1、第第 四四 章章拉普拉斯方程的格林函数法拉普拉斯方程的格林函数法12/4/2022zyxuu,0222222zuyuxu02 u设 满足拉普拉斯方程描述稳恒状态下的物理过程。通常表示成不存在初始条件.拉普拉斯方程的解称为调和函数12/4/20221）第一边值问题狄利克雷(Direchlet)问题边界条件:|.uf)(0u2)第二边值问题)(0ufnu纽曼(Neumann)问题12/4/2022高斯公式：设 是以光滑曲面 为边界的有界区域，在闭域 上连续,在 内有一阶连续偏导数，则zyxP,zyxQ,zyxR,cos,cos,cos,PQRdVPn xQn yRn z dSxyz其中 为 的外法
2、向量。n高斯公式可简记为SdnadVa12/4/2022 21,CCvu,uu x y zzyxvv,设满足xvuzyxP,yvuzyxQ,zvuzyxR,令 1,CCRQP则RQP,将代入高斯公式，等式右端dSznzvynyvxnxvu,cos,cos,cosdSnvu12/4/2022PQRdVxyzdVxvuxvxu22dVyvuyvyu22dVzvuzvzu22dVzvzuyvyuxvxudVzvyvxvu222222gradgraduv dV vdVu22uvdVvudSngradgraduv dV 所以所以 第一格林公式交换交换 的位置的位置,有有 vu,udVv2dSnuvgra
3、dgradvu dV 两式相减两式相减,得得 ()vuuvdSnn22()uvvu dV第二格林公式12/4/20221)牛曼内问题有解的必要条件 设 u 是在以 为边界的区域 内的调和函数,在 上有一阶连续偏导数,则在第二格林公式中取 u 为上述调和函数,则有 .所以牛曼内问题()有解的必要条件为函数 f 满足1v0dSnuufn 0fdS事实上,这也是牛曼内问题有解的充分条件.12/4/2022 设 是拉普拉斯方程定解问题的两个解，则它们的差 必是原问题满足零边界条件的解.对于狄利克雷问题，v 满足 12,u u21uuv0|,02vvv对于牛曼问题,v 满足 0|,02nvvv2)拉普拉
4、斯方程解的唯一性问题12/4/2022在第一格林公式中取 ,由 v 是调和函数，可得 21uuvu0 gradgradvvdSvv dVn 0,vvdSn在两种边界条件下，都有2grad0.vdV 所以故在 内必有 ,即grad0v 0zvyvxvCv 可得，其中 C为常数.12/4/2022对于狄利克雷问题,由于 ,故 从而 .0|v0C0v结论 狄利克雷问题在 内的解是唯一确定的,牛曼问题的解在相差一个常数下也 是唯一确定的.12CC 12/4/20223)调和函数的积分表达式所谓调和函数的积分表达式,是指用调和函数及其在区域边界 上的法向导数沿 的积分来表达调和函数在 内任一点的值.12
5、/4/2022 设 是 内一固定点,下面求调和函数在这一点的值.0000,zyxM为此构造一个辅助函数 20202011zzyyxxrv 可以证明函数 除点 外处处满足拉普拉斯方程,它称为三维拉普拉斯方程的基本解.r10M12/4/2022为了利用格林公式，我们在 内挖去 的球形邻域 ,是其球面.在区域 内及其边界 0MK上，是任意可导的。Krv1在第二格林公式中,取u为调和函数,假定它在 上有一阶连续偏导数,而取 ,在区域 上应用公式得rv1K2211Kuu dVrr11urudSnrn 12/4/2022221/1/11rrnrr 在球面 上 2221/1144rudSudSuur因此同理
6、可得 nudSnudSnur41104411nuudSnurrnu因此 12/4/2022令 ,则 000limMuu 04lim0nu0001114M MM Mu Mu Mu MdSn rrn 于是 12/4/20220214aKu MudSa 设函数 在某区域 内是调和函数,是 内任一点,表示以 为中心,为半径且完全落在 内的球面,则有 MuaK0Ma0M4)平均值公式12/4/2022能不能直接提供狄利克雷问题和牛曼问题的解？0001114M MM Mu Mu Mu MdSn rrn 调和函数的积分表达式un 为得到狄利克雷问题的解,必须消去 ,这需要引入格林函数的概念.12/4/202
7、2 设 为 内的调和函数并且在 上有一阶连续偏导数，利用第二格林公式vu,22()uvvu dV()vuuvdSnn0()vuuvdSnn可得dSnMurrnMuMuMMMM0011410与dSnuvrrnnvuMuMMMM00411410相加得12/4/2022如果能找到调和函数 v,使得 ,那么上式意味着01|4M MvrdSrnnvuMuMM01410dSvrnuMM041001,4M MG M Mvr令dSnGuMu0则拉普拉斯方程的格林函数12/4/202220,|uuuf0Gu Mf MdSn 如果能找到格林函数中的 v 并且它在上有一阶连续偏导数，则狄利克雷问题的解如果存在,必可
