1、二、以二、以 为周期的函数的傅里叶级数为周期的函数的傅里叶级数2三、收敛定理三、收敛定理一、一、三角级数三角级数 正交函数系正交函数系一、三角函数一、三角函数 正交函数系正交函数系 在科学实验与工程技术的某些现象中，常会碰到一种周期运动，最简在科学实验与工程技术的某些现象中，常会碰到一种周期运动，最简所表达的周期运动也称为所表达的周期运动也称为简谐运动简谐运动，其中，其中 为为振幅振幅，为为初相角初相角，A较为复杂的周期运动，则常是几个简谐振动的叠加较为复杂的周期运动，则常是几个简谐振动的叠加nkxkAykkk,2,1),sin(nkTkT ,2,1,2振动的周期为nkkknkkxkAyy11
2、)sin(T振动的周期为)sin(xA单的周期运动，可用正弦函数单的周期运动，可用正弦函数 来描写。来描写。y2T 为为角频率角频率，于是简谐振动，于是简谐振动 的周期是的周期是1.1.三角级数三角级数 10)sin()(nnntnAAtf 10)sincoscossin(nnnnntnAtnAA 10)sincos(2nnnnxbnxaa,200Aa 令令,sinnnnAa ,cosnnnAb ,xt 三角级数三角级数定理定理15.1若级数若级数012|(|)nnnaab(4)收敛收敛,则级数则级数(1)在整个数轴上绝对收敛且一致收敛在整个数轴上绝对收敛且一致收敛.2.2.三角函数系的正交性
3、三角函数系的正交性构成三角级数的基本要素构成三角级数的基本要素:1,cos,sin,cos2,sin2,cos,sin,xxxxnxnx(5)性质性质:cossin0nxdxnxdxcoscos0 ()mxnxdxmnsinsin0 ()mxnxdxmncossin0mxnxdx(7),.任意两个不同函数在上的积分等于零22cossinnxdxnxdx212dx(8)任一个函数平方在任一个函数平方在,上的积分为不为零上的积分为不为零.正交正交具有具有正交性正交性的三角函数系是的三角函数系是正交函数系正交函数系。,a b若两个函数(x),(x)在上可积 且()()0baxx dx(),(),。x
4、xa b则称在上是正交的二、以二、以 为周期的函数的傅里叶级数为周期的函数的傅里叶级数2若在整个数轴上若在整个数轴上 且等式右边级数一致收敛且等式右边级数一致收敛则则定理定理15.215.210)sincos(2)(nnnnxbnxaaxf(9)(10b)1()sin,1,2,nbf xnxdxn(10a)1()cos,0,1,2,naf xnxdxn证证:由定理的条件由定理的条件,f(x)在在-,上连续且可积上连续且可积,对对(9)式逐项积分式逐项积分,得得01()cossin2nnnaf x dxdxanxdxbnxdx00()22af x dxa01()af x dx以以coskx乘乘(
5、9)式两边式两边,得得01()coscos(coscossincos)2nnnaf xkxdxkxanxkxbnxkx01()coscos(coscossincos)2nnnaf xkxdxkxdxanxkxbnxkx dx01()coscos(coscossincos)2nnnaf xkxdxkxdxanxkxbnxkx dx2cos kxdx()cos (1,2,)kf xkxdxak1()coskaf xkxdx同理可得同理可得:1()sinkbf xkxdx定理定理15.2若在整个数轴上若在整个数轴上01()(cossin)2nnnaf xanxbnx(9)且右边的级数一致收敛且右边的
6、级数一致收敛,则有以下关系式则有以下关系式:1()cos,(0,1,2,)naf xnxdxn1()sin (1,2,)nbf xnxdxn(10a)(10b)01()(cossin)2nnnaf xanxbnx 若若 是以是以 为周期且在为周期且在 可积的函数可积的函数,则称按上述公则称按上述公式确定的式确定的 和和 为为 的傅里叶系数的傅里叶系数,相应的三角级数称为相应的三角级数称为 的傅里叶级数的傅里叶级数,记作记作()f x,()f x2nbna()f x(11)三、三、收敛定理收敛定理.按段光滑函数按段光滑函数:()fx()f x若函数若函数 在在 上至多有有限个第一类间断点，且上至
