1、3.1.1 数系的扩充与复数的概念第三章 数系的扩充与复数的引入 本节主要学习复数的扩充与概念。我们用数系是如何发展来引入新课。教学过程通过讨论方程的根，引入新的数i,从而得到复数的代数形式。复数不能比较大小，但有复数的相等，因此，两个复数如果相等，则只能满足实部与虚部分别相等，从而解决有关复数的一些问题。教学过程例题与变式结合，通过例1和变式1巩固掌握复数表示何数时，参数应该满足的条件问题。通过例2和变式2巩固掌握了复数相等的有关问题，从而加深了对复数概念及复数相等的理解。数系的扩充数系的扩充自然数自然数整数整数有理数有理数无理数无理数实数实数NZQR回顾回顾对于一元二次方程对于一元二次方程
2、 没有实数根没有实数根210 x 21i 我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？在几何上，我们用什么来表示实数?12 x 现在我们就引入这样一个数 i，把 i 叫做虚数单位，并且规定：（1）i21；（2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算率(包括交换率、结合率和分配率)仍然成立.形如a+bi(a,bR)的数叫做复数.全体复数所形成的集合叫做全体复数所形成的集合叫做复数集复数集，一般用字母一般用字母C表示表示.实部实部复数的代数形式：复数的代数形式：通常用字母通常用字母 z 表示，即表示，即 zabi),(RbRa 虚部虚部其中其
3、中 称为称为虚数单位虚数单位.i复数集复数集C C和实数集和实数集R R之间有之间有什么关系？什么关系？复数复数a+bi000,000.babbab实数纯虚数，虚数非纯虚数，CR 例例1 实数实数m取什么值时，复数取什么值时，复数 是（是（1）实数？）实数？（2）虚数？）虚数？（3）纯虚数？）纯虚数？immz)1(1 解解:（1）当当 ，即，即 时，复数时，复数z 是实数是实数01 m1 m（2）当当 ，即，即 时，复数时，复数z 是虚数是虚数01 m1 m（3）当当 0101mm即即 时，复数时，复数z 是是纯虚数纯虚数1 m由已知准确地找出复数的实部与虚部是关键复数的实部与虚部所满足的不等
4、式（组）的问题，进而求出m的值温温 馨馨 提提 示示变式训练1：当m为何实数时，复数 是（1）实数?（2）虚数?（3）纯虚数?immmZ)1(222 解解:（1）当当 ，即，即 时时，复数复数z 是实数是实数210m 11mm 或（2）当当 ，即，即 时，时，复数复数z 是虚数是虚数210m 11mm 或（3）当当2220,10,mmm即即 时，复数时，复数z 是纯虚数是纯虚数1m 正确列出复数的实部与虚部满足的条件是关键如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等例例2 已知已知 ，其中其中 求求iyyix)3()12(,x yR.xy与解：更具复数相等的定义，得方程组211
5、(3)xyy ，解得解得5,4.2xy,Rdcba 若dicbia ,.acbd复数不能比较大小，但两个复数可以相等，实部与虚部分别相等(2)(2)若若(2x(2x2 2-3x-2)+(x-3x-2)+(x2 2-5x+6)=0-5x+6)=0，求，求x x的值的值.i变式训练变式训练2(1)(1)若若x x，y y为实数，且为实数，且 求求x x，y.y.解解:（1）由）由 即即x=-3,y=4时时，复数复数z 是实数是实数222,4,xyxy且2224,xyxyii（2）当当 ，即，即x=2时，时，复数复数z 是虚数是虚数222320560 xxxx且1.虚数单位i的引入；2.复数有关概念
6、：),(RbRabiaz 复数的代数形式:复数的实部、虚部复数相等虚数、纯虚数dicbia dbca 第二章第二章 推理与证明推理与证明2.1.2 演绎推理1 1、什么是演绎推理？、什么是演绎推理？2 2、什么是三段论？、什么是三段论？3 3、合情推理与演绎推理有哪些区别？、合情推理与演绎推理有哪些区别？4 4、能举出一些在生活和学习中有关演绎、能举出一些在生活和学习中有关演绎 推理的例子。推理的例子。内容：内容：应用应用:1 1、计算、计算2 2、用三段论的形式写出演绎推理用三段论的形式写出演绎推理3 3、证明、证明 本课主要学习演绎推理.从小故事出发,调动学生学习的积极性,让学生初步感受演
7、绎推理的过程;重点是了解演绎推理的含义,能利用“三段论”进行简单的推理.难点是掌握演绎推理的基本方法.另外,从问题入手,引导学生思考探究,在得到演绎推理相关概念的同时又与合情推理做了对比,这样学生的理解和记忆将会更深刻,既突出了重点又突破了难点.为了巩固新知识，探究了3个例题，例题设置难易适度,每个例题后有针对性的变式训练,便于学生巩固和掌握.另外题型涉及到用演绎推理的概念、一般模式去求解问题,培养学生分析问题和解决问题的能力。通过设置难易不同的必做和选做作业，对不同的学生进行因材施教。歌德是歌德是1818世纪德国的一位著名的文艺大师世纪德国的一位著名的文艺大师.有有一位与其文艺思想相左的文艺
