1、第第2 2章章 静态场分析静态场分析2.2 标量格林定理和唯一性定理2.1 边值问题的分类2.3 稳恒电场分析2.5 镜像法2.6 分离变量法2.4稳恒磁场分析2.1 边值问题的分类u 边值问题的分类 n狄利克雷问题：给定整个场域边界上的位函数值n聂曼问题：给定待求位函数在边界上的法向导数值 n混合边值问题：给定边界上的位函数及其法向导数的线性组合 u 惟一性定理：在给定边界条件下，泊松方程或拉普拉斯方程的解 是惟一的。用反证法可以证明。()f s()f sn12()()f sfsn惟一性定理为某些复杂电磁问题求解方法的建立提供了理论根据。镜像法就是惟一性定理的直接应用。*2.2 标量格林定理
2、和唯一性定理2.3.1 静态场特性1.静态场基本概念 静态场是指电磁场中的源量和场量都不随时间发生变化的场。静态场包括静电场、恒定电场及恒定磁场，它们是时变电磁场的特例。静电场是指由静止的且其电荷量不随时间变化的电荷产生的电场。恒定电场是指导电媒质中，由恒定电流产生的电场。恒定磁场是指由恒定电流或永久磁体产生的磁场，亦称为静磁场。0,0,0VDBttt2.3 稳恒电场分析2.3.2 稳恒场的麦克斯韦方程组 稳恒场与时变场的最本质区别：稳恒场的电场和磁场是彼此独立存在的。fd0 d=dd=dd=0LSVLSSVQElDSHlJSBSf0=0EDHJB0J积分形式？3.静电场的泊松方程和拉普拉斯方
3、程2.3.3 位函数及泊松方程 EVDE()V 2V20静电场基本方程d0ddlVSVElDSV0VEDDE静电场是有散(有源)无旋场，是保守场。泊松方程拉普拉斯方程0无源区域*恒定电场的拉普拉斯方程E c0JE()0 20恒定电场基本方程cd0d0lSElJS00EJcJE导电媒质中的恒定电场具有无散、无旋场的特征，是保守场拉普拉斯方程22222222xyz22222211()rr rrrz22222222111()(sin)sinsinRRRRRRu 拉普拉斯算子直角坐标系圆柱坐标系球坐标系*稳恒场的重要原理和定理1.对偶原理(1)概念：如果描述两种物理现象的方程具有相同的数学形式，并具有
4、对应的边界条件，那么它们解的数学形式也将是相同的，这就是对偶原理，亦称为二重性原理。具有同样数学形式的两个方程称为对偶方程，在对偶方程中，处于同等地位的量称为对偶量。静电场(无源区域)恒定电场(电源外区域)0E0EE E 0Dc0JDEJE20 20 dSqDScdSIJS(2)静电场与恒定电场 对偶方程 对偶量(3)静电场与恒定磁场 对偶方程对偶量(4)有源情况下的对偶关系对偶关系存在不像上述两种情况那样一目了然(5)应用电偶极子和磁偶极子辐射的对偶关系，某些波导中横电波(TE波)和横磁波(TM波)间的对偶关系 静电场(无源区域)恒定磁场(无源区域)0E0H0D0BDEBH202m0dSqD
5、SdmSqBS2R1R例1:已知无限长同轴电缆内、外半径分别为 和 （如图所 示），电缆中填充均匀介质，内外导体间的电位差为 ，外导体接地。求其间各点的电位和电场强度。1R2RU解：根据轴对称的特点和无限长的假设，可确定电位函数满足一维拉普拉斯方程，采用圆柱坐标系1()0rrrrlnArB积分由边界条件1lnUARB20lnARB21122lnlnlnUUABRRRRR 221lnlnRURrR则：E 21lnrUEaRrR2.3.4求电场力的虚位移法 2.4 稳恒磁场分析2.4.1矢量磁位函数 2.4.2库仑规范 2.4.3 标量磁位函数 2.4.4 稳恒磁场的能量 u镜像法概念：在一定条件
6、下，可以用一个或多个位于待求场域边界以外虚设的等效电荷来代替导体表面上感应电荷的作用，且保持原有边界上边界条件不变，则根据惟一性定理，空间电场可由原来的电荷和所有等效电荷产生的电场叠加得到。这些等效电荷称为镜像电荷，这种求解方法称为镜像法。u理论依据：唯一性定理是镜像法的理论依据。2.5 镜像法u应注意的问题：镜像电荷位于待求场域边界之外。将有边界的不均匀空间处理为无限大均匀空间，该均匀空间中媒质特性与待求场域中一致。实际电荷(或电流)和镜像电荷(或电流)共同作用保持原边界处的边界条件不变。待求场域：上半空间 边界：无限大导体平面 边界条件：q导体平面0zddqqpxo1r2r导体平面在空间的
