1、乘法公式乘法公式2考虑任意两个事件考虑任意两个事件A,B,它们的积事件它们的积事件AB发生的概率发生的概率与它们本身发生的概率之间有什么关系与它们本身发生的概率之间有什么关系?在试验E中,设长方形桌面的面积为S,区域A的面积为SA,区域B的面积为SB,区域A与B交集AB的面积为SAB,如图乘法公式乘法公式3乘法公式乘法公式4于是得到乘法公式或者这个公式说明这个公式说明:任意两个任意两个事件的积事件发生的概事件的积事件发生的概率等于其中一个事件发率等于其中一个事件发生的概率乘以另一个事生的概率乘以另一个事件对此事件的条件概率件对此事件的条件概率.例例1 15解:设事件A表示一年级学生,事件B表示
2、男生,由题意得到概率例例1 16一年级男生意味着既是一年级学生又是男性,即事件A与B同时发生,可用积事件AB表示根据乘法公式,得到概率例例2 27解:设事件A表示刮风,事件B表示下雨.既刮风又下雨意味着事件A与B同时发生,可用积事件AB表示由题意得到概率例例2 28所求在刮风的条件下,下雨的概率为条件概率P(B|A),根据乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)得到条件概率例例3 39在仓库内同时装有两种报警系统在仓库内同时装有两种报警系统A与与B,当报警系统当报警系统A单独使用时单独使用时,其有效的概率为其有效的概率为0.92,当报警系统当报警系统B单单独使用时独使用时,其有效的概率为其有效
3、的概率为0.90,在报警系统在报警系统B有效的有效的条件下条件下,报警系统报警系统A有效的概率为有效的概率为0.93.若发生意外时若发生意外时,求两种报警系统中至少有一种报警系统有效的概率求两种报警系统中至少有一种报警系统有效的概率解:设事件A表示报警系统A有效,事件B表示报警系统B有效,由题意得到概率P(A)=0.92P(B)=0.90P(A|B)=0.93例例3 310两种报警系统中至少有一种报警系统有效,意味着报警系统A有效或报警系统B有效,即事件A发生或事件B发生,可用和事件A+B表示根据1.2加法公式与乘法公式,得到概率P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)
4、-P(B)P(A|B)=0.92+0.90-0.900.93=0.983所以两种报警系统中至少有一种报警系统有效的概率为0.983例例4 411口袋里装有口袋里装有7个黑球与个黑球与2个白球个白球,每次任取每次任取1个球个球,不放不放回取两次回取两次,求求:(1)两次都取到黑球的概率两次都取到黑球的概率(2)两次取到球的颜色不一致的概率两次取到球的颜色不一致的概率解:设事件A表示第一次取到黑球,事件B表示第二次取到黑球例例4 412(1)两次都取到黑球,意味着第一次取到黑球且第二次也取到黑球,即事件A与B同时发生,可用积事件AB表示根据乘法公式,得到概率例例4 413例例4 414根据1.2加
5、法公式的特殊情况与乘法公式,得到概率例例5 515设设A,B为两个事件为两个事件,且已知概率且已知概率P(A)=0.8,P(B)=0.6,若若概率概率P(B|A)=0.7,则概率则概率P(A+B)=.解:根据1.2加法公式与乘法公式,得到概率P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B|A)=0.8+0.6-0.80.7=0.840.84乘法公式与条件概率乘法公式与条件概率16考虑事件A与B,在它们发生的概率都不为零的情况下,若事件B对A的条件概率不受事件A发生与否的影响,即条件概率P(B|A)=P(B)则根据乘法公式P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B
6、)得到条件概率P(A|B)=P(A)说明事件说明事件A对对B的条件概率也不受事件的条件概率也不受事件B发生与否的发生与否的影响影响事件事件相互独立相互独立17定义定义1 1.3 3若事件A与B中一个事件对另外一个事件的条件概率不受另外一个事件发生与否的影响,即条件概率P(B|A)=P(B)或条件概率P(A|B)=P(A),则称事件事件A与与B相互独立相互独立事件事件相互独立相互独立18如果事件如果事件A与与B相互相互独立独立事件B发生的可能性不受事件A发生与否的影响事件A发生的可能性不受事件B发生与否的影响意味着意味着意味着意味着事件事件相互独立相互独立19事件独立与条件概率事件独立与条件概率
7、20如果事件A与B相互独立,这时有条件概率P(B|A)=P(B)与条件概率P(A|B)=P(A)根据乘法公式得到概率P(AB)=P(A)P(B)事件独立与条件概率事件独立与条件概率21如果概率P(AB)=P(A)P(B),根据乘法公式得到条件概率P(B|A)=P(B)或条件概率P(A|B)=P(A)说明事件A与B相互独立根据上面的讨论得到根据上面的讨论得到结论结论:事件事件A与与B相互相互独立独立,等价于概率等价于概率P(AB)=P(A)P(B)事件独立与事件互斥事件独立与事件互斥22 事件A与B相互独立,说明事件A是否发生不影响事件B发生的条件概率 事件A与B互斥,说明事件A发生必然导致事件
8、B不发生,从而事件A是否发生影响事件B发生的条件概率事件独立与事件互斥事件独立与事件互斥23 事件A与B相互独立,等价于概率P(AB)=P(A)P(B)而若事件A与B互斥,则概率P(AB)=0事件独立与事件互斥事件独立与事件互斥24 当概率P(A)0,P(B)0时,如果事件A与B相互独立,则有概率P(AB)=P(A)P(B)0于是事件A与B不互斥 如果事件A与B互斥,则有概率P(AB)=0P(A)P(B)于是事件A与B不相互独立根据上面的讨论得到结根据上面的讨论得到结论论:当概率当概率P(A)0,P(B)0时时,事件事件A,B相互独立与事件相互独立与事件A,B互斥不能同时成立互斥不能同时成立.