8、批评家一位与其文艺思想相左的文艺批评家,生性古怪生性古怪,态度傲慢态度傲慢.天天,歌德与他歌德与他“狭路相逢狭路相逢”,不期而不期而遇遇.这位文艺批评家见歌德迎面走来这位文艺批评家见歌德迎面走来,不仅没有有不仅没有有礼貌地打招呼礼貌地打招呼,反而目中无人反而目中无人,高傲地往前直走高傲地往前直走,并卖弄聪明地大声说并卖弄聪明地大声说:“:“我从来不给傻子让路我从来不给傻子让路!”!”面对这十分尴尬的情景面对这十分尴尬的情景,歌德镇定自若、笑容可歌德镇定自若、笑容可掬掬,谦恭地闪避一旁谦恭地闪避一旁,并机智而礼貌地答道并机智而礼貌地答道:“呵呵呵呵,我可恰恰相反我可恰恰相反.”故作聪明的文艺批评
9、家顿时怔然故作聪明的文艺批评家顿时怔然,讨了个没趣讨了个没趣,只得默然离去只得默然离去.在这故事里在这故事里,无论是文艺批评家还是歌德无论是文艺批评家还是歌德,各自各自都只说了一句都只说了一句,而且话语非常简练而且话语非常简练,极为深刻极为深刻,话中话中有理有理,语中有刺语中有刺.他们的对话他们的对话,体现了演绎推理的三体现了演绎推理的三段论法段论法.(一一)复习回顾复习回顾:合情推理合情推理v.归纳推理是由特殊到一般的推理归纳推理是由特殊到一般的推理;类比推理是类比推理是由特殊到特殊的推理由特殊到特殊的推理.v.一般过程一般过程:从具体问题出发从具体问题出发 观察、分析、比较、观察、分析、比
10、较、联想联想 归纳、类比归纳、类比 提出猜想提出猜想.v.合情推理的结论不一定成立合情推理的结论不一定成立.合情推理合情推理 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为猜想的推理，我们把它们统称为合情推理合情推理。通俗地说，合情推理是指通俗地说，合情推理是指“合乎情理合乎情理”的推理。的推理。合情推理的应用合情推理的应用 数学研究中，得到一个新结论之前，合情推数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论
11、。理常常能帮助我们猜测和发现结论。证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向我们提供证明的思路和方向1.所有的金属都能导电,2.一切奇数都不能被2整除,3.三角函数都是周期函数,4.全等的三角形面积相等 所以铜能够导电.因为铜是金属,所以(2100+1)不能被2整除.因为(2100+1)是奇数,所以是tan 周期函数因为tan 三角函数,那么三角形ABC与三角形A1B1C1面积相等.如果三角形ABC与三角形A1B1C1全等,大前提小前提结论大前提小前提结论观察上述例子有什么特点？观察上述例子有什么特点？1 1、演绎推理：由、演绎推理：由
12、一般一般到到特殊特殊的推理。的推理。所有金属都能导电所有金属都能导电铜铜是金属是金属太阳系大行星以椭圆太阳系大行星以椭圆轨道绕太阳运行轨道绕太阳运行冥王星冥王星是太阳是太阳系的大行星系的大行星奇数都不能被奇数都不能被2 2整除整除20072007是奇数是奇数2007不能被不能被2整除整除冥王星以椭圆形冥王星以椭圆形轨道绕太阳运行轨道绕太阳运行铜能导电铜能导电进一步观察上述例子有几部分组成？各有进一步观察上述例子有几部分组成？各有什么特点？什么特点？大前提大前提小前提小前提结论结论所有金属都能导电所有金属都能导电铜铜是金属是金属太阳系大行星以椭圆太阳系大行星以椭圆轨道绕太阳运行轨道绕太阳运行冥王
13、星冥王星是太阳是太阳系的大行星系的大行星奇数都不能被奇数都不能被2整除整除2007是奇数是奇数2007不能被不能被2整除整除冥王星以椭圆形冥王星以椭圆形轨道绕太阳运行轨道绕太阳运行铜能导电铜能导电 从一般性的原理出发，推出某个特殊从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为情况下的结论，这种推理称为演绎推理演绎推理演绎推理的定义演绎推理的定义:演绎推理的模式演绎推理的模式:“三段论三段论”是演绎推理的一般模式；是演绎推理的一般模式；M MP P（M M是是P)P)S SM(SM(S是是M)M)S SP(SP(S是是P)P)大前提大前提-已知的一般原理；已知的一般原理；小前提小前提