7、电位为点电荷q 和镜像电荷-q 所产生的电位叠加，即012114qrr12rr电位满足边界条件导体平面边界上：02.5.1 点电荷对无限大接地平面的镜像 E 3/23/222222204()()xqxxExyz dxyz d3/23/222222204()()yqyyExyz dxyz d3/23/222222204()()zqz dz dExyz dxyz d1/21/22222220114()()qxyzdxyzd上半空间的电场强度：电位：导体表面感应电荷 导体表面上感应电荷总量 导体表面上感应电荷对点电荷的作用力0222 3/22()SnzqdDExyd 222 3/2d dd d2()
8、SSqx yqdx yqxyd 22016zqFad u 将无限长的线电荷看作无数个点电荷的集合。根据点电荷对无限大接地导体平面的镜像原理，可得到线电荷对应的镜像电荷仍为平行于导体表面的线电荷，其电荷密度为u 待求场域 中的电位u 上半空间的电场l(0)y 201ln2lrr120 10 222llrrEaarr2.5.2 线电荷对无限大接地导体平面的镜像12q11qqRRpdd设想用镜像电荷代替界面上极化电荷的作用，并使镜像电荷和点电荷共同作用，满足界面上的边界条件。当待求区域为介质1所在区域时，在边界之外设一镜像电荷 q11144qqRR12244RRqqDaaRR介质1中任一点的电位和电
9、位移矢量分别为：2.5.3点电荷对无限大介质平面的镜像22qqpR 当待求区域为介质2所在区域时，设一镜像电荷q位于区域1中，且位置与 q 重合，同时将整个空间视为均匀介质2。于是区域2中任一点的电位和电位移矢量分别为：224qqR224RqqDaR在分界面(R=R=R)上，应满足电位和电位移矢量法向分量相等的边界条件：1212nnDD12qqqqqqqq1212qqq 电介质中的电场分布：电介质中的电场分布：12111212qq 1212qq qqqqq22n 当计算上半空间的磁场时 可认为整个空间充满磁导率为1的磁介质，在下半空间有一镜像电流I，与I关于分界面对称(如图所示)。上半空间任一
10、点的磁场为122IIHaarr 设想用镜像电流代替磁化电流的作用，并在界面上保持原有边界条件不变2.5.4 线电流对无限大磁介质平面的镜像n 当计算下半空间磁场时 可认为整个空间充满磁导率为2的磁介质，在上半空间有一镜像电流I，与电流I 位置重合(如图)。下半空间任一点的磁场为n 在分界面(r=r=r)上，磁场满足边界条件：22IIHar1t2tHH1n2nBB1tsinsin22IIHrr111ncoscos22IIBrr2tsin2IIHr22n()cos2IIBr2121III讨论：2121III(1)当 时，说明 与 方向相同，与 方向相反。210,0IIIIII(2)当 时，说明 与
11、 方向相反，与 方向相同。210,0IIIIII221212222121limlim()2IBHIIrr(3)当 有限 时，此时铁磁质中 但 。1220B,IIII 20H(4)当 有限 时，此时 中磁场 为原来的两倍。221,IIII II 2121II 上半空间的磁场：当 有限 时，12磁壁II 2上半空间的磁场：当 有限 时，12由两个半无限大接地导体平面形成角形边界，当其夹角 为整数时，该角域中的点电荷将有个镜像电荷，该角域中的场可以用镜像法求解u 当n=2时：u 该角域外有3个镜像电荷q1、q2和q3，位置如图所示。其中 ,nn123,qqqqqq2.5.5 点电荷对无限大相交导体平
