1、1 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限 无穷小的比较无穷小的比较 函数的连续与间断函数的连续与间断 连续函数的运算与性质连续函数的运算与性质掌握掌握：函数的表示法，基本初等函数的性质及其图形，无穷小的比较方法，极限四则运算法则。熟悉熟悉：极限的性质，两个重要极限的应用，函数间断点类型的判别，闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)及其简单应用。理解理解：函数、复合函数、反函数、隐函数、分段函数和初等函数的概念，无穷小的概念及基本性质，函数连续性的概念(含左连续与右连续)。了解了解：函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性，数列极限和函数极限(包括左极限与右极限
2、)的概念，无穷大的概念及其与无穷小的关系，极限存在的两个准则，连续函数的性质和初等函数的连续性重点：重点：函数的概念、复合函数和反函数、基本初等函数，数列极限的概念、性质与四则运算，无穷小量的定义、性质和运算，函数极限的概念、基本性质，无穷小量阶的概念，函数的连续性。难点难点：分段函数，函数间断点类型的判别，闭区间上连续函数性质的简单应用第一章分析基础 函数 极限 连续 研究对象 研究方法 研究桥梁极限与连续一、连续函数的算术运算一、连续函数的算术运算二、复合函数的连续性二、复合函数的连续性四、闭区间上连续函数的性质四、闭区间上连续函数的性质第十一节第十一节 连续函数的运算与性质连续函数的运算
3、与性质三、初等函数的连续性三、初等函数的连续性,)(lim0axfxx,)(lim0bxgxx则baxgxfxgxfxxxxxx)(lim)(lim)()(lim000baxgxfxgxfxxxxxx)(lim)(lim)()(lim000)0()(lim)(lim)()(lim000bbaxgxfxgxfxxxxxx的极限存在、函数时设当)()(,0 xgxfxx 一、连续函数的算术运算连续函数的四则运算 设函数 f(x)、g(x),fi(x)在点 x0 处连续,)()(lim00 xfxfxx则),2 ,1()()(lim00nxfxfiixx即,)()(lim00 xgxgxx )()(
4、)()(lim 000 xgxfxgxfxx(1)有限个在点 x0 处连续函数的和仍是一个 在点 x0 处连续的函数.即 )()()()()()(lim 00201210 xfxfxfxfxfxfnnxx)()()()(lim 000 xgxfxgxfxx(2)有限个在点 x0 处连续的函数之积仍是一个在点 x0 处的连续函数.即)()()()()()(lim 00201210 xfxfxfxfxfxfnnxx0)()()()(lim)(lim)()(lim 000000 xgxgxfxgxfxgxfxxxxxx(3)两个在点 x0 处连续函数的商,当分母不为 零时,仍是一个在点 x0 处连续
5、函数.即例如,在,sin xxcos),(内连续,故,cossintanxxx ,sincoscotxxx ,cos1secxx xxsin1csc 在其定义域内连续.完Oy y =f 1(x)的图形只是 y=f(x)的图形绕直线 y=x 翻转 180 而成,故单调性、连续性仍保持.从几何上看:x=f 1(y)与 y=f(x)的图形相同,连续性保持.从而,单调性、)(1yfx)(xfy)(1xfy定理定理2 2 严格单调递增（递减）的连续函数必有严格单调递增（递减）的连续函数必有严格单调递增（递减）的连续反函数严格单调递增（递减）的连续反函数 例如例如,2,2sin上上单单调调增增加加且且连连
6、续续在在 xy.1,1arcsin上上也也是是单单调调增增加加且且连连续续在在故故 xy;1,1arccos上上单单调调减减少少且且连连续续在在同同理理 xy.),(cot,arctan上上单单调调且且连连续续在在 xarcyxy反三角函数在其定义域内皆连续反三角函数在其定义域内皆连续.二、复合函数的连续性定理2若,)(lim0axxx 函数)(uf在点a处连续,则有)()(lim0afxfxx ).(lim0 xfxx 证)(uf在点au 处连续,0 ,0 当|au时,恒有,|)()(|afuf又,)(lim0axxx 对上述,0 当|00 xx时,恒有|)(|auax ,结合上述两步得,0