7、多有有限个第一类间断点，且 仅在仅在 上上 ,a b,a b()f x有限个点处不连续且为第一类间断点有限个点处不连续且为第一类间断点,则称则称 是是 上的按段光滑函数。上的按段光滑函数。,a b定义：若定义：若 的导函数的导函数 在在 上连续，则称上连续，则称 在在 上光滑。上光滑。()f x()fx,a b()f x,a b按段光滑函数的性质按段光滑函数的性质:设函数设函数 在区间在区间 是按段光滑，则是按段光滑，则()f x,a b上可积在）（,1baf且上每一点都存在在）（,)0(,2xfba)0()0()(lim0 xftxftxft0()(0)lim(0)tf xtf xfxt上可
8、积。在值后，在点上的上那些至多有限个不存在在补充定义）（,3bafbaf收敛定理收敛定理:2,fx 若以为周期的函数 在，上按段光滑，则在每一点ffx的傅里叶级数收敛于 在点 的左，右极限的算术平均值，即10)sincos(22)0()0(nnnnxbnxaaxfxf的傅里叶系数。为其中fbann,推论：推论：2ff若 是以为周期的连续函数，且在，上按段光滑，则 的.f）上收敛于，傅里叶级数在（注注:(1)收敛定理只是对周期函数而言的；收敛定理只是对周期函数而言的；(2)若若f(x)为以为以2的周期函数，则有的周期函数，则有 21()coscncaf xnxdx21()sincncbf xnx
9、dx。nnab与 可用任一周期的积分算之(3)具体讨论函数的傅里叶展开式时，常只给出函数在一个周具体讨论函数的傅里叶展开式时，常只给出函数在一个周期的表达式，此时要把其视为在整个数轴上的周期函数期的表达式，此时要把其视为在整个数轴上的周期函数 (4)(0)(0)2f xf x(0)(02)2f xf x(0)(2)0)2f xfx 当只给出一个周期的表达式时，傅里叶级数在两端点的值当只给出一个周期的表达式时，傅里叶级数在两端点的值可用可用 上述公式求之上述公式求之.例例1：设：设0,00,)(xxxxf求求 的傅里叶级数展开式的傅里叶级数展开式.f解：解：f函数 及其周期延拓后的图象如图所示，
10、由于由于21)(100 xdxdxxfa时当1n0cos1cos)(1nxdxxnxdxxfanxyO23423显然 是按段光滑的,故由收敛定理，它可以展开成傅里叶级数。f0200cos1sin1|sin1nxnnxdxnnxxn为偶数时当，为奇数时当nnnnn0,2)1(cos1220sin1sin)(1nxdxxnxdxxfbn00120111coscos(1)1cos(1)nnxnxnxdxnnnxdnxnnn 所以在开区间 上），（)3sin313cos92(2sin21)sincos2(4)(xxxxxxfx 在时，上式右边收敛于2202)0()0(ff于是，在于是，在图所示。的傅里
11、叶级数的图象如上f,xO23423y2例例2 2 把下列函数展开成傅里叶级数把下列函数展开成傅里叶级数2,0,0,)(22xxxxxxf解：解：f及其周期延拓的图形如图所示，显然及其周期延拓的图形如图所示，显然 是按段光滑的，是按段光滑的，因此它可以展开成傅里叶级数。因此它可以展开成傅里叶级数。xyO2323计算傅里叶级数如下：令0c200)(1dxxfa2222022373)(11dxxdxxf220220cos)(1cos1cos)(1nxdxxnxdxxnxdxxfan 1)1(4cos2sin21cos2sin212202320232nnnxnxnxnnxnxnxnxnnx220220
12、sin)(1sin1sin)(1nxdxxnxdxxnxdxxfbnnnnnnxnxnxnnxnxnxnxnnx)1(122sin2cos21sin2cos21322202320232所以所以时，当)2,(),0(x132222sin)1(122cos1)1(4)(nnnnxnnnnxxf xxxx4sin43sin34332sin2sin)43(22322202)0()0(ffx时，当所以所以 222251311180222)04(21)00()00(2120ffx时，或当因此因此 2222251311182）（1）（2由 或 都可推得85131112222 xxx5cos513cos31cos8222(1)(2)
