 xuxx则有则有,)(lim0 xvxx)()(1lim0 xvxxxue)(1ln)(lim0 xuxvxxe)()(lim0 xuxvxxelim0 xx36ex23sin0limln(1 2)xxxe 2022-12-126cos2(1)(1)limsinxexxx 求下列函数极限：求下列函数极限：cos22lim(1)limsinxexxxx 12(2)limlnln(2)nnnn limln2nnnn 原原式式2limln(1)2nnn 2lim ln(1)2nnn 2lnlim(1)2nnn 2lim2lnnnne 2
6、ln2e 2022-12-127三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.)1,0(aaayx指数函数指数函数;),(内单调且连续内单调且连续在在)1,0(log aaxya对数函数对数函数;),0(内单调且连续内单调且连续在在 xy ,),0(内连续内连续在在 ,不同值不同值讨论讨论(均在其定义域内连续均在其定义域内连续 )三、初等函数的连续性三、初等函数的连续性 2022-12-128其中定义区间是指包含在定义域内的区间其中定义区间是指包含在定义域内的区间.定理定理6 6 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连续的内都是连续
7、的.定理定理5 5 基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的.初等函数仅在其定义区间内连续初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一在其定义域内不一定连续定连续;注注基本初等函数在定义域内连续基本初等函数在定义域内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续连续函数的复合函数连续一切初等函数一切初等函数在在定义区间内定义区间内连续连续2022-12-129例如例如,1cos xy,4,2,0:xD这些孤立点的邻域内没有定义这些孤立点的邻域内没有定义.,)1(32 xxy,1,0:xxD及及在在0 0点的邻域内没有定义点的邻域内没有定义.),
8、1 上连续上连续函数在区间函数在区间2arcsin(1)ln(1),(1)(2)xxyxxyeyxx 例如例如在其定义区间内都是连续函数在其定义区间内都是连续函数.2022-12-1210023lim(),lim(),lim().xxxf xf xf x 求函数求函数32233()6xxxf xxx 的连续区间的连续区间,并求并求2(3)(1)(3)(2)xxxx 2132xxx 32233()6xxxf xxx 因因解解(,3)(3,2)(2,)所以所以 的连续区间为的连续区间为()f x2022-12-12113220033 lim()lim6xxxxxf xxx 而而3222233lim
9、()lim6xxxxxf xxx 3223333lim()lim6xxxxxf xxx 2011lim22xxx 221lim2xxx 2318lim25xxx 2022-12-1212o 皮肌炎是一种引起皮肤、肌肉、心、肺、肾等多脏器严重损害的，全身性疾病，而且不少患者同时伴有恶性肿瘤。它的1症状表现如下：o 1、早期皮肌炎患者，还往往伴有全身不适症状，如-全身肌肉酸痛，软弱无力，上楼梯时感觉两腿费力；举手梳理头发时，举高手臂很吃力；抬头转头缓慢而费力。皮肌炎图片皮肌炎的症状表现 函数函数2()ln(9)f xx 的连续区间是的连续区间是()()(1)(,3);(2)(3,);(3)3,3;
10、(4)(3,3).(4)(4)2022-12-121421,2().sin,2xxef xxx 讨讨论论函函数数在在其其定定义义域域内内的的连连续续性性解解()(,),f x 函函数数 的的定定义义域域为为因因为为122,(),2,().xxf xexf x 当当时时 为为初初等等函函数数 所所以以时时 是是连连续续的的,2,().xf x 同同理理 当当时时 也也是是连连续续的的2,x 当当时时1222lim()lim0 xxxf xe 22lim()limsin1xxf xx ,2().xf x 所所以以 在在 时时 不不连连续续2022-12-1215注注 初等函数求极限的方法初等函数求
11、极限的方法:代入法代入法.000lim()()()xxf xf xx定定义义区区间间例例1010.1sinlim1 xxe求求1sin1 e原式原式.1sin e解解例例1111.11lim20 xxx 求求解解)11()11)(11(lim2220 xxxxx原式原式11lim20 xxx20.0 消去未定式消去未定式2022-12-1216求极限求极限1limarctanxxxex；解解1()lim,1,arctanxxxef xxx 因因为为 是是初初等等函函数数 在在点点 处处有有定定义义于是于是1limarctanxxxex(1)f 11arctan1e 4(1)e 2022-12-
12、1217000()()lim()()nnxxmmPxPxQxQx 归纳求极限的常见方法归纳求极限的常见方法:2.2.利用重要极限利用重要极限0sinlim1,xxx 101lim(1)lim(1)xtxttex3.利用函数的连续性利用函数的连续性00lim()()xxf xf x 过程过程,常常需要因式分解、约分、通分或分子分母同乘以函常常需要因式分解、约分、通分或分子分母同乘以函数数.来化简来化简.记住结论记住结论:型的求极限型的求极限1.利用极限的四则运算法则利用极限的四则运算法则,以及对于以及对于0,0 2022-12-12184.4.利用无穷小量与无穷大量的关系及无穷小的等价代换利用无
13、穷小量与无穷大量的关系及无穷小的等价代换.5.5.利用数列求和公式和基本极限利用数列求和公式和基本极限.11111 21 2 31 2nxn 22212 33 4(1)nxn n 1 1 1 11121 2()22 3 3 411n nn 比如比如lim2nnx 故故 lim.nnx求求2022-12-12196.6.利用对数方法求幂指函数极限利用对数方法求幂指函数极限()()ln()()()0)g xg xf xyf xef x 例如例如 求求1111lim().2xxxxx ()00lim ln()limg xxxf xxxye 111limln21xxxxe 解解12ln23e 两两边边
14、取取极极限限有有122()3 1111lim()2xxxxx 2022-12-12207.7.利用极限存在准则利用极限存在准则,证明极限的存在证明极限的存在,并求极限并求极限.1110,()(1,2,0)lim2nnnnnauuunauu 且且，求求比如比如:lim,nnu 故故存存在在1211 (1)(1)122nnnuaauau 而而，11 ()2nnnauuu 因因为为解解,nnauau,nu则则有有下下界界1 nnnuuu 则则,从从而而单单减减；2022-12-122111limlim()2nnnnnauuu 1()2aAAA 则则有有 Aa limnnua 故故lim,0nnuAA
15、a设设解得解得2Aa2022-12-1222思考题思考题 若若)(xf在在0 x连连续续，则则|)(|xf、)(2xf在在0 x是是否否连连续续？又又若若|)(|xf、)(2xf在在0 x连连续续，)(xf在在0 x是是否否连连续续？2022-12-1223思考题解答思考题解答)(xf在在0 x连续，连续，)()(lim00 xfxfxx)()()()(000 xfxfxfxf 且且)()(lim00 xfxfxx )(lim)(lim)(lim0002xfxfxfxxxxxx)(02xf 故故|)(|xf、)(2xf在在0 x都连续都连续.2022-12-1224但反之不成立但反之不成立.例例 0,10,1)(xxxf在在00 x不不连连续续但但|)(|xf、)(2xf在在00 x连连续续2022-12-1225