7、 ,0 当结合上述两步得,0 ,0 当,|00 xx时,恒有|)()(|)()(|afxfafuf )()(lim0afxfxx ).(lim0 xfxx 意义1.2.极限符号可以与连续函数符号互换;)(xu 的理论依据.定理3给出了变量代换定理3设函数)(xu 在点0 x处连续,且,)(00ux 而函数)(ufy 在点0uu 处连续,则复合函数)(xf 在点0 x处也连续.注意定理4是定理3的特殊情况.例如,xu1 在),0()0,(内连续,uysin 在),(内连续,xy1sin 在),0()0,(内连续.例 1求.)1ln(lim0 xxx 解xxx)1ln(lim0 xxx10)1ln
8、(lim xxx10)1(limlneln.1 例 2求.)1cos(limxxx 解 xxxxxxx1)1)(1(limcos xxx11limcos0cos.1)1cos(limxxx xxxxee202sinlimsin0lim10 e求xxe2sin0lim例解利用复合函数的连续性推论求极限利用复合函数的连续性推论求极限求xxxsinlnlim0y=ln u 在其定义域内连续,0 sin处无定义在点xxxu,1sinlim 0 xxx但故xxxsinlnlim001ln sinlim ln0 xxx（y=ln u 在 u=1 处连续）例解三、初等函数的连续性 基本初等函数在其定义域内是
9、连续的.初等函数在其有定义的区间内连续.注意两者的区别！定理定理 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连续的内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间.1.初等函数仅在其定义区间内连续初等函数仅在其定义区间内连续,在其定在其定义域内不一定连续义域内不一定连续;例如例如,1cos xy,4,2,0:xD这些孤立点的去心邻域内没有定义这些孤立点的去心邻域内没有定义.注意注意,)1(32 xxy0:xD及.1 x在0点的邻域内没有定义,函数在区间),1 上连续.2.初等函数在连续点求极限可用初等函数在连续点求极限可用代入法代入法.)()()(li
10、m000定定义义区区间间 xxfxfxx例 完求.12lim2 xexx解因为12)(xexfx是初等函数,且20 x是其定义区间内的点,所以12)(xexfx在点20 x处连续,于是12lim2 xexx1222 e.52e 例例.1sinlim1 xxe求求1sin1 e原原式式.1sin e例例.11lim20 xxx 求求解解解解)11()11)(11(lim2220 xxxxx原原式式11lim20 xxx20.0 求xxxxarctan)2ln(lim21xxxxarctan)2ln(lim2141arctan)12ln(12 连续性给极限运算带来很大方便.例解幂指函数因为,)()
11、(ln)()(xuxvxvexu 故幂指函数可化为复合函数.易见:若axu)(lim,0,)(limbxv 则)(ln)()(lim)(limxuxvxvexu )(ln)(limxuxve abeln.ba 即bxvaxu)()(lim注意公式成立的条件例求.)2(lim110 xxxex称为幂指函数.解11lim01100)2(lim)2(lim xxxxxxxexex12 .21 完形如)()()(xvxuxf 的函数)0)(xu例 讨论的的连连续续性性xxxxfnnn 2211lim)(若有间断点判别其类型，并作出图形解)1|(|0lim qqnn由由于于则则若若故故1|xnnnxxx
