1、离散型随机变量的数字特征离散型随机变量的数字特征2离散型随机变量的概率分布是对离散型随机变量一种完整的描述,但在很多情况下,并不需要全面考察离散型随机变量的变化情况,而只需知道它的一些综合指标这些综合指标是一些与其有关的数值,称为离散型随离散型随机变量的数字机变量的数字特征特征.它虽然不能完整地描述离散型随机变量,但能用数字描述离散型随机变量在某些方面的重要特征在这些数字特征中,最重要的是离散型随机变量的平离散型随机变量的平均取值以及其取值对于平均值的偏离程度均取值以及其取值对于平均值的偏离程度离散型随机变量的数字特征离散型随机变量的数字特征3考虑在1 000次重复试验中,设离散型随机变量X取
2、值为100有300次,取值为200有700次,即事件X=100发生的频率为0.3,事件X=200发生的频率为0.7,这时可以将离散型随机变量X的概率分布列表如表X100200P0.30.7离散型随机变量的数字特征离散型随机变量的数字特征4这样做是不行的,因为它取值为100与取值为200的可能性是不相同的,所以它取值的平均值不应该是100与200的算术平均值离散型随机变量的数字特征离散型随机变量的数字特征5由于在1 000次重复试验中,它取值为100有300次,取值为200有700次,于是它取值的平均值说明离散型随机变量X的平均值等于它的所有可能取值与对应概率乘积之和,是以所有可能取值对应概所有
3、可能取值对应概率为权重的加权平均率为权重的加权平均由于它取值为200的概率大于取值为100的概率,从而它取值的平均值偏向X=200那个方向数学期望数学期望6定义定义2 2.2.2已知离散型随机变量X的概率分布列表如表Xx1x2Pp1p2数学期望数学期望7数学期望数学期望8数学期望数学期望9数学期望简称为期望或均值,它等于离散型随机变离散型随机变量量X的所有可能取值与对应概率乘积之和的所有可能取值与对应概率乘积之和无论离散型随机变量X的所有可能取值为有穷个或者为无穷可列个,其数学期望可统一记作数学期望数学期望10考察离散型随机变量X,已知它的概率分布列表如表X345P0.10.80.1其数学期望
4、E(X)=30.1+40.8+50.1=4数学期望数学期望11Y147P0.40.20.4再考察离散型随机变量Y,已知它的概率分布列表如表其数学期望E(Y)=10.4+40.2+70.4=4数学期望数学期望12尽管离散型随机变量X与Y有相同的数学期望,但离散型随机变量Y的取值比离散型随机变量X的取值要分散表明仅有数学期望不足以完整说明离散型随机变量仅有数学期望不足以完整说明离散型随机变量的分布特征的分布特征,还必须进一步研究它的取值对数学期望的离散程度离差离差13对于离散型随机变量X,若其数学期望E(X)存在,则称差X-E(X)为离散型随机变量X的离差离差离差X-E(X)当然也是一个离散型随机
5、变量,它的可能取值有正有负,也可能为零,而且它的数学期望等于零,因此不能用离差的数学期望衡量离散型随机变量不能用离差的数学期望衡量离散型随机变量X对数学期望对数学期望E(X)的离散程度的离散程度为了消除离差X-E(X)可能取值正负号的影响,采用离差平方(X-E(X)2的数学期望衡量离散型随机变量X对数学期望E(X)的离散程度方差方差14定义定义2.32.3已知离散型随机变量X的概率分布列表如表Xx1x2Pp1p2方差方差15方差方差16方差方差17显然方差是非负的显然方差是非负的,只有常量的方差等于零只有常量的方差等于零当离散型随机变量X的可能取值密集在数学期望E(X)附近时,方差D(X)较小
6、,反之则方差D(X)较大,因此方差方差D(X)的大小可以说明离散型随机变量的大小可以说明离散型随机变量X取值取值对数学期望对数学期望E(X)的离散程度的离散程度标准标准差差18无论离散型随机变量X的所有可能取值为有穷个或者为无穷可列个，其方差可统一记作离散系数离散系数19由于方差大小的计算是以数学期望作为衡量标准的,因而对于数学期望不相同的两个离散型随机变量,直接比较它们方差的大小,不能说明它们的离散程度,于是要考察标准差与数学期望的比值标准差与数学期望的比值显然,若若|较小较小,则说明离散型随机变量则说明离散型随机变量X的可能取值的可能取值相对密集在其数学期望相对密集在其数学期望E(X)附近
7、附近,反之则说明离散反之则说明离散型随机变量型随机变量X取值的离散程度相对大一些取值的离散程度相对大一些计算方差的简便公式计算方差的简便公式20定理定理2.12.1已知离散型随机变量X的概率分布列表如表Xx1x2Pp1p2则其方差D(X)=E(X2)-(E(X)2其中数学期望值得注意的是值得注意的是:任何一个任何一个离散型随机变量离散型随机变量X的数的数学期望学期望E(X)、方差、方差D(X)都不再是随机变量都不再是随机变量,而是而是某个确定的常量某个确定的常量.一般情一般情况下况下,数学期望数学期望E(X2)(E(X)2例例1 121例例1 122因而任取1件商品获利X元的概率分布列表如表X-213P所以数学期望例例1 123其次计算数学期望所以方差例例2 224X123P已知离散型随机变量已知离散型随机变量X的概率分布列表如表的概率分布列表如表试求试求:(1)数学期望数学期望E(X);(2)方差方差D(X).例例2 225解:(1)数学期望例例2 226(2)首先计算数学期望所以方差例例3 327已知离散型随机变量已知离散型随机变量X的概率分布列表如表的概率分布列表如表X-2-113P试求试求:(1)数学期望数学期望E(X);(2)方差方差D(X).例例3 328解:(1)数学期望例例3 329(2)首先计算数学期望所以方差30