14、-所研究的特殊对象；所研究的特殊对象；结论结论-据一般原理，对特殊据一般原理，对特殊对象做出的判断对象做出的判断MSP若集合若集合M M的所有元的所有元素都具有性质素都具有性质P P，S S是是M M的一个子集，的一个子集，那么那么S S中所有元素中所有元素也都具有性质也都具有性质P P。所有的金属所有的金属(M)(M)都能够导电都能够导电(P)(P)铜铜(S)(S)是金属是金属(M)(M)铜铜(S)(S)能够导电能够导电(P)(P)M MP PS SM MS SP P用集合的观点来理解用集合的观点来理解:三段论推理的依据三段论推理的依据 （1 1）因为指数函数）因为指数函数 是增函数，是增函
15、数，而而 是指数函数，是指数函数，所以所以 是增函数。是增函数。错因：错因：大前提是错误的，所以结论大前提是错误的，所以结论是错误的。是错误的。xay xy21xy21 演绎推理的结论一定正确吗？演绎推理的结论一定正确吗？（2 2）如图：在）如图：在ABCABC中，中，ACBC,CDACBC,CD是是ABAB边上边上的高，求证的高，求证ACDACDBCDBCD。ACDB证明：证明：在在ABCABC中，中，因为因为CDABCDAB，ACACBCBC所以所以ADBD,ADBD,于是于是ACDACD BCD BCD。错因：错因：偷换概念偷换概念（3）因为金属铜、铁、铝能够导电（大前提），而金是金属（
16、小前提），所以金能导电（结论）v错因：错因：推理形式错误。推理形式错误。因为演绎推理是从一般到特殊的推理，铜、铁、铝 是特殊事例，从特殊到特殊的推理不是演绎推理。所有金属都能导电所有金属都能导电铜铜是金属是金属太阳系大行星以椭太阳系大行星以椭圆轨道绕太阳运行圆轨道绕太阳运行冥王星冥王星是太阳是太阳系的大行星系的大行星奇数都不能被奇数都不能被2整除整除2007是奇数是奇数20072007不能被不能被2 2整除整除冥王星以椭圆形冥王星以椭圆形轨道绕太阳运行轨道绕太阳运行铜能导电铜能导电大前提大前提小前提小前提结论结论（3）在演绎推理中，只要前提和推在演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论必定
17、正确。理形式是正确的，结论必定正确。大前提：刑法规定抢劫罪是以非法占有为目的，使用暴力、胁迫或其他方法，强行劫取公私财物的行为。其刑事责任年龄起点为14周岁，对财物的数额没有要求。小前提：小明超过14周岁，强行向路人抢取钱财50元。结论：小明犯了抢劫罪。小明是一名高二年级的学生，17岁，迷恋上网络，沉迷于虚拟的世界当中。由于每月的零花钱不够用，便向亲戚要钱，但这仍然满足不了需求，于是就产生了歹念，强行向路人抢取钱财。但小明却说我是未成年人而且就抢了50元，这应该不会很严重吧？如果你是法官，你会如何判决呢？如果你是法官，你会如何判决呢？演绎推理的特点演绎推理的特点:1 1演绎推理的前提是一般性原
18、理，演绎所得的演绎推理的前提是一般性原理，演绎所得的的结论是蕴含于前提之中的个别、特殊事实，结的结论是蕴含于前提之中的个别、特殊事实，结论完全蕴含于前提之中，因此论完全蕴含于前提之中，因此演绎推理是由演绎推理是由一般一般到特殊到特殊的推理；的推理；2、在演绎推理中，前提于结论之间存在着必然、在演绎推理中，前提于结论之间存在着必然的联系，的联系，只要前提和推理形式是正确的，结论必只要前提和推理形式是正确的，结论必定正确定正确。因此演绎推理是数学中严格的证明工具。因此演绎推理是数学中严格的证明工具。3、在演绎推理是一种收敛性的思维方法，它较、在演绎推理是一种收敛性的思维方法，它较少创造性，但却具有
19、条理清晰、令人信服的论证少创造性，但却具有条理清晰、令人信服的论证作用，有助于科学论证和系统化。作用，有助于科学论证和系统化。合情推理与演绎推理的区别合情推理与演绎推理的区别区区别别推理推理形式形式推理推理结论结论联系联系合情推理合情推理归纳推理归纳推理类比推理类比推理由由部分到整体、个部分到整体、个别到一般别到一般的推理。的推理。由由特殊到特殊特殊到特殊的的推理。推理。结论不一定正确，有待进一步证明。结论不一定正确，有待进一步证明。演绎推理演绎推理由由一般到特殊一般到特殊的的推理。推理。在大前提、小前提在大前提、小前提和推理形式都正确和推理形式都正确的前提下，得到的的前提下，得到的结论一定正
20、确。结论一定正确。合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的方向和思路一般是通过合情推理获得的。推理的方向和思路一般是通过合情推理获得的。推推 理理合情推理合情推理（或然性推理）（或然性推理）演绎推理演绎推理（必然性推理）（必然性推理）归纳归纳(特殊到一般）特殊到一般）类比类比（特殊到特殊）（特殊到特殊）三段论三段论（一般到特殊）（一般到特殊）8.0lg,2lg1计算计算：已知：已知例例m 解：解：),0(lglg)1(aanan,2lg8lg3 2lg38lg 所以所以),0,0(lglglg)2(bababa,108lg8.0lg.1312lg3