12、xf2211lim)(x 则则若若1|xnnnxxxxf2211lim)(1)1(1)1(lim22 nnnxxxx 则则若若1|x0)(xf 1|1|01|)(xxxxxxf外外连连续续除除去去1)(xxf时时当当1 x1)01(,1)01(ff1)01(,1)01(ff跃跃间间断断点点）都都是是第第一一类类间间断断点点（跳跳1 x故f(x)在 内连续.例例 讨论函数1(2)1e,2()sin(),2xxf xxx 的连续性.解解 f(x)在(,2)内f(x)=1e1/(x 2)为初等函数,在2,+)内f(x)=sin(/x)也为初等函数,(,2)(2,)在分段点x=2处,有1(2)22li
13、m()lim(1e)1(2)xxxf xf22lim()lim sin()1(2)xxf xxf因此,f(x)在x=2处既左连续又右连续,从而f(x)在x=2处连续.综上所述,f(x)在其定义域(,+)内连续.问题:(1)函数求连续区间(2)函数求间断点以及判断类型(3)利用函数的连续性定参数(4)利用函数的连续性求极限四、闭区间上连续函数的性质定义定义:.)()()()()()()(,),(0000值值小小上上的的最最大大在在区区间间是是函函数数则则称称都都有有使使得得对对于于任任一一如如果果有有上上有有定定义义的的函函数数对对于于在在区区间间IxfxfxfxfxfxfIxIxxfI 例如例
14、如,sgn xy ,),(上上在在 ,2max y;1min y,),0(上上在在 .1minmax yy,sin1xy ,2,0上上在在;0min y,1max y1,yx(0,1),在上无最大值和最小值无最大值和最小值定理定理1(1(有界性和最大值和最小值定理有界性和最大值和最小值定理)在闭区间上连在闭区间上连续的函数有界且一定有最大值和最小值续的函数有界且一定有最大值和最小值.ab2 1 xyo)(xfy ).()(),()(,)(2121xffxffbaxbabaCxf 有有使使得得则则若若注意注意:1.若区间是开区间若区间是开区间,定理不一定成立定理不一定成立;2.若区间内有间断点若
15、区间内有间断点,定理不一定成立定理不一定成立.3.函数的最值可能在区间内取得，也可能在函数的最值可能在区间内取得，也可能在区间的端点处取得。区间的端点处取得。xyo)(xfy 211xyo2)(xfy tan x1,01()113,12xxyf xxxx 二、零点定理与介值定理定定理理 2 2(零零点点定定理理)设设函函数数)(xf在在闭闭区区间间 ba,上上连连续续，且且)(af与与)(bf异异号号(即即0)()(bfaf),那那末末在在开开区区间间 ba,内内至至少少有有函函数数)(xf的的一一个个零零点点,即即至至少少有有一一点点)(ba ，使使0)(f.定义定义:.)(,0)(000的
16、零点的零点称为函数称为函数则则使使如果如果xfxxfx.),(0)(内内至至少少存存在在一一个个实实根根在在即即方方程程baxf ab3 2 1 几何解释几何解释:.,)(轴轴至至少少有有一一个个交交点点线线弧弧与与则则曲曲轴轴的的不不同同侧侧端端点点位位于于的的两两个个连连续续曲曲线线弧弧xxxfy 定定理理 4 4(介介值值定定理理)设设函函数数)(xf在在闭闭区区间间 ba,上上连连续续，且且在在这这区区间间的的端端点点取取不不同同的的函函数数值值 Aaf)(及及 Bbf)(,那那末末，对对于于A与与B之之间间的的任任意意一一个个数数C，在在开开区区间间 ba,内内至至少少有有一一点点，
17、使使得得Cf)()(ba .xyo)(xfy 几何解释几何解释:MBCAmab1 2 3 2x1xyo)(xfy 证证,)()(Cxfx 设设,)(上上连连续续在在则则bax Cafa )()(且且,CA Cbfb )()(,CB ,0)()(ba 由零点定理由零点定理,使使),(ba ,0)(,0)()(Cf 即即.)(Cf .)(至至少少有有一一个个交交点点直直线线与与水水平平连连续续曲曲线线弧弧Cyxfy 推论推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 与最小值与最小值 之间的任何值之间的任何值.例例.)1,0(01423至至少少有有一一根根内内在在区