12、面的镜像u 当n=3时：u 角域夹角为/n，n为整数时，有(2n1)个镜像电荷，它们与水平边界的夹角分别为 u n不为整数时，镜像电荷将有无数个，镜像法就不再适用了；当角域夹角为钝角时，镜像法亦不适用。(2),1,2,(1)(2)mmnn及角域外有5个镜像电荷，大小和位置如图所示。所有镜像电荷都正、负交替地分布在同一个圆周上，该圆的圆心位于角域的顶点，半径为点电荷到顶点的距离。3q3qqqqqqu 设一点电荷q位于半径 a 为的接地导体球附近，与球心的距离为d，如图所示。待求场域为r a区域，边界条件为导体球面上电位为零。adqadqq 设想在待求场域之外有一镜像电荷q，位置如图所示。根据镜像
13、法原理，q 和 q在球面上的电位为零。2.5.6 点电荷对导体球面的镜像点电荷与接地导体球周围的电场aa0121()04cqqrr21rqqrqabqda qabqda aqqd2abd22 1/22224 1/2014(2cos)(2cos)qardrdd rdraaadqqc1r2rb在球面上任取一点c，则MN(,)r空间任意点 的电位：(,)r导体球不接地：aqqd2abdaqqqd a au导体球不接地：根据电荷守恒定律，导体球上感应电荷代数和应为零，就必须在原有的镜像电荷之外再附加另一镜像电荷 q=q 22 1/22224 1/2014(2cos)(2cos)qaardrdd rdr
14、aadr0044qqad球外任一点电位：球面上任一点电位：为了保证球面为等位面的条件，镜像电荷q应位于球心处。例3：有一接地导体球壳，内外半径分别为a1和a2，在球壳内外各 有一点电荷q1和q2，与球心距离分别为d1和d2，如图所示。求：球壳外、球壳中和球壳内的电位分布。u 球壳外：边界为r=a2的导体球面，边界条件为根据球面镜像原理，镜像电荷 的位置和大小分别为球壳外区域任一点电位为 2(,)0a 222 1/22 224 1/2022222214(2cos)(2cos)aqrd rdd rd raa外2q2222abd2222aqqd 2a2d2q1q1a1d解：u 球壳内：边界为r=a1
15、的导体球面，边界条件为 根据球面镜像原理，镜像电荷 的位置和大小分别为 球壳内区域任一点电位为 u 球壳中：球壳中为导体区域，导体为等位体，球壳中的电位为零。1(,)0a 1q2111abd1111aqqd 22 1/201112 224 1/2111114(2cos)(2cos)qrd rdad rd raa内用镜像法解题时，一定要注意待求区域及其边界条件，对边界以外的情况不予考虑。u 待求区域：u 边界条件：柱面上电位为零 设想镜像线电荷 位于对称面上，且与圆柱轴线距离为b，则导体柱面上任一点的电位表示为其中：ral1200lnln22llrr 面2212cosradad2222cosra
16、bab2.5.7 线电荷对导体圆柱面的镜像00ln()ln()22llMdaab 00ln()ln()22llNdaab ll 201ln2lrcr2212cosrrddr2222cosrrbbr2abd两平行线电荷的电位分布 在柱面上取两个特殊点M和N，则空间电位为：其中：设想将两导体圆柱面上的电荷用两根平行的线电荷等效，线电荷密度分别为 和 ，其位置如图所示。ll 其等位面是许多圆柱面，若让其中两个等位面分别与两圆柱面重合，即满足两导体柱面为等位面的边界条件。根据惟一性定理，待求区域中的场就由这两个等效线电荷产生。2.5.8带有等量异号电荷的平行长直导体圆柱间的镜像两电轴在空间产生的电位为
17、等位面方程为201ln2lrr222221()()x cyrkrx cy22222212()()11kckxcykk2112111kxck12121ckak2222211kxck22221ckbk22212abdxd22222abdxd221cxan 通常把这两个等效的线电荷称为电轴，该方法也称为电轴法12xxd2221xca2222xcb例4：图为一偏心电缆，内导体半径为a，外导体半径为b，两几何轴线间距离为d，求两等效电轴的位置。只要能求出假想电轴的位置，使两个导体圆柱面分别和电场中两个等位面重合，就满足了导电圆柱面为等位面的边界条件。根据电轴法n两等效电轴的位置分别位于（c，0）和（c，