21、18lg8.0lg m所以所以大前提大前提小前提小前提结论结论大前提大前提小前提小前提结论结论1 1、下面说法正确的有（、下面说法正确的有（）（1 1）演绎推理是由一般到特殊的推理；）演绎推理是由一般到特殊的推理；（2 2）演绎推理得到的结论一定是正确的；）演绎推理得到的结论一定是正确的；（3 3）演绎推理一般模式是）演绎推理一般模式是“三段论三段论”形式；形式；（4 4）演绎推理的结论的正误与大前提、小前提）演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关。和推理形式有关。A A、1 1个个 B B、2 2个个 C C、3 3个个 D D、4 4个个C例2：用三段论的形式写出下列演绎推理。
22、（1）三角形内角和180，等边三角形内角和180（1）分析：省略了小前提：等边三角形是三角形”。：是有理数。(2)分析：省略了大前提：“所有的循环小数都是有理数。”233.0 小前提：是循环小数。解(1)三角形内角和180，(大前提）所以等边三角形内角和是180。（结论）等边三角形是三角形。（小前提）233.0结论（2）是有理数。233.02 2、下列几种推理过程是演绎推理的是（、下列几种推理过程是演绎推理的是（）A A、5 5和和 可以比较大小；可以比较大小；B B、由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质；、由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质；C C、东升高中高二级有、东升高中高二级
23、有1515个班，个班，1 1班有班有5151人，人，2 2班有班有5353人，人，3 3班有班有5252人，由此推测各班都超过人，由此推测各班都超过5050人；人；D D、预测股票走势图。、预测股票走势图。22A例例3 3：证明函数：证明函数f(x)=-xf(x)=-x2 2+2x+2x在在(-,1)(-,1)是增函数。是增函数。证明：任取证明：任取,),1,(,2121xxxx且)2()2()()(22212121xxxxxfxf).2)(1212xxxx义可知，于是，根据增函数的定满足增函数定义，在所以即因此所以因为所以因为)1,(2)().()(,0)()(,.02,1,;0,22121
24、12211221xxxfxfxfxfxfxxxxxxxx函数函数f(x)=-xf(x)=-x2 2+2x+2x在在(-,1)(-,1)是增函数。是增函数。大前提：大前提：增函数的定义；增函数的定义；小前提小前提结论结论例例3 3：证明函数：证明函数f(x)=-xf(x)=-x2 2+2x+2x在在(-,1)(-,1)是增函数。是增函数。所以证明：因为,2)(2xxxf数的关系知：由函数的单调性与其导有在所以即从而所以即又因为.0)()1,(2)(,0)(,0)1(2,01,1),1,(),1(222)(2xfxxxfxfxxxxxxxf函数函数f(x)=-xf(x)=-x2 2+2x+2x在在
25、(-,1)(-,1)是增函数。是增函数。大前提大前提：在某个区间（：在某个区间（a,ba,b）内若）内若 ，那么，那么函数函数y=f(x)y=f(x)在这个区间内单调递增；在这个区间内单调递增；0)(xf小前提小前提结论结论 在锐角三角形ABC中,ADBC,BEAC,D,E是垂足,用演绎推理“三段论”格式证AB的中点M到D,E的距离相等.ADECMB (1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形,在ABC中,ADBC,即ADB=900所以ABD是直角三角形同理ABE是直角三角形大前提小前提结论证明:(2)(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,M M是是RtRtABDABD斜边斜边ABAB的中点的中点,DM,DM是斜边上的中线是斜边上的中线所以所以 DM=ABDM=AB12同理同理 EM=ABEM=AB12所以所以 DM=EMDM=EM大前提大前提小前提小前提结论结论演绎推理概念;、2、合情推理与演绎推理的区别与联系.演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程但数学结论、证明思路等的发现，主要靠合情推理因此，我们不仅要学会证明，也要学会猜想4、演绎推理的一般模式三段论.3、演绎推理错误的主要原因是：大前提不成立；小前提不符合大前提的条件；推理形式错误.BA