18、区间间证证明明方方程程 xx证证,14)(23 xxxf令令,1,0)(上上连连续续在在则则xf,01)0(f又又,02)1(f由零点定理由零点定理,使使),(ba ,0)(f,01423 即即.)1,0(01423 内内至至少少有有一一根根在在方方程程 xxMm等等式式的的步步骤骤：利利用用零零点点定定理理证证明明含含 右右边边是是零零的的形形式式）将将要要证证的的等等式式改改写写成成（1)(2xFx，左左式式即即为为辅辅助助函函数数改改写写成成）将将左左边边的的（，从从而而命命题题成成立立满满足足零零点点定定理理两两个个条条件件）验验证证（)(3xF例例.)(),(.)(,)(,)(fba
19、bbfaafbaxf使使得得证证明明且且上上连连续续在在区区间间设设函函数数证证,)()(xxfxF 令令,)(上上连连续续在在则则baxFaafaF )()(而而,0 由零点定理由零点定理,使使),(ba ,0)()(fFbbfbF )()(,0.)(f即即0)()()(212xfxff上连续,且恒为正,例例 设)(xf在,ba对任意的,),(,2121xxbaxx必存在一点证证:,21xx使.)()()(21xfxff令)()()()(212xfxfxfxF,则,)(baCxF)()(21xFxF)()()(2112xfxfxf)()()(2122xfxfxf)()(21xfxf221)(
20、)(xfxf0使,)()(21时当xfxf,0)(xf,0)()(21xFxF故由零点定理知,存在,),(21xx,0)(F即.)()()(21xfxff当)()(21xfxf时,取1x或2x,则有)()()(21xfxff证明:令令 则则 在在 上连续，由于上连续，由于证证 g xfxx g x a,b 故故 afxb,00g a,g b.若若 ，可取，可取 ；0g a xa 若若 ，可取，可取 ；0g b xb 若若 则由定理则由定理2知，存在知，存在 使使 00g a,g b,xa,b,注注 这题结果称为不动点定理这题结果称为不动点定理 ，即有，即有 0gx fxx 五、小结 思考题三个
21、定理三个定理有界性与最值定理；根的存在性定理；介值定理有界性与最值定理；根的存在性定理；介值定理.注意条件注意条件1闭区间；闭区间；2连续函数连续函数这两点不满足上述定理不一定成立这两点不满足上述定理不一定成立解题思路解题思路1.1.直接法直接法:先利用最值定理先利用最值定理,再利用介值定理再利用介值定理;2.2.辅助函数法辅助函数法:先作辅助函数先作辅助函数F(x),再利用零点定理再利用零点定理;思考题思考题假设有一个登山者头天上午假设有一个登山者头天上午8点从山脚开始上山，点从山脚开始上山，晚上晚上6点到达山顶，第二天上午点到达山顶，第二天上午8点从山顶沿原路点从山顶沿原路下山，下午下山，
22、下午6点到达山脚。问该登山者在上、下山点到达山脚。问该登山者在上、下山过程中，会同时经过同一地点吗？为什麽？过程中，会同时经过同一地点吗？为什麽？思考题解答思考题解答会会.结结论论。亦亦即即证证明明），使使，（存存在在一一点点由由零零点点定定理理知知且且上上连连续续，在在则则设设上上连连续续，且且在在、则则数数为为，第第二二天天登登山山的的高高度度函函为为函函数数登登山山者者头头天天登登山山的的高高度度不不妨妨设设山山高高为为.0)(188.0)18(,0)8(188)(),()()(.0)18(,)8(;)18(,0)8(18,8)()().()(,2122112121 fhfhfxfxfxfxffhfhffxfxfxfxfh一一、证证明明方方程程bxax sin，其其中中0,0 ba，至至少少有有一一个个正正根根，并并且且它它不不超超过过ba .二二、若若)(xf在在,ba上上连连续续，bxxxan 21 则则在在,1nxx上上必必有有，使使 nxfxfxfxfn)(.)()()(21 .三三、设设)(xf在在,ba上上连连续续，bdca ,试试证证明明：对对任任意意正正数数qp和和；至至少少有有一一点点,dc ,使使)()()()(fqpxqfxpf .练练 习习 题题今日作业：今日作业：习题习题1-11:1,2,3,4,5,6，预习预习2.1节节 谢谢大家！