8、以表示为类似的，泊松问题2,|uF uuf的解可以表示为0Gu MfMdSGFdVn 12/4/2022说明说明 格林函数仅依赖于选取的区域,而与原定解问题中的非齐次项、边界条件无关.如果求得某个区域的格林函数,就可以解决该区域的一切狄利克雷问题.2,|uF uuf020,1|4M Mvvvr求解狄利克雷问题意 义 何在？12/4/2022要想确定格林函数,需要找一个调和函数 v ,它满足:.对于一般的区域,确定 v 并不容易,但对于一些特殊的区域,如半空间，球域等,格林函数可以通过初等方法得到.我们通常使用“电象法”求解。MMrv041|12/4/2022注注：拉普拉斯方程的基本：拉普拉斯方
9、程的基本解解2031ln2nrnGnr 称为称为拉普拉斯方程的基本解拉普拉斯方程的基本解，其中，其中 r 表示空间表示空间中两点之间的距离。中两点之间的距离。0,M M001,3,411ln,2.2M MM Mnrnr 或或者者三维基本解的三维基本解的物理意义物理意义：在处放置一单位正电：在处放置一单位正电荷，则它在自由空间产生的静电场的电位是荷，则它在自由空间产生的静电场的电位是0M014M Mr 12/4/2022Green函数的物理意义函数的物理意义将将 上的感应电荷用一个等价的点电荷代替，使得这上的感应电荷用一个等价的点电荷代替，使得这个个“虚虚”的电荷和真实的点电荷一起，在的电荷和真
10、实的点电荷一起，在 内给出和原内给出和原来的问题同样的解来的问题同样的解 1M0M 在接地的闭曲面在接地的闭曲面 中放上点电荷之后，在中放上点电荷之后，在 面内侧必面内侧必然出现感应电荷然出现感应电荷,内任意一点的电位，就是点电荷的内任意一点的电位，就是点电荷的电位电位 和感应电荷的电位和感应电荷的电位 v 的叠加，的叠加，Green函数函数=内的电位内的电位.014M Mr 12/4/2022 所谓电象法，就是在 放置的单位正电荷，在区域 外找出 关于边界 的象点 ，然后在象点放置适当电量的负电荷，由它产生的负电位与 处的单位正电荷所产生的正电位在曲面 上互相抵消。而 和 处的点电荷在 内的
11、电位就是所要求的格林函数。0M1M0M0M1M0M4.4 4.4 两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解12/4/2022故故 和和 处的电荷在处的电荷在 内的电位就是所要求的格内的电位就是所要求的格林函数。林函数。0M1M 在区域内在区域内 点放置的单位正电荷；点放置的单位正电荷；在区域在区域 外找出外找出 关于边界关于边界 的某种对称点的某种对称点 ；在在 点放置适当电量的负电荷，使得它产生的负电点放置适当电量的负电荷，使得它产生的负电位与位与 处正电荷产生的电位在处正电荷产生的电位在 上互相抵消。上互相抵消。1M0M0M 1M0M 2()01|4v MM
12、vr，01,4G M Mvr 处电荷所形成的处电荷所形成的电场在电场在 的电位的电位0M 处电荷所形成的处电荷所形成的电场在电场在 的电位的电位1M 4.4 4.4 两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解12/4/2022 点的位置点的位置 点放置的点放置的 负电荷的电量负电荷的电量1M1M在区域内在区域内 点放置的单位正电荷点放置的单位正电荷在区域在区域 外找出外找出 关于边界关于边界 的某种对称点的某种对称点 在在 点放置适当单位的负电荷，使得它产生的负电点放置适当单位的负电荷，使得它产生的负电位与位与 处正电荷产生的电位在处正电荷产生的电位在 上互相抵消
13、。上互相抵消。1M0M0M 1M0M 关于边界关于边界的的某种对称点某种对称点0M101044MMMMMMqrr 4.4 4.4 两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解12/4/20221)1)半空间的格林函数半空间的格林函数 求解拉普拉斯方程在半空间求解拉普拉斯方程在半空间 内的狄利克雷内的狄利克雷问题，就是求函数问题，就是求函数 u(x,y,z)，它满足，它满足 0z 22222200,0|,zuuuzxyzufx yx y 4.4 4.4 两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解12/4/2022在在 点放置点放置单位负单
14、位负电荷。电荷。1000(,)Mxyz.PM1xzyo.M0(x0,y0,z0）M.为解上述方程，首先找格林函数为解上述方程，首先找格林函数 0,.G M M在在 点点()放置单位正电荷，放置单位正电荷，0000(,)Mxy z00z 问题问题：1.等效点电荷的等效点电荷的位置位置 2.等效点电荷的等效点电荷的电量电量要求：它与要求：它与 处的处的正电荷产生的电位在正电荷产生的电位在平面平面 z=0上抵消上抵消0M1000(,)Mxyz 114MMvr 电位：电位：4.4 4.4 两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解12/4/2022在在 点放置点放置单位负