18、0）处。2221xbc2222xac12dxx22212dbaxd 22222dabxd 221cxbu理论基础u惟一性定理u分离变量法的主要步骤 根据给定的边界形状，选择适当的坐标系，正确写出该坐标系下拉普拉斯的表达式，及给定的边界条件。经变量分离将偏微分方程化简为常微分方程，并给出常微分方程的通解，其中含有待定常数。利用给定的边界条件，确定通解中的待定常数，获得满足边界条件的特解。2.6 分离变量法1.直角坐标系中二维拉普拉斯方程分离变量法u 本征方程的求解(1)当 时22220 xy(,)()()x yX x Y y22221d()1 d()0()d()dX xY yX xxY yyu
19、本征函数2221d()()dxX xkX xx2221d()()dyY ykY yy220 xykk0 xykk01020()XxA xA01020()YyB yB110201020(,)()()x yA xAB yBu 本征方程u 本征值212121(,)(cossin)(coshsinh)mmmmmmmmmx yAk xAk x Bk yBk y(2)当 时，设20 xk(1,2,)xmkkmjj12()eemmk xk xmmmXxAA12()eemmk yk ymmmYyBB或222d()()dmX xk X xx222d()()dmY yk Y yy220 xykk由ymkjk本征方
20、程为：则：1212()cossin()coshsinhmmmmmmmmmmXxAk xAk xYyBk yBk y312121(,)(coshsinh)(cossin)mmmmmmmmmx yAk xAk x Bk yBk y12()eemmk xk xmmmXxAAjj12()eemmk yk ymmmYyBB1212()coshsinh()cossinmmmmmmmmmmXxAk xAk xYyBk yBk y(3)当 时，设20 xk j(1,2,)xmkkm220 xykk由ymkk222d()()dmX xk X xx222d()()dmY yk Y yy 本征方程为：或则：u应用叠
21、加定理，可将三种解叠加组成拉普拉斯方程的通解102010201212112121(,)()()cossincoshsinhcoshsinhcossinmmmmmmmmmmmmmmmmmmx yA xAB yBAk xAk xBk yBk yAk xAk xBk yBk yn 三种解的特点：第一种解中，X(x)和Y(y)为常数或线性函数，说明它们最多只有一个零点；第二种解中，X(x)为三角函数，有多个零点，Y(y)为双曲函数，最多只有一个零点；第三种解中，X(x)为双曲函数，最多有一个零点，而Y(y)为三角函数，有多个零点。解:选直角坐标系，电位函数满足二维拉普拉斯方程 边界条件：例5：一接地金
22、属槽如图所示，其侧壁和底壁电位均为零，顶盖与侧壁绝缘，其电位为U0，求槽内电位分布。22220(1)xy0000(2)00(3)000(4)0(5)xybxaybyxaUybxa设 ，代入式(1)中得:(,)()()x yX x Y y22221d()1d()0()d()dX xY yX xxY yy2221d()()dxX xkX xx 2221d()()dyY ykY yy 220 xykk()sinmmX xAk xsin0mk a(1,2,)mmkma根据边界条件(2)与(3)可知，函数X(x)沿x方向有两个零点，因此X(x)应为三角函数形式，又因为X(0)=0，所以X(x)应选取正弦
23、函数，即由边界条件(3)得：对应的Y(y)函数为双曲函数，且Y(0)=0，于是Y(y)的形式为()sinh()mmY yBya此时，电位可表示为由边界条件(5)知 其中：1(,)sin()sinh()mmmmx yCxyaa011sin()sinh()sin()mmmmmmmUCxbCxaaasinh()mmmCCba 01sin()mmmUCxa0001sin()dsin()sin()daammnmnUxxCxxxaaa2001sin()sin()dsin()d2aanmnmaCmnnCxx xCx xaaa0002sind(1,3,5,)aaUnUx xnan对上式两边同乘以 ，再对x从0