9、事件相互独立事件相互独立25.考虑n个事件A1,A2,An,若其中任何一个事件发生的可能性都不受其他一个或几个事件发生与否的影响,则称事件A1,A2,An相互独立事件A1,A2,An相互独立,等价于其中任意k个事件积事件的概率等于这k个事件概率的积(k=2,n)事件相互独立事件相互独立26如事件A,B,C相互独立等价于概率同时成立如果如果n个事件个事件A1,A2,An相互独立相互独立,则把其中任意一个或几则把其中任意一个或几个事件换成其对立事件后个事件换成其对立事件后,所得到的所得到的n个事件仍然相互独立个事件仍然相互独立.事件相互独立事件相互独立27如口袋里装有若干个黑球与若干个白球,每次任
10、取1个球,共取两次,设事件A表示第一次取到黑球,事件B表示第二次取到黑球 若不放回抽取,这时事件A发生与否影响事件B发生的条件概率,则事件A与B不相互独立 若放回抽取,这时事件A发生与否不影响事件B发生的条件概率,则事件A与B相互独立特殊情况下的乘法公式特殊情况下的乘法公式28考虑特殊情况下的乘法公式如果事件A与B相互独立,于是乘法公式化为P(AB)=P(A)P(B)它说明它说明:在两个事件相互独立的条件下在两个事件相互独立的条件下,两个事件的两个事件的积事件发生的概率等于这两个事件发生概率的积积事件发生的概率等于这两个事件发生概率的积特殊情况下的乘法公式特殊情况下的乘法公式29特殊情况下的乘
11、法公式可以推广,它对于n个事件也是适用的.如果事件A1,A2,An相互独立,则有概率P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An)例例6 630口袋里装有口袋里装有7个黑球与个黑球与2个白球个白球,每次任取每次任取1个球个球,放回放回取两次取两次,求两次取到球的颜色一致的概率求两次取到球的颜色一致的概率.解:设事件A表示第一次取到黑球,事件B表示第二次取到黑球.例例6 631根据1.2加法公式的特殊情况与乘法公式的特殊情况,得到概率例例6 632例例7 733甲、乙两人相互独立向同一目标各射击一次甲、乙两人相互独立向同一目标各射击一次,甲击甲击中目标的概率为中目标的概率为0.4,乙击中目标
12、的概率为乙击中目标的概率为0.3,求求:(1)甲、乙两人中恰好有一人击中目标的概率甲、乙两人中恰好有一人击中目标的概率(2)甲、乙两人中至少有一人击中目标的概率甲、乙两人中至少有一人击中目标的概率解:设事件A表示甲击中目标,事件B表示乙击中目标,由题意得到概率P(A)=0.4P(B)=0.3例例7 734根据1.2加法公式的特殊情况与乘法公式的特殊情况,得到概率例例7 735=P(A)(1-P(B)+(1-P(A)P(B)=0.4(1-0.3)+(1-0.4)0.3=0.46所以甲、乙两人中恰好有一人击中目标的概率为0.46例例7 736(2)甲、乙两人中至少有一人击中目标,可用和事件A+B表
13、示.由于甲、乙两人相互独立射击,说明事件A与B相互独立根据1.2加法公式与乘法公式的特殊情况,得到概率P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.4+0.3-0.40.3=0.58所以甲、乙两人中至少有一人击中目标的概率为0.58例例8 837甲、乙、丙三人相互独立破译密电码甲、乙、丙三人相互独立破译密电码,甲破译密电甲破译密电码的概率为码的概率为0.3,乙破译密电码的概率为乙破译密电码的概率为0.4,丙破译密丙破译密电码的概率为电码的概率为0.5,求密电码被破译的概率求密电码被破译的概率.解:设事件A表示甲破译密电码,事件B表示乙破译密电码,事件C
14、表示丙破译密电码.由题意得到概率P(A)=0.3P(B)=0.4P(C)=0.5例例8 838密电码被破译,意味着甲、乙、丙三人中至少有一人破译密电码,可用和事件A+B+C表示它包括恰好有一人破译密电码、恰好有两人破译密电码及恰好三人都破译密电码三类情况,由于直接计算其概率比较麻烦,因此考虑它的对立事件例例8 839根据1.2加法公式的特殊情况与乘法公式特殊情况的推广,得到概率P(A+B+C)=1-(1-P(A)(1-P(B)(1-P(C)=1-(1-0.3)(1-0.4)(1-0.5)=0.79所以密电码被破译的概率为0.79例例9 940解:根据1.2加法公式与乘法公式的特殊情况,有P(A
15、+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)例例9 941将已知数值代入,得到关系式即有因此概率乘法公式总结乘法公式总结42乘法公式乘法公式对于任意两个事件A,B,都有概率P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)乘法公式总结乘法公式总结43乘法公式的特殊情况乘法公式的特殊情况如果事件A,B相互独立,则有概率P(AB)=P(A)P(B)乘法公式特殊情况的推广乘法公式特殊情况的推广如果事件A1,A2,An相互独立,则有概率P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An)乘法公式总结乘法公式总结44在应用乘法公式时,应该首先判断构成积事件的两个事件是否相互独立,然后应用相应的乘法公式计算概率判断两个事件是否相互独立的方法是:考察在任何一考察在任何一次试验中次试验中,一个事件发生与否影响不影响另外一个一个事件发生与否影响不影响另外一个事件发生的条件概率事件发生的条件概率 若有影响,则这两个事件不相互独立 若无影响,则这两个事件相互独立45
