1、线性变换的矩阵表示线性变换的矩阵表示.)()(,10示示能用这样的关系式来表能用这样的关系式来表中任何一个线性变换都中任何一个线性变换都我们自然希望我们自然希望中的一个线性变换中的一个线性变换简单明了地表示出简单明了地表示出关系式关系式中中上节例上节例nnnRRRxAxxT .)(,)(),2,1()(),(,212211为列向量为列向量应以应以那么矩阵那么矩阵有关系有关系可见如果线性变换可见如果线性变换即即为单位坐标向量为单位坐标向量考虑到考虑到为此为此iiinnneTAAxxTTnieTaeeeAeaAeaAea 上页下页返回第1页/共21页.),()(,),()()()(),()(),2
2、,1()(,1111111AxxaaxeTxeTeTxeTxexexTxeeTxTTniaeTTnnnnnnnnii 必满足关系式必满足关系式那么那么使使如果一个线性变换如果一个线性变换反之反之).(,),(,)()(,1nnneTeTARxAxxTTR 其中其中表示表示都能用关系式都能用关系式中任何线性变换中任何线性变换总之总之上页下页返回第2页/共21页)5(,),(),(),(,),(),(),(,)(,)(,)()(,7212121212211222211221221111121ATTTTTaaaTaaaTaaaTTVVTnnnnnnnnnnnnnnnnn 式可表示为式可表示为上上记记
3、为为用这个基线性表示用这个基线性表示下的象下的象如果这个基在变换如果这个基在变换中取定一个基中取定一个基在在中的线性变换中的线性变换是线性空间是线性空间设设定义定义上页下页返回第3页/共21页.,21212222111211矩阵矩阵下的下的在基在基就称为线性变换就称为线性变换那么那么其中其中nnnnnnnTAaaaaaaaaaA .)(,),(),(,21唯一决定唯一决定由基的象由基的象矩阵矩阵显然显然nTTTA 上页下页返回第4页/共21页:.,21满足的关系式满足的关系式必须必须推导变换推导变换保持线性关系的特性来保持线性关系的特性来面根据变换面根据变换下下下的象下的象换换也就给出了这个基
4、在变也就给出了这个基在变下的矩阵下的矩阵在基在基作为线性变换作为线性变换如果给出一个矩阵如果给出一个矩阵TTTTAn nnnnniiiniiiniiinxxxAxxxTTTTxxTxV21212121111,)(,),(),()(,有有中的任意元素记为中的任意元素记为上页下页返回第5页/共21页 )6(,21212121 nnnnxxxAxxxT 即即这个关系式唯一地确定一个变换 T，可以验证所确定的变换 T 是以 A 为矩阵的线性变换，总之，以 A 为矩阵的线性变换 T 由关系式(6)唯一确定。定义7及以上讨论表明，在Vn 中取定一个基以后，由线性变换T可唯一地确定一个矩阵A，由一个矩阵A也
5、可以唯一地决定一个线性变换T。这样，在线性变换与矩阵之间就有一一对应的关系。上页下页返回第6页/共21页.)(,)(,:,)()6(212121 ATxxxATxxxTnnn 有有即按坐标表示即按坐标表示标分别为标分别为下的坐下的坐在基在基与与可见可见由关系式由关系式上页下页返回第7页/共21页.,1,4322313的矩阵的矩阵求微分运算求微分运算取基取基中中在在DpxpxpxpxP 解 ,00000,10001,02002,00303432144321343212432121ppppDpppppDpppppxDpppppxDp上页下页返回第8页/共21页 0100002000030000AD
6、在这组基下的矩阵为在这组基下的矩阵为所以所以上页下页返回第9页/共21页.,)2(;,)1(,)(,3的矩阵的矩阵求求取基为取基为的矩阵的矩阵求求取基为取基为即即性变换性变换平面的线平面的线将向量投影到将向量投影到表示表示中中在在TkjijiTkjij yixkzj yixTxOyTR 解.000010001),(),(,0,)1(kjikjiTkTjjTiiT即即上页下页返回第10页/共21页 ,)2(jiTjTiT.000110101),(),(kjikjiT即即 由上例可见，同一个线性变换在不同的基下有不同的矩阵。上页下页返回第11页/共21页.,;,3121212121APPBBATV
7、PVnnnnnn 么么那那和和次为次为在这两个基下的矩阵依在这两个基下的矩阵依中的线性变换中的线性变换的过渡矩阵为的过渡矩阵为到基到基由基由基中取定两个基中取定两个基线性空间线性空间设设定理定理 定理表明 B 与 A 相似，且两个基之间的过渡矩阵 P 就是相似变换矩阵。上页下页返回第12页/共21页,),(),(,),(),(;,),(),(,212121212121BTATPPnnnnnn 可逆可逆有有按定理的假设按定理的假设证证,),(),(),(),(),(),(1212121212121APPAPPTPTTBnnnnnn 于是于是.,121证毕证毕所以所以线性无关线性无关因为因为APP
8、Bn 上页下页返回第13页/共21页.,1222211211212下的矩阵下的矩阵在基在基求求下的矩阵为下的矩阵为中的线性变换在基中的线性变换在基设设 TaaaaAV 解,0110),(),(2112 ,0110 P即即,01101 P易知易知下下的的矩矩阵阵是是于于是是在在基基12,.0110011001101112212212112221222112111 aaaaaaaaaaaaAPPB上页下页返回第14页/共21页.,987654321,213321BA下的矩阵下的矩阵在基在基求求下的矩阵是下的矩阵是在在设线性变换设线性变换 解,010001100),(),(213321 .00110
9、0010,0100011001 PP易知易知即即上页下页返回第15页/共21页下的矩阵为下的矩阵为在基在基于是于是213,0100011009876543210011000101APPB 010001100321987654.132798465 上页下页返回第16页/共21页.,)(的秩的秩称为线性变换称为线性变换的维数的维数的象空间的象空间线性变换线性变换TVTTn.,).(,rnSTrTARTTAT 的维数为的维数为的核的核则则的秩为的秩为若若的秩就是的秩就是则则的矩阵的矩阵是是若若显然显然定义8上页返回第17页/共21页 线性空间作为一般的立体空间的推广，是一个定义了两种运算，并且这两个运算满足一定规则的集合；线性空间的元素称为向量，因而可以定义线性空间的基与维数，并借助于坐标建立一一对应，利用过渡矩阵，在同一线性空间的两组不同基及坐标之间建立联系。线性变换是研究线性空间联系的工具，是定义在两个线性空间之间的保持线性运算的变换，借助于线性空间的基，可将线性变换同矩阵建立一一对应关系，同一线性变换在不同的基下的矩阵是相似的。上页下页返回第18页/共21页上页下页返回第19页/共21页上页返回下页第20页/共21页