24、到a进行积分，即sin()nxa04(1,3,5,)nUCnn 04(1,3,5,)sinh()nUCnnnba01,3,4(,)sin()sinh()sinh()mUmmx yxymaamba满足边界条件的特解为：例6:一矩形区域边界条件如图所示，求区域内的电位分布。12001V3100sinybabxyo解:从图可见，在 x=0 和 x=a 的两个边界上出现非零情况，将原问题分解为如图所示两种边界条件情况。令101011V10abxyo20202023100sinybabxyo(1)求 ：1(,)x y11(,)sin()sinh()mmmmx yCyxbb14sinh()mVCmmab2
25、211220 xy11111000000000yxaybxaxybVxayb101011V10abxyo类似于“例5”求解过程，形式为：1(,)x y由非零边界条件确定mC011,3,4(,)sin()sinh()sinh()mVmmx yyxmbbmab则：21(,)sin()sinh()mmmmx yDyaxbb13100sin()sin()sinh()mmmmyDyabbb2222220 xy222200 000003100sin()0 0yxaybxaxaybyxybb210033(,)sin()sinh()3sinh()x yyaxbbab可见，当m3时，当m3时：0mD33100/
26、sinh()Dab(2)求求 ：2(,)x y其解为：由非零边界条件得20202023100sinybabxyo则：2.直角坐标系中三维拉普拉斯方程分离变量法2222220 xyz(,)()()()x y zX xY y Z z2222221 d1 d1 d0dddXYZXxYyZz根据本征值的不同取值，可以得到类似于二维情况的解的形式。2221d()()dxX xkX xx 2221d()()dyY ykY yy 2221d()()dzZ zkZ zz 2220 xyzkkku 为了在给定边界条件下，选取适当的通解函数形式，教材表4-5中给出了一些 的典型组合。表中 和 是由边界条件确定的实
27、数。(,)x y zmknk解:选直角坐标系，电位函数满足三维拉普拉斯方程及边界条件2222220 xyz例7:求图示长方形体积内的电位函数。0000,000,0000,000,0000,00,0 xybzcxaybzcyxazcybxazczxaybVzcxayb由边界条件可以判断，特征函数可表示为：()sinmmX xAk x()sinnnY yBk y()sinhmnmnZ zCkz(,)0a y zsin0mk a 1,2,3,mmkma(,)0 x b zsin0nk b 1,2,3,nnknb由边界条件可得：11(,)sin()sin()sinh()mnmnmnnmx y zDk
28、xk ykz电位函数可表示为：2220 xyzkkk由本征值关系可得：22 1/2()()mnmnkab2211(,)sin()sin()sinh()()mnnmmnmnx y zDxyzabab则：最后，由最后一个边界条件得：22 1/2011sin()sin()sinh()()mnnmmnmnVDxycabab上式两端同乘以 ，并对x,y积分，利用三角函数正交性可得：sin()sin()stxyab0222 1/2161,3,5,;1,3,5,sinh()()mnVDmnmnmncab于是所求的电位函数为：0222 1/21,3,5,1,3,5,22 1/216(,)sinh()()sin
