1、常微分方程初值问题的数值解法常微分方程初值问题的数值解法制作人：赵文波1 引言引言l一般的一阶常微分方程初值问题y=f(t,y),a t by(a)=(1.1)l定理一如果f(t,y)在带形区域内 R=(t,y)|a t b,-u +中连续，且关于y满足Lipschitz 条件：存在常数L，使得|f(t,y1)f(t,y2)|L|y1-y2|(1.2)l定理二如果f(t,y)在 R=(t,y)|a t b,-u +中连续，且关于y满足Lipschitz 条件，那么初值问题是适定的(1.3)2离散变量和离散误差离散变量和离散误差l离散化过程：把初值为(1.1)的精确解y(t)在一系列的离散点：t
2、1,t2,tN处的近似值y1y2yN用y(tn)表示在 t=tn 处的近似值，n=1,2,N.l离散化方法1.差商代替导数的方法2.Taylor级数法l误差1.局部离散误差2.局部截断误差3.整体离散误差3单步法单步法l单步法的一般形式显式方法：yn+1=yn+h(tn,yn,h),n=0,1,2,N-1,y0=,(3.1)或隐式方法：yn+1=yn+h(tn,yn,yn+1,h),n=0,1,2,N-1,y0=,(3.2)为增量函数，N 是正整数，h=(b-a)/NEuler法法算法10.1y=f(t,y),a t b；y(a)=Input 端点a,b;区间等分数N，初值Ouput y(t)
3、在t的N个点处的近似值Step1 h(b-a)/N;t a;y .Step2 For i=1,2,N do Step3-4Step3 y y+h f(t,y);t a+ih.Step4 Output (t,y).Step5 return.改进的改进的Euler法法l解初值问题的梯形计算公式yn+1=yn+(h/2)f(tn,yn)+f(tn+1,yn+1),n=0,1,2,N-1(3.8)y0=;h=(b-a)/N局部离散误差为Rn=-(h3/12)y(n)y(0)n+1=yn+h f(tn,yn),y n+1 =(1/2)y(0)n+1+yn+hf(tn+1,y(0)n+1)n=0,1,2,
4、N-1 (3.10)二阶二阶Runge-Kutta 方法方法m阶阶Runge-Kutta 显式方法显式方法Richardson外推法外推法4单步法的相容性和稳定性单步法的相容性和稳定性l相容性l收敛性l稳定性4.1相容性相容性l单步法的一般形式yn+1=yn+h(tn,yn,h),n=0,1,2,N-1,y0=,(4.1)l定义1(t,y,0)=f(t,y)(4.3)成立，则称单步法与微分初值问题(1.1)相容，(4.3)为相容条件。l定理一 假设 (t,y,0)关于h是连续的，若单步法与微分初值问题(1.1)相容，则它至少是一阶方法。4.2收敛性收敛性 定义2 假设微分方程(1.1)的右端函
5、数f(t,y)在带形区域内 R=(t,y)|a t b,-u +中连续，且关于y满足Lipschitz 条件。若对所有的 t a,b,limh 0 tn=t固定 yn=y(t)则称单步法是收敛的。定理2 若(t,y,h)对于 a t b,0 h h0以及一切实数y，关于t,y,h满足Lipschitz条件，则单步法(4.1)收敛的充分必要条件是相容条件成立，即(t,y,0)=f(t,y).l定理3 在定理2 的假设下，单步法(4.1)的局部离散误差满足(4.13),则其整体离散误差误差n=y(tn)-yn满足估计式|n|e L(b-a)|0|+hpM(e L(b-a)1)/LL是(t,y,h)
6、关于y 满足Lipschitz条件的Lipschitz常数。4.3稳定性稳定性l定义3如果存在常数h0及C,使得对任意的初始值y0,y0,单步法(4.1)的相应的精确解yn,yn,对所有的0n)的变化小于(|ym-ym|),则说单步法是绝对稳定的。一般限于 y=y (4.20)考虑数值方法的绝对稳定性，为复常数，若对于所有h(,),单步法都绝对稳定，称(,)为绝对稳定区间。5多步法多步法5.1线性多步法线性多步法ly=f(t,y),a t by(a)=(1.1)l线性k步法的一般公式5.2Adams方法方法l显式Adams方法l隐式Adams方法5.3预测预测-校正方法校正方法ly(0)n+1
7、=yn+h f(tn,yn)(5.20)ly n+1 =(1/2)y(0)n+1+yn+hf(tn+1,y(0)n+1)(5.21)n=0,1,2,N-1;y0=l(5.20)起预测y n+1 的作用，(5.21)起校正作用。记f(i)n=f(tn,y(i)n).用P表预测过程，C表校正过程，E表计算f的过程P:y(0)n+1 =yn+hfn,E:f(0)n+1 =f(t n+1,y(0)n+1)C:y n+1=yn+(h/2)(fn+f(0)n+1)E:fn+1 =f(t n+1,yn+1)重复迭代P,E,C t次可提高精度。通常，把Adams隐式和显式方法联合使用，构成预测-校正方法。预测
8、公式：y(0)n+1=yn+h k0fn+k1fn-1+kkfn-k)校正公式：y(i+1)n+1=yn+h*k0fn+*k1fn-1+*kkfn-k)5.4Hamming方法方法lMilne方法l建立线性多步法的待定系数法lHamming方法7线性多步法的相容性、收敛性和稳定线性多步法的相容性、收敛性和稳定性性l定义1 若求解初值问题(1.1)的线性k步法(5.1)至少是一阶方法，则称他们是相容的。记 ()=k k+k-1 k-1+1 +0，()=k k+k-1 k-1+1 +0。他们由线性k步法(5.1)完全确定。反之，若给定了()和()，则他们唯一确定一个线性k步法。我们称()为线性k步
9、法(5.1)的特征多项式。l定理 1线性k步法(5.1)相容的充分必要条件是 (1)=0，(1)=(1)，7.2收敛性收敛性l定义2假设f(t,y)在R=(t,y)|a t b,-u +中连续，且关于y满足Lipschitz 条件。若对任意的 t a,b,但t 0,而a+nh=tn=t 固定时，(5.1)的解yn收敛于问题(1.1)的解y(t)，则说线性k步法(5.1)是收敛的。l定理2 若线性k步法(5.1)是收敛，则必相容。7.3稳定性稳定性l定义3 若f(t,y)在R=(t,y)|a t b,-u +中连续，且关于y满足Lipschitz 条件。若存在正常数C和h0，使得当0hh0 时线
10、性k步法(5.1)的任意两个yn和yn满足不等式maxnh(b-a)|yn-yn|CM0 其中M0=max0ik-1|yi-yi|那么说线性k步法(5.1)是稳定的。l引理 若k为非负整数，数列 n满足递推不等式|n|+h(0+1+n-1),n=k,k+1,nh(b-a),其中0，,M0=max0ik-1|i|,则|n|e(b-a)(+hkM0),n=k,k+1,nh(b-a)l定理3 线性k步法(5.1)稳定的充分必要条件是()满足特征根条件：()的所有根都在单位圆上，且在在单位圆上的根只能是单重根。l定理4 若线性k步法(5.1)收敛，则必稳定。l定理5 若线性k步法(5.1)相容且稳定，则必收敛稳定。7.4绝对稳定性绝对稳定性l定义4 对给定的,h,若特征方程(7.24)的所有根的模都 1，则称线性k步法(7.23)绝对稳定。若对所有h(,),(7.23)都绝对稳定，则说(,)为绝对稳定区间。