15、单位负电荷。电荷。1000(,)Mxyz.M0(x0,y0,z0）.P.M1xzyoM.114MMvr 电位：电位：由于由于 在上半空间内为调和函数，在闭域在上半空间内为调和函数，在闭域 上具有一阶连续偏导数，得上半空间上的格上具有一阶连续偏导数，得上半空间上的格林函数：林函数：114MMr 0z 01011(,)44MMMMG M Mrr4.4 4.4 两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解12/4/2022由于由于 在上半空间内为调和函数，在闭域在上半空间内为调和函数，在闭域 上具有一阶连续偏导数，得上半空间上的格上具有一阶连续偏导数，得上半空间上的格林函
16、数：林函数：114MMr 0z 0Gu Mf MdSn 狄利克雷问题的解狄利克雷问题的解:01011(,)44MMMMG M Mrr4.4 4.4 两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解12/4/20220Gu Mf MdSn 2222220000001140()()()()(-)(+)zzxxyyz zxxy yz z 000011441zzMMMMzGGnzzrr 01011(,)44MMMMG M Mrr4.4 4.4 两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解12/4/2022 030222200014()zzzGnxxy
17、yzz 03222200012()zxxyyz 0322220000zz zx xyyz z 4.4 4.4 两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解12/4/2022将上式代入到将上式代入到 0,Gu Mf MdSn 即得到原问题的解即得到原问题的解:00003222 2000(,)1,2()u xy zzf x ydxdyxxyyz 思考思考:半空间半空间 x 0 的格林函数及狄利克雷问题的解的格林函数及狄利克雷问题的解.4.4 4.4 两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解12/4/2022 设有一个球心在原点,半径为R的
18、球面G,在球内任取一点M0，连接OM0并延长至点M1，使得OM0OM1=R2,点M1称为M0关于球面的反演点。1M0MO01OPMPOMP00,OMr 11OMr 4.4 4.4 两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解12/4/2022在点放置单位在点放置单位正正电荷，在点放置电荷，在点放置 q 单位单位负负电荷，使这两个电荷产生的电位在球面上互相抵消电荷，使这两个电荷产生的电位在球面上互相抵消0M1M0111.44M PM PrrqP，1MP o 0MR1.等效点电荷的等效点电荷的位置位置 2.等效点电荷的等效点电荷的电量电量 的反演点的反演点0M4.4 4
19、.4 两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解12/4/2022故故 q 必须不依赖于必须不依赖于 P 的选取且满足：的选取且满足：10,M PM Prqr 由由 POM0 POM1，得得100,M PM PrRr 0.Rq 即只要在即只要在 点放置点放置 个单位负电荷个单位负电荷,它形成电场的电位它形成电场的电位1M0R 104M MRvr 1MP o 0MR4.4 4.4 两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解12/4/2022具有性质具有性质:在在 所围的球域内部是调和函数所围的球域内部是调和函数,在上一阶连续可微在上一阶
20、连续可微,而且而且 01011|44M MM MRrr 所以所以,球域的格林函数球域的格林函数为为 010011,.4M MM MRG M Mrr 4.4 4.4 两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解12/4/2022球坐标系中球坐标系中,022220001111,42cos2cosRG M M 02222240001142cos2cosRRR 1MP o 0MR0000(,)M ：，(,)M ：000coscos cossin sincos()010011,.4M MM MRG M Mrr 4.4 4.4 格林函数及狄氏问题的解格林函数及狄氏问题的解12/4/2022 0Gu Mf MdSn 利用格林函数求球内的狄氏问题：利用格林函数求球内的狄氏问题：20,|.uuf 在在内内，2220000223/20000()(,)sin(,)42cos)Rf RRud dRR -球的球的Poisson公式公式RGGn 00223222014(2cos)RRRR 其中其中4.4 4.4 两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解