29、()sin()sinh()()nmVx y zmnmncabmnmnxyzabab3.3.圆柱坐标系中的分离变量法圆柱坐标系中的分离变量法 2222211()0rr rrrz(,)()()()rzR rZ z 22222dd1 d1 d()0ddddrRZrrR rrZz2221 ddn 2221 ddzZkZz2221 dd()()0ddzRnrkrRrrr该方程的解常用的有四种情况该方程的解常用的有四种情况该方程的解有两种情况该方程的解有两种情况该方程的解有三种情况该方程的解有三种情况()coshsinhmmmmZ zCk zDk zu 的解：的解：00()AB()cossinnnAnBn
30、 20n(1)当时，20n(2)当时，()(2)由于，限定了n必须为正整数。00()Z zC zD()cossinmmmmZ zCk zDk z ，20zk jzmkkmk(2)当时，设 为任意非零实数。20zk zmkkmk(3)当 时，设，为任意非零实数。20zk 时，(1)当2221 ddn u 的的解解:2221 ddzZkZz2221 dd()()0ddzRnrkrR rrru 的解的解22222dd()0ddzRRrrk rn Rrr0000()()()zzR rA Jk rB Nk r20n(1)当时，方程化简为零阶贝塞尔方程，其解的形式为()nnnnR rA rB r20zk(
31、2)当时，方程化简为欧拉方程，其解的形式为()lnR rArB()()()nnznnzR rA Jk rB Nk r220znk(3)当时，方程的解为220,0znk(4)当时，方程的解为n阶贝塞尔方程阶贝塞尔方程例8：在一均匀电场中，放置一无限长的圆柱导体，圆柱的轴线与电场强度的方向垂直，如图所示，求放入圆柱导体后的电场分布。解：按题意应选用圆柱坐标系。导体为等位体，导体内部不存在电场，因而0(0)Era()cosnAn()nnnnR rC rD r1(,)cos()nnnnnnrAnC rD r20n()根据题意可确定，的形式为220,0zkn()R r当时，对应的函数的形式为(,)r于是
32、，电位的形式为：放置圆柱导体之后，使均匀场发生畸变，但远离导体的地方，电场仍然保持均匀状态。0 xEE a由 得相应的电位函数为：E 00(,)|cosrrE xE r 10(,)()cosDrE rr 未放置圆柱导体前，空间电场为均匀场1n 110ACE 比较上两式可知，当时，2n 0nA 当时，于是：1(,)cos()nnnnnnrAnC rD r已知：202(1)cosraEErr 202(1)sinaEErrmax02EEE 根据，得到,0,rara及可见，在处，电场强度最大。20(,)()cos(,02)arE rarr 故圆柱体外部空间的电位为10(,)()cos0DaE aa 1
33、0Daa21Da 边界条件为圆柱导体表面为等位面，取该等位面电位为零，即于是4.4.球坐标系中的分离变量法球坐标系中的分离变量法 222222111()(sin)0sinsinrrrrrr(,)()()()rR r 2222sinddsindd1 d()(sin)0dddddRrRrr2221 ddm 21 dd()(1)ddRrn nRrr221dd(sin)(1)0sinddsinmn n 该方程只讨论电位与方位角无关的情况该方程只讨论电位与方位角无关的情况该方程的解有两种情况该方程的解有两种情况该方程的解有两种情况该方程的解有两种情况0,20m()A 20n 100()R rAB r20
34、n(1)()nnnnR rA rB r20n(1)时，(2)时，的情况不存在。当电位与方位角无关时，即：2221 ddm 的解的解 的解的解21 dd()(1)ddRrn nR rr0nQ当或时，是发散的。而电位应为有限值，所以nQ的解中不含有 项。(1)0(,)(cos)nnnnnnrA rB rP(,)r通过以上分析，电位 的通解为nAnB和 根据给定的边界条件来确定。20n 0000()(cos)(cos)A PB Q 20n()(cos)(cos)nnnnA PB Q(1)时，(2)时，勒让德方程 1dd(sin)(1)0sinddn n 221dd(sin)(1)0sinddsinmn n 的解的解
